广东省广州市九区2023-2024学年高一上学期期末联考数学试卷（PDF版，含答案）

广东省广州市九区 2023-2024 学年高一上学期期末联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ∈ ，则“ 2 1 > 0”是“ > 1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知集合 = { | 2 2 + 1 = 0}只有一个元素，则实数 的值为( )
A. 1或0 B. 0 C. 1 D. 1或2
2
3.方程 = 0的根所在的区间是( )

A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
4.设 = 0.8， = 0.8， = 0.80，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >

5.函数 ( ) = 图象大致为( ) 2 +2
A. B.
C. D.
6.函数 ( ) = ( + )( > 0,0 < < )在一个周期内的图象如图所示，

为了得到函数 ( ) = 2 (2 + )的图象，只要把函数 ( )的图象上所有的点
3
( )

A. 向左平移 个单位长度
3

B. 向左平移 个单位长度
6

C. 向右平移 个单位长度
3

D. 向右平移 个单位长度
6
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√ 2
7.函数 ( ) = ( + 1) + (1 )( > 0, ≠ 1, ∈ [0, ])，若 ( ) ( )2
= 1，则 的值为
( )
1 1
A. 4 B. 4或 C. 2或 D. 2
4 2
8.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，有一种茶90℃的水泡制，再等到
茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔1 测一次茶水温度，得到数据
如下：
放置时间/ 0 1 2 3 4
茶水温度℃ 90.00 84.00 78.62 73.75 69.39
为了描述茶水温度 ℃与放置时间 的关系，现有以下两种函数模型供选择：
① = + 30( ∈ , 0 < < 1, ≥ 0)，② = + ( , ∈ , ≥ 0)．
选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为(参考数据： 2 ≈
0.301， 3 ≈ 0.477)( )
A. 5.5 B. 6.5 C. 7.5 D. 8.5
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若 > ， > ，则 >
3 3
B. 若 > ，则√ > √

C. 若 2 > 2，则 >
+
D. 若 > > 0， > 0，则 >
+
10.设 ∈ ，用[ ]表示不超过 的最大整数，则 = [ ]称为高斯函数，也叫取整函数，例如[2.3] = 2.令函
数 ( ) = [ ] ，以下结论正确的有( )
A. ( 1.7) = 0.3
B. ( )的最大值为0，最小值为 1
C. ( 1) = ( )
D. = ( )与 = + 1的图象没有交点
11.已知函数 ( ) = ，下列命题正确的是( )
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1 + 1
A. 若 ( ) = ，则 =
2 5 3
√ 3
B. 不等式 ( ) ≥ 的集是[ , )
3 3 2

C. 函数 = 2( ) + 4 ( )， ∈ [ , ]的最小值为 5
4 4
1 2√ 5
D. 若 ( ) = 且 0 < < 则sin( + ) =
3 2 2 6 5
+ 2, ≥
12.已知函数 ( ) = { ，则下列结论正确的是( )
( 2)2, <
A. 当 = 0时， ( )的最小值为0
B. 若 ( )存在最小值，则 的取值范围为( ∞, 0]
C. 若 ( )是减函数，则 的取值范围为(0,2]
D. 若 ( )存在零点，则 的取值范围为( ∞, √ 2] ∪ (0, √ 2] ∪ (2, +∞)
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2
13.83 + 232 + 1 = ______．
1
14.已知幂函数 = ( )的图象过点(2, √ 2)，则 ( ) = ______．
2
15.已知函数 ( ) = |log2( + 1)|，若 1 < < ，且 ( ) = ( )，则 + + 2的取值范围是______．
( ) ( )
16.设 ( )是定义在 上的奇函数，对任意的 1， 2 ∈ (0, +∞)，
2 1 1 2
1 ≠ 2，满足： > 0，若 (2) = 4， 1 2
则不等式 ( ) 2 ≤ 0的解集为______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
1 √ 2
若角 的终边经过点 ( , )( > 0)，且 = ．
2 2
(1)求 ；

cos( + )+tan( + )
(2)求 2 的值．
sin( )
18.(本小题12分)
设全集为 ，集合 = { | 2 5 6 > 0}， = { | + 1 < < 2 1}．
(1)若 = 4，求 ∪ ， ∩ ；
(2)若( ) ∩ = ，求实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
2
已知函数 ( ) = 1 + 为奇函数．
2 1
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(1)求 的值；
(2)判断函数 ( )在(0, +∞)内的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．
20.(本小题12分)

