安徽省马鞍山第二中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

安徽省马鞍山第二中学 2023-2024 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知 ( 1, 3,2)， = (2,0,4)，则点 的坐标是( )
A. (3,3,2) B. ( 3, 3, 2) C. (1, 3,6) D. ( 1,3, 6)
2.过点 ( 1,4)作圆 2 + 2 4 6 + 12 = 0的切线，则点 到切点得居距离为( )
A. 3 B. √ 5 C. √ 10 D. 5
3.已知等差数列{ }的公差为1， 10 = 8，则 2024 =( )
A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024
4.抛物线 = 2 2的焦点坐标是( )
1 1 1 1
A. (0, ) B. (0, ) C. ( , 0) D. ( , 0)
4 8 8 4
2 2
5.已知椭圆 2 2 22 + 2 = 1( > > 0)的焦点为 1， 2，等轴双曲线 = 的焦点为 3， 4，若四边形
1 3 2 4是正方形，则该椭圆的离心率为( )
1 √ 2 √ 6 √ 3
A. B. C. D.
2 2 3 2
9 9
6.已知正项等比数列{ }中， 2 4 = 4， 7 9 = 10，则 13 =( ) 2 2
3 3 3 9
A. 7 B. 8 C. 9 D. 2 2 2 29
1
7.三棱锥 中，点 ∈面 ，且 = + ，则实数 =( )
2
1 1 3
A. B. C. 1 D.
2 2 2
2 2
8.已知 为坐标原点，双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左焦点为 ，右顶点为 ，过点 向双曲线的一条渐
近线作垂线．垂足为 ，且 = ，直线 与双曲线的左支交于点 ，则∠ 的大小为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若三条直线 1：2 + 1 = 0， 2： + 1 = 0， 3：2 + + 2 = 0有2个公共点，则实数 的值
可以为( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
10.平面直角坐标系 中，已知 ( 1,0)， (1,0)，则使得动点 的轨迹为圆的条件有( )
2 2
A. = 1 B. + = 1 C. | | = 2| | D. | | + | | = 3
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11.已知曲线 ： 2 + 2 = 1，则下列结论正确的是( )
A. 若 > > 0，则 是椭圆，其焦点在 轴上
1
B. 若 = > 0，则 是圆，其半径
√
C. 若 < 0，则 是双曲线，其渐近线方程为 ± = 0
D. 若 = 0， > 0，则 是两条直线
12.已知数列{ }中， 1 = 0， +1 = +
2
( ∈ )，则下列结论正确的是( )
A. 当 = 0时，数列{ }为常数列 B. 当 < 0时，数列{ }单调递减
1 1
C. 当0 < ≤ 时，数列{ }单调递增 D. 当 > 时，数列{ }为摆动数列 4 4
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.过点(1,0)作直线与 2 = 4 交于 ， 两点，若| | = 4，则直线 的倾斜角为______．
14.设 是数列{ }的前 项和， 1 = 1， +1 = +1，则 =______．
2 2
15.设 1， 2是椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的两个焦点， 为椭圆上任一点，若∠ 1 2 = 60°且△ 1 2的面
25√ 3
积为 ，则该椭圆的短轴长为______．
3
16.设集合 {1,2,3, ,14}，若 中任意3个元素均不构成等差数列，则集合 中元素最多有______个.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
棱长为2的正四面体 中，设 = ， = ， = . ， 分别是棱 ， 的中点．
(1)用向量 ， ， 表示 ；
(2)求| |．
18.(本小题12分)
已知公差不为0的等差数列{ }的首项 1 = 3，且 1 + 1， 2 + 1， 4 + 1成等比数列．
(1)求数列{ }的通项公式；
1 1(2)设 = , ∈ , 是{ }的前 项和，求使 < 成立的最大的正整数 ． +1 13
19.(本小题12分)
在三棱台 1 1 1中， 1 1 = 1， 1 = 2， = 4， 1 ⊥平面 ， 1 ⊥ 1C.
(1)求证： ⊥ ；
(2)若 = 4，求直线 1 与平面 1 所成角的正弦值．
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20.(本小题12分)
已知椭圆 ： 2 + 4 2 = ( > 0)．
(1)若椭圆 的焦距为6，求 的值；
(2)设 (0,1)，若椭圆 上两点 ， 满足 = 2 ，求点 横坐标取最大值时 的值．
21.(本小题12分)
2
已知数列{ }的前 项和为 ，点( , )在函数 = + 的图象上． 2 2
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 = 2 ，
( )求数列{(2 1) }的前 项和 ；
( )求数列{ 2 }的前 项和 ．
22.(本小题12分)
2 2
过点( 2,8)作直线 与双曲线 ： = 1交于 ， 两点， 是双曲线 的左顶点，直线 ， 与 轴分别
4 16
交于点 ， ．
(1)求直线 斜率的取值范围；
(2)求证：线段 的中点 为定点，并求出点 的坐标．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】90°
1
14.【答案】

