广东省中山市2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

广东省中山市 2023-2024 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 2
1.椭圆 + = 1的焦点坐标为( )
9 12
A. (±√ 3, 0) B. (0,±√ 3) C. (±√ 21, 0) D. (0,±√ 21)
1
2.已知⊙ ： 2 + 2 + 2 + = 0，则该圆的圆心坐标和半径分别为( )
2
1 √ 3 1 √ 3
A. ( , 1), B. ( 1,2),√ 3 C. ( , 1),√ 3 D. (1, 2),
2 2 2 2
3.已知直线 的方向向量为 = (1,2, 2)，平面 的法向量为 = (2,4, )，若 // ，则 等于( )
1
A. 5 B. 2 C. D. 4
2
4.经过两点( 1, 1)、( 2, 2)的直线方程都可以表示为( )
1 1 2 A. = B. = 2
2 1 2 1 1 2 1 2

C. ( 2 11)( 2 1) = ( 1)( 2 1) D. 1 = ( ) 2 11
5.在正项等比数列{ }中， 1 13 = 36，则 5 + 4 9的最小值是( )
A. 12 B. 18 C. 24 D. 36
6.若光线沿倾斜角为120°的直线射向 轴上的点 (0, 4)，则经 轴反射后，反射光线所在的直线方程为( )
√ 3 √ 3
A. = √ 3 4 B. = √ 3 4 C. = 4 D. = 4
3 3
7.某同学在一次模拟实验中，设定一个乒乓球从16米高处下落，每次着地后又弹回原来高度的一半再落下，
则第6次着地时乒乓球所运动的路程之和为( )
A. 31米 B. 31.5米 C. 47米 D. 63米
8.如图是数学家 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是
椭圆的模型(称为“ 双球”)；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它
们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球 1，球 2的半径分别为4和1，球心距
| 1 2 | = 6，截面分别与球 1，球 2切于点 ， ，( , 是截口椭圆的焦点)，则
此椭圆的离心率等于( )
√ 33
A.
9
√ 6
B.
3
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√ 2
C.
2
1
D.
6
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.空间直角坐标系中，下列说法正确的是( )
A. 点 (1,2,3)关于坐标平面 的对称点的坐标为( 1,2, 3)
B. 点 (1,0,2)在平面 面上
C. = 1表示一个与坐标平面 平行的平面
D. 2 + 3 = 6表示一条直线
10.已知 是等比数列{ }的前 项和，则( )
A. 若 3 > 0，则 2023 > 0 B. 若 4 > 0，则 2023 < 0
C. 若 3 > 0，则 2023 > 0 D. 若 4 > 0，则 2023 > 0

11.已知直线 经过抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 ，且与 交于 ， 两点，过 ， 分别作直线 = 的
2
垂线，垂足依次记为 1， 1，若| |的最小值为4，则下列结论正确的为( )
A. = 2
B. ∠ 1 1为钝角
C. | | = | | | |
D. 若点 ， 在 上，且 为△ 的重心，则| | + | | + | | = 5

12.形如 ( ) = + ( > 0, > 0)的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师

给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”.研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的
1
双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线.已知 为坐标原点，下列关于函数 ( ) = + 的说法正确的

是( )
A. 渐近线方程为 = 0和 =
B. = ( )的对称轴方程为 = (√ 2 + 1) 和 = (1 √ 2)
C. ， 是函数 ( )图象上两动点， 为 的中点，则直线 ， 的斜率之积为定值
D. 是函数 ( )图象上任意一点，过点 作切线，交渐近线于 ， 两点，则△ 的面积为定值
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
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13.抛物线 2 = 8 的焦点到准线的距离为______．
14.已知圆 1：( 2)
2 + ( 1)2 = 1与圆 2：
2 + 2 = 4相交，则它们交点所在的直线方程为 ．
15.如图，在正四棱锥 中， ， ， 分别为侧棱 ， ， 上的点， ，
3 1
， ， 四点共面，若 = ， = ，则 = ______．
5 2

16.已知数列{ }的前 项和为 ， 1 = 1，
+1
+1 = +1，令 = + ，则数列{ }的前 项和 = +1
______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知圆 过两点 ( 3,5)， (1,7)，且圆心在直线 2 + 3 = 0上．
(1)求圆 的方程；
(2)过点 (4, 4)作直线 与圆 交于 ， 两点，若| | = 8，求直线 的方程．
18.(本小题12分)
在数列{ }中， 1 = 2，