已知函数 ( ) = 2 (2 )， ∈ ．
3
(1)求函数 ( )的单调递增区间；

(2)若函数 ( ) = ( ) 在区间[0, ]上有两个零点，求 的取值范围．
2

(3)若函数 ( ) = ( ) ( )( ∈ )有且仅有3个零点，求所有零点之和．
6
21.(本小题12分)
某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量 吨与年

促销费用 万元之间满足函数关系式 = 2 ( 为常数)，如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年
+2
生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若
将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年
生产的该款食品正好能销售完．
(1)求 值；
(2)将下一年的利润 (万元)表示为促销费 (万元)的函数；
(3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？
(注：利润=销售收入 生产成本 促销费，生产成本=固定费用+生产费用)
22.(本小题12分)

已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < )图象的对称轴与对称中心之间的最小距离为 ，且满足 ( +
2 4 12

) = ( )．
12
(1)求 ( )的解析式；

(2)已知函数 ( ) = 2 + 2 + 3，若有且只有一个实数 ，对于 1 ∈ [ , ]， 2 ∈ [0,2]，使得 ( 12 3 2) = 2
( 1)，求实数 的值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】9
√ 2
14.【答案】
2
15.【答案】(2, +∞)
16.【答案】(0,2)
1 √ 2
17.【答案】解：(1) ∵角 的终边经过点 ( , )( > 0)，且 = = ．
2 2
√ 1 + 2
4
√ 7
∴ = ．
2
1
1 7 1
(2)由(1)可得，| | = √ + = √ 2， = 2 = ．
4 4 √ 2 2√ 2

cos( + )+tan( + )
2 + 1 1= = 1 = 1 = 1 + 2√ 2．
sin( ) sin cos 1
2
√ 2
18.【答案】解：(1)因为集合 = { | 2 5 6 > 0} = { | < 1或 > 6}，
= 4时，集合 = { |5 < < 7}，
所以 ∪ = { | < 1或 > 5}，
又因为全集为 ，所以 = { | ≤ 5或 ≥ 7}，
所以 ∩ ( ) = { | < 1或 ≥ 7}；
(2)因为 = { | 1 ≤ ≤ 6}，且( ) ∩ = ，
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所以 + 1 ≥ 2 1时， ≤ 2，此时 = ，满足题意；
> 2
由{ ，解得 ≥ 5；
+ 1 ≥ 6
> 2
由{ ，解得 ∈ ；
2 1 ≤ 1
综上，实数 的取值范围是{ | ≤ 2或 ≥ 5}．
2
19.【答案】解：(1)函数 ( ) = 1 +
2
为奇函数，
1
2 2
所以 ( ) = ( )，即1 + = 1 2 1 2
，
1
2 2 2 2 2 2 (1 2 )
2 = = = = 2 ，
2 1 2 1 2 1 1 2 1 2
解得 = 1．
2
(2)由(1)可得 ( ) = 1 + ， ( )在(0, +∞)内单调递减，证明如下：
2 1
设0 < 1 < 2，
2 2 2 2 2(2 2 2 1)
( 1) ( 2) = (1 + ) (1 + ) = = ， 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 (2 1 1)(2 2 1)
因为0 < < ，所以2 2 > 2 1，2 11 2 > 1，2
2 > 1，
所以2 2 2 1 > 0，2 1 1 > 0，2 2 1 > 0，
得 ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，
所以函数 ( )在(0, +∞)上单调递减．

20.【答案】解：(1)由 + 2 ≤ 2 ≤ + 2 ， ∈ ，
2 3 2
5
得 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
12 12
5
所以函数 ( )的单调递增区间为[ + , + ]， ∈ ．
12 12

(2)因为函数 ( ) = ( ) 在区间[0, ]上有两个零点，
2

令 ( ) = 0，即 ( ) = 在区间[0, ]上有两个根，
2
5 5
因为 ( )在[0, ]单调递增，[ , ]上单调递减．
12 12 2
5
所以 ( ) ≤ ( ) < ( )，即√ 3 ≤ ( ) < 2，所以√ 3 ≤ < 2，
2 12
所以 的取值范围为[√ 3, 2)．