15.【答案】10
16.【答案】8
17.【答案】解：(1)在棱长为2的正四面体 中，
设 = ， = ， = ， ， 分别是棱 、 的中点，
连接 ，
则 =
1
= ( +
1 1 1 1
) = ( + ) =
2 2 2 2 2
1
，
2
∵ = ， = ， = ，
1
∴根据空间向量的线性运算得 =
1 1 1 = ( + )．
2 2 2 2
1 1 1 2
(2) ∵ | | = √ ( 2 √
1 2 1 2 1 1 1 1
) = + + + ，
2 2 2 4 4 4 2 2 2

∵在正四面体 中 , , 的夹角为 ， 3
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1
∴ | | = | | = | | = 2 = = = 2 × 2 × = 2，
2
∴ |
1 1 1 1 1 1
| = √ × 4 + × 4 + × 4 × 2 + × 2 × 2 = √ 2．
4 4 4 2 2 2
18.【答案】解：(1)公差不为0的等差数列{ }的首项 1 = 3，
且 1 + 1， 2 + 1， 4 + 1成等比数列．
则：( 22 + 1) = ( 1 + 1)( 4 + 1)，
解得： = 4或0(舍去)，
故： = 3 + 4( 1) = 4 1，
(2)由于： = 4 1，
所以： +1 = 4 + 3，
1 1 1 1 1
所以： = = = ( )， +1 (4 1)(4 +3) 4 4 1 4 +3
1 1 1 1 1 1 1
故： = ( + + + )， 4 3 7 7 11 4 1 4 +3
1 1 1
= ( )，
4 3 4 +3

= ，
12 +9
1
所以：要使 < 成立 13
1 1 1 1
整理得： ( ) < ，
4 3 4 +3 13
解得： < 9
由于 为自然数，
所以： 的最大值为8．
19.【答案】解：(1)证明：因为 1 ⊥平面 ，且 ， 平面 ，可知 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，

在 △ 1 1 中，可得tan∠ 1
1
1 = = 2， 1 1
1
在 △ 1 中，可得tan∠ 1 1 = tan∠
1
1 = = ， 2

即tan∠ 1 1 tan∠ 1 1 = 1，且∠ 1 1, ∠ 1 1 ∈ (0, )， 2

可得∠ 1 1 + ∠ 1 1 = ，则 1 ⊥ 1 ， 2
又因为 1 ⊥ 1 ， 1 ∩ 1 = 1， 1 ， 1 平面 1 ，
可得 1 ⊥平面 1 ，且 平面 1 ，则 1 ⊥ ．
且 1 ∩ 1 = ， 1， 1 平面 1 1，可得 ⊥平面 1 1，
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且 平面 1 1，所以 ⊥ ．
(2)如图，以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，过 平行于直线 1的直线为 轴，建立空间直
角坐标系，
则 (0,4,0)， (4,0,0)， 1(0,3,2)， 1(0,4,2)，
可得 1 = ( 4,4,2), 1 = (0, 1,2), 1 = ( 4,3,2)，
1 = + 2 = 0设平面 1 的法向量为 = ( , , )，则{ ，
1 = 4 + 3 + 2 = 0
令 = 1，解得 = = 2，可得 = (2,2,1)，
2 1
则cos < 1 , >=
1 = = ，
| 1| | | 6×3 9
1
所以直线 1 与平面 1 所成角的正弦值为 ． 9

