陕西省榆林市第十二中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

陕西省榆林市第十二中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.抛物线 = 2的准线方程为( )
2
1 1 1 1
A. = B. = C. = D. =
2 8 2 8
2
2.已知双曲线 ： 2
2 = 1( > 1)的焦距为4，则 的渐近线方程为( )

√ 3
A. = ±√ 3 B. = ± C. = ±√ 2 D. = ±
3
3.已知向量 = (1, 1,3)， = ( , 2, 1)，若 ⊥ ( )，则 =( )
A. 16 B. 15 C. 14 D. 13
4.已知圆 ：( 2)21 + ( + 3)
2 = 16与圆 ： 22 + ( 2)
2 = 10相交于 ， 两点，则直线 的方程为( )
A. 4 10 3 = 0 B. 4 + 10 + 3 = 0
C. 4 10 9 = 0 D. 4 + 10 + 9 = 0
2 2
5.已知 1， 2分别是椭圆 ： + = 1的左，右焦点， 是椭圆 上一点，且 1 ⊥ 1 2，则cos∠ 1 2 =( ) 9 4
2 3 4 3√ 5
A. B. C. D.
7 5 5 7
6.已知 1， 2是平面内两个不同的定点，则“|| 1| | 2||为定值”是“动点 的轨迹是双曲线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， = ， 1 = = 2√ 2，
点 为棱 1 1的中点，点 是棱 上的一点，且 = 3 ，则直线 与 1 所成角
的余弦值为( )
16
A.
99
32
B.
99
8√ 33
C.
99
16√ 33
D.
99
8.已知圆 ：( 3)2 + ( 4)2 = 9和两点 ( , 0)， ( , 0)( > 0)，若圆 上至少存在一点 ，使得 <
0，则实数 的取值范围是( )
A. (2,8) B. (2,+∞) C. (3,+∞) D. (1,3)
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线( 2) + 4 + = 0与直线( 2) + ( 2 + 2 + 4) 2 = 0平行，则 的值可以是( )
A. 0 B. 2 C. 2 D. 4
2 2
10.已知 1， 2分别是双曲线 ： = 1的上、下焦点，以线段 8 2 1 2为直径的圆 与双曲线 的渐近线的
一个交点为 ，则( )
2 2 √ 5A. 圆 的方程为 + = 10 B. 双曲线 的离心率为
2
1
C. 双曲线 的渐近线方程为 = ± D. △ 1 2的面积为2√ 5 2
11.已知正方体 1 1 1 1的棱长为1，动点 在正方形 1 1 1 1内(包含边界)，则下列说法正确的是
( )
A. 若
1
= ( +
√ 6
1 )，则| | = 2 2
1B. 若 = ( +

1 )，则直线 和 1 所成角为 2 3

C. 若 ⊥ 1 ，则点 的轨迹长度为 2
D. 若 ⊥ 1 ，则点 到直线 的距离的最小值为√ 2√ 2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.已知直线 的方程为 = 1，则坐标原点到直线 的距离为______．
4 3
13.若圆 ： 2 + 2 = 2( > 0)与曲线 = | | 2有两个公共点，则 的取值范围为______．
2 2
14.设 1， 2分别为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点，过点 1且倾斜角为60°的直线与椭圆 交
于 ， 两点，若| | = 3| 1 |，则椭圆 的离心率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知 (1,6)， ( 4,7)， (0,1)，△ 的外接圆为圆 ．
(1)求圆 的方程；
(2)已知直线 ：√ 3 + 2√ 3 = 0与圆 交于 ， 两点，求△ 的面积．
16.(本小题12分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， = = 2， 1 = ， 为 的中点．
(1)求证：直线 1 //平面 1 ；
(2)求直线 1 与平面 1 所成角的正弦值．
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17.(本小题12分)
2 2 3√ 5
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率是 ，焦距为6． 5
(1)求 的方程；
25
(2)若直线 ： = + 1与 相交于 ， 两点，且 = ( 为坐标原点)，求 的值．
3
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为6的正方形，△ 是等边三角形，平面 ⊥平面 ．
(1)求平面 与平面 所成二面角的正弦值；
1 2 1
(2)已知 ， ， 分别是线段 ， ， 上一点，且 = , = , = ，若 是线段 上
3 3 3