(3)令2 = ，得 = + ， ∈ ，
3 6 2
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所以函数 ( ) = 2 (2 )的一个对称中心为( , 0)，
3 6

直线 = ( )关于点( , 0)中心对称，
6 6

所以函数 ( )得图像关于点( , 0)中心对称，且 ( ) = 0，
6 6

因为函数 ( ) = ( ) ( )( ∈ )有且仅有3个零点，设为 ， ， ，
6 6

所以 + = ，故所有零点之和为 + = ．
3 3 6 2

21.【答案】解：(1)由题意，将 = 0， = 1代入 = 2 ，解得 = 2；
+2
2
(2)由(1)可得 = 2 ( ≥ 0)，
+2
2
当年生产 (万件)时，年生产成本为：32 + 3 = 32(2 ) + 3，
+2
2 1
当销售 (万件)时，年销售收入为：150%[32(2 ) + 3] + ，
+2 2
由题意，生产 万件产品正好销完，且年利润=年销售收入 年生产成本 促销费，
2 1 2
所以 = 150%[32(2 ) + 3] + [32(2 ) + 3] ，
+2 2 +2
2+65 +70
即： = ( ≥ 0)；
2( +2)
2+65 +70 +2 32 69 +2 32 69 53
(3)由(2)有 = = ( + ) + ≤ 2√ + = ，
2( +2) 2 +2 2 2 +2 2 2
+2 32
当且仅当 = ，即 = 6时，等号成立，所以当促销费投入6万元时，企业年利润最大．
2 +2
2
22.【答案】解：(1)由对称轴与对称中心之间的最小距离为 ，可得 = ，即 = ， = = 2，
4 4 4

由 ( + ) = ( )，可得 ( ) = 0，即2 (2 × + ) = 0，
12 12 12 12

可得 + = ， ∈ ，可令 = 0，可得 = ∈ ( , )，
6 6 2 2

则 ( ) = 2 (2 )；
6

(2)当 ∈ [ , ]，可得2 ∈ [0, ]， ( ) ∈ [0,2]，2 ( ) ∈ [2 2,2 ]；
12 3 6 2
当 = 0时， ( )在[0,2]的值域为[3,7]，由题意可得[2 2,2 ] [3,7]，
5 7
即有2 2 ≥ 3，且2 ≤ 7，解得 ≤ ≤ ， 的值不唯一，故 = 0不符题意；
2 2
1
当 > 0时， ( )的对称轴为 = < 0， ( ) = 2 + 2 + 3在[0,2]递增，可得 ( ) ∈ [3,7 + 4 ]，

由题意可得[2 2,2 ] [3,7 + 4 ]，
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1
即有2 2 ≥ 3，且2 ≤ 7 + 4 ，由题意 的值有且只有一个，可得7 + 4 = 5，解得 = < 0，与 > 0矛
2
盾，
1 1
故 < 0，若 ≥ 2，即 ≤ < 0时， ( )在[0,2]递增，可得 ( )的值域为[3,7 + 4 ]，
2
由题意可得[2 2,2 ] [3,7 + 4 ]，
1
即有2 2 ≥ 3，且2 ≤ 7 + 4 ，由题意 的值有且只有一个，可得7 + 4 = 5，解得 = < 0，成立；
2
当 = 1时，7 + 4 = 3， ( )在[0,2]的值域为[3,4]，由题意可得[2 2,2 ] [3,4]，
5
即有2 2 ≥ 3，且2 ≤ 4，解得 ≤ ≤ 2，不成立；
2
1 1 1
当 1 < < 时，7 + 4 > 3， ( )在[0,2]的值域为[3,3 ]，由题意可得[2 2,2 ] [3,3 ]，
2
1
即有2 2 ≥ 3，且2 ≤ 3 ，由题意 的值有且只有一个，

1 1 1
可得3 = 5，解得 = ，与 1 < < 矛盾，不成立；
2 2
1 1
当 < 1时，7 + 4 < 3， ( )在[0,2]的值域为[7 + 4 , 3 ]，由题意可得[2 2,2 ] [7 + 4 , 3 ]，

1
即有2 2 ≥ 7 + 4 ，且2 ≤ 3 ，由题意 的值有且只有一个，

1 3±√ 5 3 √ 5
可得3 = 9 + 4 ，解得 = ，由 < 1，可得 = ．
4 4
1 3 √ 5
综上，可得 = ， ．
2 4
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