上海市宝山区通河中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

上海市宝山区通河中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2
2.已知圆锥侧面展开图的圆心角为 ，底面周长为2 .则这个圆锥的体积为( )
3
√ 2 2√ 2 4√ 2
A. B. √ 2 C. D.
3 3 3
1 1 1 1
3.化简式子 + + + + ，得( )
1×3 3×5 5×7 2023×2025
2022 2024 1011 1012
A. B. C. D.
2025 2025 2025 2025
4.已知 ， 是空间中两条不同的直线，平面 ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若 // ， ，则 //
B. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C. 若 ⊥ ， // ， // ，则 ⊥
D. 若 // ， // ， ， ，则 //
二、填空题：本题共 12 小题，共 42 分。
5.已知复数 = 3 4 ，| | = ______．
6.若向量 = ( 3,1), = (2, )，且 与 垂直，则实数 =______．
7.在数列{ }中， 1 = 2， +1 = 2( ∈ , ≥ 1)，则 5 = ______．
3
8.设 = ， ∈ ( , )，则 的值为 ．
5 2
9.命题：若直线 与平面 上的无数条直线垂直，则 ⊥ ，是______命题(选填“真”或“假”)．
10.向量 = (3,5)在向量 = (1,1)方向上的数量投影为______．
11.正方体 1 1 1 1中，二面角 1 1的大小为______．
12.数列{ }中，其前 项和 =
2 + 2 ，则 5 = ______．
1
13.已知无穷数列{ }满足 +1 = ( 为正整数)，且
∞
2 = 1，记 为数列{ }的前 项和，则∑ =1 = 2
______．
14.给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
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②如果一条直线和一个平面上的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
④ 、 与平面 成角相等，则 // ．
其中是真命题的有______．

15.在数列{ }中， 1 = 6，且 = 1 + lg ( ≥ 2)，则 100 = ______． 1
16.如图，在直四棱柱 1 1 1 1中，底面 为菱形，且∠ = 60°.
若 = 1 = 2，点 为棱 1的中点，点 在 1 上，则线段 ， 的长度
和的最小值为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ．
(1)求 ( )的最小正周期；

(2)求 ( )在区间[ , ]上的最大值和最小值．
6 3
18.(本小题12分)
已知{ }是等差数列，{ }是等比数列，且 2 = 3， 3 = 9， 1 = 1， 14 = 4．
(1)求{ }的通项公式；
(2)设 = + ，求数列{ }的前 项和．
19.(本小题12分)
据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上
如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可
卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙
古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米．
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(1)求该蒙古包的表面积(不含底面)；
(2)求该蒙古包的体积．
20.(本小题12分)
如图，正方体的棱长为1， ′ ∩ ′ = ，求：
(1) 与 ′ ′所成角的大小；
(2) 与平面 所成角的正切值．
21.(本小题12分)
如图，三棱柱 1 1 1中，底面为正三角形， 1 ⊥平面 ，且 1 = = 3， 是 的中点．
(Ⅰ)求证： 1 //平面 1；
(Ⅱ)求证：平面 1 ⊥平面 1；
9
(Ⅲ)在侧棱 1上是否存在一点 ，使得三棱锥 的体积是 ，若存在，求 长；若不存在，说明理由． 8
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】5
6.【答案】 6
7.【答案】6
3
8.【答案】
4
9.【答案】假
10.【答案】4√ 2
11.【答案】45°
12.【答案】11
13.【答案】4
14.【答案】①②
15.【答案】8
16.【答案】√ 9 + 2√ 10
1 2
17.【答案】解：(1) ( ) = 2 ， = = ，则 ( )的最小正周期为 ．
2 2
2 √ 3 √ 3 1 1
(2) ≤ ≤ ，则 ≤ 2 ≤ ， ≤ 2 ≤ 1， ≤ 2 ≤ ．
6 3 3 3 2 4 2 2
1 √ 3
所以 ( )在[ , ]上的最大值为 ，最小值为 ．
6 3 2 4
18.【答案】解：(1)设{ }是公差为 的等差数列，{ }是公比为 的等比数列，

由 32 = 3， 3 = 9，可得 = = 3， 2
= · 2 = 3 · 3 2 2 = 3
1；
即有 1 = 1 = 1， 14 = 4 = 27，

则 = 14 1 = 2，
13
则 = 1 + ( 1) = 1 + 2( 1) = 2 1；
(2) = +
1
= 2 1 + 3 ，
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则数列{ }的前 项和为：
[1 + 3 + + (2 1)] + (1 + 3 + 9 + + 3 1)
2 1 3
= · +
2 1 3
3 1
= 2 + ．
2
19.【答案】解：(1) ∵蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体，
且该圆锥的高为3米，圆柱的高为4 ，底面直径为8 ，
∴ = √ 32 + 42 = 5，又 = 4，
1
故该蒙古包的表面积为 × 8 × 5 + 8 × 4 = 52 ( 2)；
2
(2)由题意可得该蒙古包的体积为：
1 1
× 2 × + × 2 × = × 48 + 64 = 80 ( 3)．
3 3
20.【答案】解：(1) ∵ ′ ′// ，
∴ 与 ′ ′所成的角就是∠ ．
∵ ⊥平面 ′， 平面 ′，
∴ ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
又 平面 ，∴ ⊥ ，
1
在 △ 中， √ 2 = ， = √ 2，sin∠ = = ，
2 2
∴ ∠ = 30°．
即 与 ′ ′所成角为30°．
(2)如图，作 ⊥ 于 ，连接 ．
∵平面 ′ ⊥平面 ，平面 ′ ∩平面 = ， 平面 ′，
∴ ⊥平面 ，
∴ ∠ 为 与平面 所成的角．
1
在 △ 中， = ， 1 √ 5
2 = √ 1
2 + ( )2 = ，
2 2
√ 5
∴ tan∠ = = ．
5
即 与平面 所成角的正切值为√ 5．
5
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(3)由(1)可知 ⊥平面 ．
又∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 ．
即平面 与平面 所成的角为90°．
21.【答案】解：(Ⅰ)连接 1 交 1于点 ，连接 ．
∵三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，
∴四边形 1 1为矩形，可得点 为 1 的中点．
∵ 为 中点，得 为△ 1 中位线，
∴ 1 // ．
∵ 平面 1， 1 平面 1，
∴ 1 //平面 1. … (4分)
(Ⅱ) ∵底面 正三角形， 是 的中点
∴ ⊥
∵ 1 ⊥平面 ， 平面 ，∴ 1 ⊥ ．
∵ 1 ∩ = ，∴ ⊥平面 1，
∵ 平面 1，∴平面 1 ⊥平面 1. … (9分)
9
(Ⅲ)假设在侧棱 1上存在一点 ，使三棱锥 的体积是 ，设 = 8
∵三棱锥 的体积 =
1 1 9
，得1 1 3 3√ 3 9∴ × × × × = × × × × = ．
3 2 8 3 2 2 2 8
∴ = √ 3，即 = √ 3
9
∴在侧棱 1上存在一点 ，当 = √ 3时，三棱锥 的体积是 . … (14分) 8
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