的一点，且点 到平面 的距离为√ 5，求 的值．

19.(本小题12分)
2 2 2 2 2
给定椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)，我们称椭圆 2 + = 2为椭圆 的“伴随椭圆”.已知 ， 分别是椭圆 2
1
的左、右顶点， 为椭圆 的上顶点，等腰 的面积为2√ 2，且顶角的余弦值为 ．
3
(1)椭圆 的方程；
(2) 是椭圆 上一点(非顶点)，直线 与椭圆 的“伴随椭圆”交于 ， 两点，直线 与椭圆 的“伴随椭
圆”交于 ， 两点，证明：| | + | |为定值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12
12.【答案】
5
13.【答案】{√ 2} ∪ (2,+∞)
2
14.【答案】
3
15.【答案】解：(1)设圆 的方程为 2 + 2 + + + = 0，
因为 (1,6)， ( 4,7)， (0,1)均在圆上，
12 + 62 + + 6 + = 0 = 4
则{( 4)2 + 72 + ( 4) + 7 + = 0，解得{ = 8，
02 + 12 + + = 0 = 7
所以圆 的方程为 2 + 2 + 4 8 + 7 = 0．
(2)由 2 + 2 + 4 8 + 7 = 0，得( + 2)2 + ( 4)2 = 13，
所以圆 的圆心为 ( 2,4)，半径 = √ 13，
| 2√ 3 4+2√ 3|
圆心 到直线 的距离为 1 = = 2，
√ 2 2 (√ 3) +( 1)
所以| | = 2√ 2 21 = 2√ 13 4 = 6，
|√ 3 6+2√ 3| 6 3√ 3
又点 到直线 的距离为 2 = = ， 2
√ 2 2 (√ 3) +( 1)
1 1 6 3√ 3 18 9√ 3
所以△ 的面积为 | | 2 = × 6 × = ． 2 2 2 2
16.【答案】(1)证明：设 1 ∩ 1 = ，连接 ，则 是 1 的中点，
因为 为 的中点，所以 // 1 ，
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又 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以直线 1 //平面 1D.
(2)解：因为 1 ⊥平面 ， ， 平面 ，
所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
又 ⊥ ，故以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ⊥ ， = = 2，
所以 1 = = 2√ 2，
所以 (2,0,0)， (0,2,0)， (1,1,0)， 1(0,0,2√ 2)， 1(2,0,2√ 2)，
所以 = ( 2,2,0), 1 = ( 2,0,2√ 2)，
= 2 + 2 = 0
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，则{ ，
1 = 2 + 2√ 2 = 0
令 = 1，得 = √ 2, = √ 2，所以 = (√ 2, √ 2, 1)，
而 1 = ( 1,1, 2√ 2)，
设直线 1 与平面 1 所成角为 ，
|