+1 = 4 3 + 1， ∈ ．
(1)设 = ，求证：数列{ }是等比数列；
(2)求数列{ }的前 项和．
19.(本小题12分)
在平行六面体 1 1 1 1中， = = 1 = 1，∠ = 90°，∠ 1 = ∠ 1 = 60°．
(1)求 1 1；
(2)求 1和 1所成角的余弦值．
20.(本小题12分)
2 2 1
如图，椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点为 1，右焦点为 2，离心率 = ，过 1的直线交椭圆于 、 2
两点，且△ 2的周长为8．
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(1)求椭圆 的方程；
(2)设动直线 ： = + 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 = 4相交于点 ，试探究：在 轴上是
否存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
21.(本小题12分)
类比平面解析几何的观点，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直
角坐标系 中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程 ( , , ) = 0．
(1)类比平面解析几何中直线的方程，直接写出：
①过点 ( 0, 0 , 0)，法向量为 = ( , , )的平面的方程；
②平面的一般方程；
③在 ， ， 轴上的截距分别为 ， ， 的平面的截距式方程( ≠ 0)；(不需要说明理由)
(2)设 1， 2为空间中的两个定点，| 1 2 | = 2 > 0，我们将曲面 定义为满足| 1| + | 2| = 2 ( > )的
动点 的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系 ，并推导出曲面 的方程．
22.(本小题12分)

如图，在四棱台 1 1 1 1中，底面 是菱形，∠ = ,∠ 1 = ，∠ 1 = ∠ 1 ， =3 6
2 1 1 = 2， 1 = 3．
(Ⅰ)求证：直线 ⊥平面 1；
(Ⅱ)求直线 1 1与平面 1所成角的正弦值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】4
14.【答案】2 + 4 = 0
15.【答案】3
2 2+3
16.【答案】
+1
7 5 1
17.【答案】解：(1) ∵ ( 3,5)， (1,7)，∴线段 的中点 ( 1,6)， = = ， 1 ( 3) 2
可得线段 的垂直平分线的方程： 6 = 2( + 1)，化为：2 + 4 = 0．
2 + 4 = 0
联立{ ，解得圆心 (1,2)．
2 +3 = 0
∴ 2 = | |2 = ( 3 1)2 + (5 2)2 = 25．
∴圆 的方程为：( 1)2 + ( 2)2 = 25；
(2)直线 的斜率不存在时，直线 的方程为： = 4，
则圆心 到直线 的距离 = 3，可得弦长为2√ 2 2 = 8，满足条件；
直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： + 4 = ( 4)，即 4 4 = 0，
| 2 4 4 | |3 +6|
则圆心 到直线 的距离 = = ，
√ 2 2 +1 √ +1
可得弦长| | = 2√ 2 2 = 2√ 25 2 = 8，解得 = 3．
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|3 +6| 3
∴ = 3，解得 = ，可得直线 的方程为：3 + 4 + 4 = 0．
√ 2 4 +1
综上可得直线 的方程为： = 4或3 + 4 + 4 = 0．
18.【答案】证明：(1)数列{ }中， 1 = 2， +1 = 4 3 + 1，
整理得： +1 ( + 1) = 4 4 = 4( )，
由于 = ，

故 +1 = 4(常数)；

数列{ }是以1为首项，4为公比的等比数列．
(2)由(1)得 = 4 1 ，
所以 = + = 4
1 + ，
(4 1) ( +1) (4 1) ( +1)
故 = 4
0 + 1 + 41 + 2+. . . +4 1 + = + = + ．
4 1 2 3 2
19.【答案】解：(1) 1 = + + 1， 1 = + 1 ，
2
由条件可知 1 1 = + 1 + + 1 + 1 + 1 1 = 1 +
1
cos∠ 1 + cos∠ 1 cos∠ 1 +1 = ； 2
2
(2)由(1)知 1 = 3 +2 + 2 1 + 2 1 = 3 + 2 ∠ 1 + 2 ∠ 1 = 5，于是
| 1 | = √ 5，
2
1 = 2 + 2 1 = 2 2 ∠ 1 = 1，于是| 1 | = 1，
|
1
1 1| √ 5
故 AC 1和 1所成角的余弦值为
2
| | |
= = ．
1

