福建省龙岩市第一中学锦山学校2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷（含答案）

福建省龙岩市第一中学锦山学校 2024-2025 学年高二上学期第二次月
考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 3
1.在( √ ) ( ∈ )的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为( )

A. 32 B. 32 C. 0 D. 1
2.设 为实数，已知直线 1： + 3 2 = 0， 2：6 + ( 3) + 4 = 0，若 1// 2，则 =( )
A. 6 B. 3 C. 6或 3 D. 6或3
2
3.已知椭圆 + 2 = 2，则下列结论正确的是( )
2
√ 2
A. 长轴长为2√ 2 B. 焦距为2 C. 短轴长为2 D. 离心率为
2
4.等比数列{ }的各项均为正数，且 5 6 + 4 7 = 18，则log3 1 + log3 2 + log3 10 =( )
A. 12 B. 10 C. 5 D. 2 35
2 2
5.已知 1， 2是椭圆 ： + = 1的两个焦点，点 在 上，且| 2| = 3，则△ 1 2的面积为( ) 16 12
A. 3 B. 4 C. 6 D. 10
6.若直线 2 = 0与曲线√ 1 ( 1)2 = 1有两个不同的交点，则实数 的取值范围是( )
4 4 4 4 4
A. ( , 2] B. ( , 4] C. [ 2, ) ∪ ( , 2] D. ( , +∞)
3 3 3 3 3
7.已知两点 ( 4,0)， (4,0)，若直线上存在点 ，使| | | | = 6，同时存在点 ，使| | | | = 6，
则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是( )
√ 7 2
A. = B. = 4 C. = D. = 2
3 3
2 2
8.已知 、 为椭圆 + = 1上的动点，直线 与圆 ：( 1)2 + 2 = 1相切，切点 恰为线段 的点，
16 4
当直线 斜率存在时点 的横坐标为( )
4 4 2√ 2 2√ 2
A. B. C. D.
3 3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系 中，已知点 ( 2,0)， (2,0)， 是一个动点，则( )
A. 若| | + | | = 6，则点 的轨迹为椭圆
B. 若| | | | = 2，则点 的轨迹为双曲线
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C. 若| + | = | |，则点 的轨迹为直线
D. 若| | = 2| |，则点 的轨迹为圆
10.现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以
安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是( )
A. 不同安排方案的种数为54
B. 若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 2 45 4
C. 若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为( 3 15 2 +
2 2 3
5 3 ) 3
D. 若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 1 2 3 2 34 4 3 + 4 3
2 √ 3
11.已知双曲线 ： 2
2 = 1( > 0)的一条渐近线的方程为 = ，上、下焦点分别为 1， 2，下列判断 3
正确的是( )
A. 的方程为3 2 2 = 1
2√ 3
B. 的离心率为
3
C. 若点 为 的上支上的任意一点， (2,0)，则| | + | 2|的最小值为2√ 3
√ 2
D. 若点 (2√ 2, )为 的上支上的一点，则△ 1 2的内切圆的半径为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.从2024年伊始，各地旅游业爆火，兵马俑是陕西省旅游胜地.某大学一个寝室6位同学 ， ， ， ， ，
慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求 ， 相邻， 在 的左边，则不同的站法共有______. (
用数字作答)
13.若点 ( 1,2)在圆 ： 2 + 2 + + + = 0的外部，则实数 的取值范围是______．
2 2
14.已知双曲线 ： = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 ， .点 在 上，点 在 轴上， ⊥
2 2 1 2 1 1
，


2
2 = 2 ，则 的离心率为______． 3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆 1：
2 + 2 6 + = 0过点 (3, 5)，且圆 1关于直线 ： 1 = 0对称的圆为 2．
(1)求圆 1的圆心坐标和半径，并求出圆 2的方程；
(2)若过点 ( 2, 4)的直线 ′被圆 2截得的弦长为8，求直线 ′的方程．
16.(本小题15分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > > 0)的离心率为√ 2，实轴长为2．
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(1)求双曲线 的标准方程．
(2)设直线 ： = + 1与双曲线 交于 ， 两点，是否存在 满足 = 2(其中 为坐标原点)，若存在，
求出 的值；若不存在，说明理由．
17.(本小题15分)
已知等差数列{ }的前 项和为

，且 4 = 4 2， 2 = 2 + 1( ∈ )．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 = 3
，数列{ }的前 项和为