1 | | √ 2+√ 2 2√ 2| 2则 = |cos < 1 ， > | = = = ， | 1 | | | √ 1+1+8×√ 2+2+1 5
2
故直线 1 与平面 1 所成角的正弦值为 ． 5
2 2 3√ 5
17.【答案】解：(1)由于 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的焦距为6，离心率是 ， 5
3√ 5
因此 = , 2 = 6，其中 = √ 2 + 2，所以 = √ 5, = 3，因此 = √ 2 2 = 2．
5
2 2
因此 的方程为 = 1．
5 4
(2)设 ( 2, 2)， ( 1, 1)，
= + 1,
联立双曲线方程和直线 { 2 2
= 1,
5 4
化简得(4 5 2) 2 10 25 = 0，由于直线 ： = + 1与 相交于 ， 两点，
4 5 2 ≠ 0,
因此{
= 400(1 2) > 0,
2 2 4 10 25所以 < 1且 ≠ ，根据韦达定理可得 1 + 5 1 = 2 , 1 2 = 2． 4 5 4 5
又因为 = ( 1, 1) = ( 1, 1 + 1), = ( 2, 2) = ( 2, 2 + 1)，
25 25
因此 = ( 1, 1 + 1) ( 2, 2 + 1) = ( 3 2, 2 + 1) = ． 3
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25
所以 1 2 + ( 1 + 1)( 2 + 1) = ． 3
28
因此(1 + 2) 1 2 + ( 1 + 2) + = 0， 3
将韦达定理代入上式可得(1 + 2
25 10 28
) 2 + 2 + = 0，
4 5 4 5 3
2 1 √ 5 4所以 = ，所以 = ± ，满足 2 ≠ 且 2 < 1．
5 5 5
18.【答案】解：(1)取 ， 的中点分别为 ， 1，连接 1，
因为底面 是正方形，所以 1 ⊥ ，
因为△ 是正三角形， 为 的中点，所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 ， 1 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ 1，
以 点为原点，以 ， 1， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
由题意： (0,0,0), ( 3,0,0), (3,0,0), (3,6,0), ( 3,6,0), (0,0,3√ 3)，
= ( 6,0,0), = ( 3, 6,3√ 3)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
6 = 0
则由 ⊥ ， ⊥ ，可得{
= 0，即{ ，
= 0 3 6 + 3√ 3 = 0
令 = 3，则 = 0, = 2√ 3，
可得平面 的一个法向量为 = (0,3,2√ 3)，
易知平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，
设平面 与平面 所成二面角为 ，
| | |3| √ 21
则| | = |cos , | = = = ，
| | | | √ 21×1 7
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2√ 7
所以 = √ 1 cos2 = ，
7
即平面 与平面 所成二面角的正弦值为2√ 7；
7
(2)因为 ， ， 分别是线段 ， ， 上一点，
1 2 1
且 = , = , = ，
3 3 3
所以 ( 2,0,√ 3), ( 1,2,2√ 3), (1,6,0)，
所以 = (1,2,√ 3), = (3,6, √ 3)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，

则由 ⊥ ， ⊥ ，可得{
= 0 + 2 + 3 = 0
，即{
√ ，
= 0 3 + 6 √ 3 = 0
令 = 2，则 = 1， = 0，可得平面 的一个法向量为 = (2, 1,0)，

设 = (0 ≤ ≤ 1)，则 = ，

= + = (2, 6,0) + ( 3,0,3√ 3) = (2 3 , 6,3√ 3 )，
| | |10 6 |
所以点 到平面 的距离 = = = √ 5| |
√ 22
2 ，
+( 1) +02
5 5 5
解得 = ( = 舍去)，即 = ．
6 2 6
2
2( 2+ ) 4 2 1
19.【答案】(1)解：由cos∠ = = ，可得 2 = 2 22 ，
2( 2+ ) 3
1
因为△ 的面积为 × 2 = 2√ 2，所以 = 2√ 2，
2
2 2
解得 = 2， = √ 2.所以椭圆 的方程为 + = 1．
4 2
(2)证明：设 ( 0, 0)，直线 的斜率为 1，直线 的方程为 = 1( + 2)，
直线 的斜率为 2，直线 的方程为 = 2( 2)，
2
所以 1
0
2 =
0 = 6 ．
0+2 0 2
2
0 4
2
2 00 3√ 2 2(1 ) 1由 + = 1，得 1 2 =
4 = ，
4 2 20 4 2
2 2
椭圆 的“伴随椭圆”的方程为 + = 1．
8 4
= 1( + 2)
联立{ 2 2 ，可得(1 + 2 2) 2 + 8 2 1 1 + 8
2
1 8 = 0，
+ = 1
8 4
8 8 8
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 = 2， =
1
1 2 2，
1+2 1 1+2 1
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2
4√ 2(1+ )
| | = √ 1 + 21 | 1 2| = √ 1 +
2
1√ ( 1 + )
2
2 4
1
1 2 = 2 ，
1+2 1
1
4√ 2(1+ )
4√ 2(1+ 22) 4 2√ 2(1+4 )| | = 2 =
1 1
1 = 2 ，
1+2 2 1+2× 2 1+2 1
4 1
2 2
4√ 2(1+
所以| | + | | = 1
) 2√ 2(1+4 1)
2 + 2 = 6√ 2．
1+2 1 1+2 1
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