1 | √ 5 10
2 2 1
20.【答案】解：(1)由题意椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点为 1，右焦点为 2，离心率 = ， 2
过 1的直线交椭圆于 、 两点，且△ 2的周长为8．
可得4 = 8， = 2，
1
因为 = ，所以 = 1，
2
而 2 = 2 + 2，所以 = √ 3，
2 2
故椭圆 的方程为： + = 1．
4 3
= +
(2)由{ 2 2 ，消元可得(4 2 + 3) 2 + 8 + 4 2 12 = 0，
+ = 1
4 3
∵动直线 ： = + 与椭圆 有且只有一个公共点 ，∴ = (8 )2 4(4 2 + 3)(4 2 12) = 0，∴ 4 2
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2 + 3 = 0，
2
4 4 4 4 + 2 3 4 3
此时 = 2 = ， = ( )+ = = ，∴ ( , )，
4 +3
= +
由{ 得 (4,4 + )，
= 4
假设在 轴上存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，
4 3
设 ( 0 ,0)，则 = 0， = ( 0 , )，
4 3 = (4 0 ,4 + )， = ( 0)(4 0)+ (4 + ) = 0，

整理得(4 0 4) +
2
0 4 0 +3 = 0，对任意实数 ， 恒成立，
所以 0 = 1，
故在 轴上存在定点 (1,0)，使得以 为直径的圆恒过点 ．
21.【答案】解：(1)① ( 0)+ ( 0) + ( 0) = 0，
② + + + = 0；

③ + + = 1；

(2)以两个定点 1， 2的中点为坐标原点 ，
以 1， 2所在的直线为 轴，以线段 1 2的垂直平分线为 轴，
以与 平面垂直的直线为 轴，
建立空间直角坐标系 ，如图所示，
设 1(0, , 0)， 2(0, , 0)，
设 的坐标为( , , )，可得| 1 2| = 2 > 0，
| 1 | + | 2 | = 2 ( > )，
∴ √ 2 + ( + )2 + 2 +√ 2 + ( )2 + 2 = 2 ，
移项得√ 2 + ( + )2 + 2 = 2 √ 2 + ( )2 + 2，
两边平方，得 √ 2 + ( )2 + 2 = 2 ，
2 2 2
两边平方，整理得
2 + + = 1， 2 2 2 2
2 2 2
令√ 2 2

= ，得 2 + + 2 = 1.①
2
2 2 2
因此，可得曲面 的方程为 2 + + 2 = 1．
2
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22.【答案】解：( )证法一：连接 ， 交于 ，
因为 = ，∠ 1 = ∠ 1 ， 1 = 1，
所以△ 1 ≌△ 1 ，故 B 1 = 1 ，
又因为 为菱形对角线交点，即是线段 的中点，所以 1 ⊥ ，
又四边形 为菱形，故 AC⊥ ，
而 1 ∩ = ，所以 ⊥平面 1．
证法二：因为∠ 1 = ∠ 1 ，
所以点 1在平面 内的射影 在为∠ 的平分线，
又四边形 为菱形，故 BD 为∠ 的平分线，则 ∈直线 ，
故平面 1 ⊥平面 ，而平面 1 ∩平面 = ，
又四边形 为菱形，故 AC⊥ ，
所以 ⊥平面 1．
(Ⅱ)解法一：延长 1， 1， 1， 1交于点 ，
平面 1即为平面 ，平面 1即平面 ，
由( )得平面 ⊥平面 ， =平面 ∩平面 ，
所以过 1做 1 ⊥ ，则 1 ⊥平面 ，
故∠ 1 1 即为直线 1 1与平面 1所成角，
因为四棱台 1 1 1 1中 = 2 1 1 = 2，所以 1 1 = 1， = 6
因为 = = 2，所以 = 2√ 3，

作 ⊥ ，因为∠ 1 = 6，则 = 3√ 3， = 3，所以 = √ 21，
36+21 3 9
cos∠ = = ， √ 7 3√ 7sin∠ = ， = ，
2×6×√ 21 2√ 21 14 1 14
1 3√ 7
故sin∠ 1 1 = = ． 1 1 14
解法二：延长 1， 1， 1， 1交于点 ，
平面 1即为平面 ，平面 1即平面 ，
设直线 1 1与平面 1所成角为
过 作 ⊥ ，垂足为 ，因为 = 6，所以 = 3√ 3
建系，以 ， 为 ， 轴，作 轴// ，
(0, 1,0), (√ 3, 0,0), (0,1,0), ( 2√ 3, 0,3)，
= (√ 3, 1,0) = (0,2,0) = ( 2√ 3, 1,3)，
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设平面 的法向量为 = ( , , )，
2 = 0
则{ ，所以 √ 3 = ( , 0,1)，
2√ 3 + + 3 = 0 2
3 3 3√ 7cos , = = =
3 2√ 7 14 ，
2×2×√ +1
4
所以 3√ 7 = ．
14
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