.问：是否存在 ∈ ，使得 ， +1， +2成等比数列，若存
在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的一个焦点 1(1,0)，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过焦点 1作 轴的垂线交椭圆上半部分于点 ，过点 作椭圆 的弦 ， ， 、 在椭圆上且直线 ，
的倾斜角互补，问直线 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)在第(2)问的条件下，当△ 面积最大时，求直线 的方程．
19.(本小题17分)
定义1进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进
一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等.也就是说，“满几进一”
就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若 是一个大于1的整数，那么以 为基数的 进制数可以表示
为一串数字符号连写在一起的形式 1 1 0( )( , 1, , 1, 0 ∈ , 0 < < , 0 ≤
1, , 1, 0 < ) 进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式.如7342(8) =
7 × 83 + 3 × 82 + 4 × 81 + 2 × 80．
1
定义2三角形数：形如1 + 2 + 3 + + ，即 ( + 1)( ∈ )的数叫做三角形数．
2

(1)若 (9)9 个 是三角形数，试写出一个满足条件的 的值；
(2)若11111( )是完全平方数，求 的值；
11 1 9 2 7
(3)已知 =
(9) 个 1，设数列{ }的前 项和为 ，证明：当 > 3时， > ． 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】120
1
13.【答案】( 6, )
2
3√ 5
14.【答案】
5
15.【答案】解：(1)将 (3, 5)代入 1方程得：9 + 25 18 + = 0，∴ = 16，故圆 1方程为：
2 + 2
6 16 = 0，
即：( 3)2 + 2 = 25，故圆 1的圆心为 1(3,0)，半径为5．
设 1(3,0)关于直线 ： 1 = 0对称的点为 2( , )，

= 1
则{ 3
= 1
，解得：{ ．
+3
1 = 0 = 2
2 2
故圆 2 22的方程为( 1) + ( 2) = 25．
(2)因为过点 ( 2, 4)的直线 ′被圆 2截得的弦长为8，
故圆心 2(1,2)到直线 ′的距离为 = √ 52 42 = 3．
当直线 ′的斜率不存在时，其方程为 = 2，符合题意；
当直线 ′的斜率存在时，其方程为 + 4 = ( + 2)，
即 + 2 4 = 0，
| 2+2 4| 3| 2|
故圆心 2(1,2)到直线 ′的距离为 = = ，
√ 2 2 +1 √ +1
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3| 2| 3
依题意 = 3，解得： = ，
2 4√ +1
3 6
此时直线 ′的方程为 + 4 = 0，即3 4 10 = 0．
4 4
综上，直线直线 ′的方程为 = 2或3 4 10 = 0．
2 2
16.【答案】解：(1)双曲线 ： 2 2 = 1( > > 0)的离心率为√ 2，实轴长为2．

∵ 2 = 2, = = √ 2，∴ = 1，
= √ 2，
∴ 2 = 2 2 = 2 1 = 1，
故所求双曲线方程为 2 2 = 1．
(2)如图，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 2 = 1
由{ ，消元可得，(1 2) 2 2 2 = 0，
= + 1
当 = 4 2 + 8(1 2) = 8 4 2 > 0，即 √ 2 < < √ 2时，
2 2
1 + 2 = 2， 1 2 = 2，
1 1
∴ 1 2 = ( 1 + 1) ( 2 + 1)
2 2
2 2
= 2 1 2 + ( 1 + 2) + 1 = 2 + 2 + 1 = 1，
1 1
2
∴ = 1 2 + 1 2 = 2 + 1 = 2，解得 = ±√ 3，
1
此时不满足 √ 2 < < √ 2，
故不存在 ，使得 = 2成立．
17.【答案】解：(1)由题意，设等差数列{ }的公差为 ，
由 2 = 2 + 1( ∈

)，
可得当 = 1时，有 2 = 2 1 + 1，即 1 + = 2 1 + 1，
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整理，得 1 = 1，①
又由 4 = 4 2，可得4 1 + 6 = 4(2 1 + )，

化简整理，的 1 = ，② 2
1 = 1
联立①②，可得{ ，
1 = 2
1 = 1解得{ ，
= 2
∴ = 1 + 2 ( 1) = 2 1， ∈ ．
(2)由(1)，可得 = 3