20.【答案】解：(1)设焦距为2 = 6，则 2 = = 9，解得 = 12．
4
(2)要使点 的横坐标最大，需直线 斜率存在．
设 ： = + 1，与椭圆 联立得(4 2 + 1) 2 + 8 + 4 = 0，
8 4
由韦达定理得 + = 2 , = 2 ．
4 +1 4 +1
8
由 = 2 知 = 2 ，故 = ( + ) = 2 ，
4 +1
要使点 的横坐标最大，在这里不妨取 > 0，
8 8 1 1
所以 = 2 ≤ = ，当且仅当 = 时，等号成立．
4 +1 4 2 2
1 4 2 4 当 = 时，
2
= 2 = 2 ，即 = 8，此时 = 20．
4 +1 2
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2
21.【答案】解：(1)依题意，由点( , )在函数 = + 的图象上， 2 2
2
可得 = + ， 2 2
12 1
则当 = 1时， 1 = 1 = + = 1， 2 2
当 ≥ 2时， = 1
2
2 ( 1) 1
= +
2 2 2 2
= ，
∵当 = 1时， 1 = 1也符合上式，
∴ = ， ∈ ．
(2)由(1)可得， = 2
= 2 ， ∈ ，
( )由题意，可得(2 1) = (2 1) 2
，
则 = 1 × 2
1 + 3 × 22 + 5 × 23 + + (2 1) 2 ，
2 = 1 × 2
2 + 3 × 23 + + (2 3) 2 + (2 1) 2 +1，
两式相减，
可得 = 2
1 + 2 (22 + 23 + + 2 ) (2 1) 2 +1
= 2 + (23 + 24 + + 2 +1) (2 1) 2 +1
23(1 2 1)
= 2 + (2 1) 2 +1
1 2
= (2 3) 2 +1 6，
∴ = (2 3) 2
+1 + 6；
( )由题意，可得 2 2 = 2 ，
则 = 12 × 2
1 + 22 × 22 + 32 × 23 + + 2 × 2 ，
2 = 1
2 × 22 + 22 × 23 + + ( 1)2 × 2 + 2 × 2 +1，
两式相减，
可得 = 1
2 × 21 + (22 12) × 22 + (32 22) × 23 + + [ 2 ( 1)2] × 2 2 × 2 +1
= 1 × 21 + 3 × 22 + 5 × 22 + + (2 1) 2 2 2 +1
= 2 2 +1
= (2 3) 2 +1 + 6 2 2 +1
= ( 2 2 + 3) 2 +1 + 6，
∴ = (
2 2 + 3) 2 +1 6．
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22.【答案】解：(1)由题意可知直线 的斜率存在，设 ： 8 = ( + 2)，
2 2
与双曲线 ： = 1联立，
4 16
可得(4 2) 2 (4 2 + 16 ) (4 2 + 32 + 80) = 0．
∵直线 与双曲线 交于 ， 两点，
∴ 4 2 ≠ 0且 > 0，
5
解得 > 且 ≠ ±2，
2
5
∴直线 斜率的取值范围为( , 2) ∪ ( 2,2) ∪ (2,+∞)；
2
(2)由双曲线方程可得左顶点 ( 2,0)，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，

则 ： = 1 ( + 2)，
1+2
2
令 = 0，得 1 = ， 1+2
2
同理可得 2 = ， 2+2
+ 1 于是， = = +
2
2 1+2 2+2
1 2 + 2 1 + 2( 1 + = 2
)
( 1 + 2)( 2 + 2)
[ ( 1 + 2) + 8] 2 + [ ( 2 + 2) + 8] 1 + 2[ ( 1 + 2) + 4 + 16]
=
1 2 + 2( 1 + 2) + 4
2 1 2+(8+4 )( 1+ 2)+8 +32= ，
1 2+2( 1+ 2)+4
由根与系数关系式有
2 2
4 +16 (4 +32 +80)
1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
4 4
代入上式可得
2 2 2
2 (4 + 32 + 80) + (8 + 4 )(4 + 16 ) + (8 + 32)(4 )
=
(4 2 + 32 + 80) + 2(4 2 + 16 ) + 4(4 2)
128
= = 2，
64
∴线段 的中点为定点 (0, 2)．
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