= (2 1) 3 ，
则 = 1 + 2 + +
= 1 31 + 3 32 + 5 33 + + (2 1) 3 ，
3 = 1 3
2 + 3 33 + + (2 3) 3 + (2 1) 3 +1，
两式相减，
可得 2 2 +1 = 3 + 2 (3 + + 3 ) (2 1) 3
32 3 +1
= 3 + 2 (2 1) 3 +1
1 3
= 2( 1) 3 +1 6，
∴ = ( 1) 3
+1 + 3，
则 2 +1 = ( 3
+2 + 3)2 = 2 32 +4 + 6 3 +2 + 9，
+1 +2 = [( 1) 3 + 3][( + 1) 3
+3 + 3]
= ( 2 1) 32 +4 + 2(5 + 4) 3 +2 + 9，
∴ 2 +1 +2 = 3
2 +4 + [6 2(5 + 4)] 3 +2
= 32 +4 4( + 2) 3 +2
= 3 +2 [3 +2 4( + 2)]，
∵ ∈ ，∴ 3 +2 > 0，
构造数列{ }：令 = 3
+2
4( + 2)，
则 = 3 +3 +1 4( + 3)，
∴ +3 +2 +1 = 3 4( + 3) 3 + 4( + 2)
= 2 3 +2 4，
∵ ≥ 1，且 ∈ ，
∴ 2 3 +2 4 ≥ 2 31+2 4 = 50 > 0，
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即 +1 > 0，
∴数列{ }是单调递增数列，
∵当 = 1时， 1+21 = 3 4 × (1 + 2) = 15 > 0，
∴ 3 +2 4( + 2) > 0对任意 ∈ 恒成立，
∴ 3 +2 [3 +2 4( + 2)] > 0，
即 2 +1 +2 > 0，
故不存在正整数 ，使得 ， +1， +2成等比数列．
18.【答案】解：(1)因为椭圆 的一个焦点 1(1,0)，
所以 = 1，
因为两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形
√ 3
所以 = × 2 = √ 3，
2
则 2 = 2 + 2 = 4，
2 2
故椭圆 的标准方程为 + = 1；
4 3
3
(2)易知 (1, )，
2
因为直线 ， 的倾斜角互补，
即直线 的斜率与 的斜率互为相反数，
3
设直线 的方程为 = ( 1) + ，
2
3
= ( 1) +
2
联立{ 2 2 ，消去 并整理得(3 + 4
2) 2 + 4 (3 2 ) + 4 2 12 3 = 0．

+ = 1
4 3
2
4 12 3
由韦达定理得1 × = ， 2
3+4
2
4 12 3 3
解得 = 2 , = + ，
3+4 2
因为直线 的斜率与 的斜率互为相反数，
2
4 +12 3 3
同理得 = 2 , = + + ，
3+4 2
( + ) 2
所以 = =
4 2 12 3 4 2+12 3
2 + 2 2
= 3+4 3+4
12 1
2 2 = = ，
4 12 3 4 +12 3 24 2
3+4 2

3+4 2
1
则直线 的斜率为定值，定值为 ；
2
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1
(3)由(2)知 = ， 2
1
设直线 的方程为 = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2 2
)，
1
= +
2
联立{ 2 2
2 2
，消去 并整理得4 + 4 + 4 12 = 0，
+ = 1
4 3
此时 = 16 2 16(4 2 12) > 0，
解得 2 < < 2，
1 + 2 =
由韦达定理得{ ，
1 2 =
2 3
所以 1 √ 5| | = √ 1 + ( )2 √ ( 1 + 2)2 4 22 1 2 = √ 12 3
，
2
2| |
易知点 到直线 的距离 = ，
√ 5
1 √ 5 2| | 1 1
所以 2 4 2 2 2△ = × √ 12 3 × = √ 3 + 12 = √ 3( 2) + 12， 2 2 √ 5 2 2
因为 2 < < 2，
所以0 ≤ 2 < 4，
则当 = ±√ 2时， △ 取得最大值，最大值为√ 3，
1
此时直线 的方程为 = ± √ 2．
2
即 2 + 2√ 2 = 0和 2 2√ 2 = 0．
(9 1) 1 3 1 3 1
19.【答案】解：(1) (9) = = ( + 1)， 8 2 2 2
当 = 1时， (9)就是一个三角形数．
(2)11111 4 3 2( ) = + + + + 1，

( 2 + )2 < 4 + 3 + 2 + + 1 < ( 2 + + 1)2，即( 2 + )2 < 11111 < ( 2 + + 1)2．
2 2 2 ( ) 2

若 是偶数，则 2 + 和 2 + + 1是两个连续正整数，所以上式不成立，得 是奇数．
2 2
+1
所以11111 = ( 2 + )2( ) =
4 + 3 + 2 + + 1．
2
解得 = 3，即11111 4(3) = 3 + 3
3 + 32 + 3+= 121 = 112．
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9 1
(3)由题意可知： = ，且 > 3， 8
9+92+93+ +9 9 9 则 = = (9 1) = [(1 + 8)
1]
8 8 64 8 64 8
9 9 9 2 7
> [ 0 1 + 8 +
2 2
8 1] = [8 + 32 ( 1)] = ． 64 8 64 8 2
9 2 7
∴ > ． 2
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