2023-2024学年四川省成都七中高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年四川省成都七中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.把余弦曲线上所有的点向左平移个单位长度，得到图像对应函数为( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.在中，，则大小为( )
A. 或 B. 或 C. D.
5.以下等式错误的是( )
A. B.
C. D.
6.若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，正方形的边长为，，，分别为边，，上的点，则以下错误的是( )
A. 若，，则以为圆心，半径为的圆与相切
B. 若，，则面积的取值范围是
C. 若点与点重合，周长为，则
D. 不可能小于
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的值可能是( )
A. B. C. D.
10.下列正确的是( )
A. 在任意四边形中，，分别为，的中点，则
B. 复数是虚数单位，则
C. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
D. 直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积
11.内角，，的对边分别为，，，下列命题中正确的有( )
A. 若，则三角形唯一确定
B. 若，则外接圆面积为
C. 若，，，则
D. 若，则为锐角三角形
12.在直三棱柱中，，下列说法正确的是( )
A. 直三棱柱体积为
B. 直三棱柱侧面积为
C. 沿边旋转一周形成的几何体的体积为
D. 若为的中点，为的中点，过，，三点作该直三棱柱的截面，则截面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，若，则的值为______．
14.已知，则 ______．
15.已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为和，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该圆台的体积为______．
16.中，，为线段上一点，，且，则面积的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数，在区间上的最大值为．
Ⅰ求常数的值；
Ⅱ求函数的最小正周期和单调递减区间．
18.本小题分
如图，正方形边长为，是的中点，与交于点，记，．
Ⅰ求与夹角的余弦值；
Ⅱ若，求的值．
19.本小题分
在复数范围内有关于的方程．
Ⅰ求该方程的根；
Ⅱ求的值；
Ⅲ有人观察到，得，试求的值．
20.本小题分
如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为米．
Ⅰ求该漏斗的表面积；
Ⅱ若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长；
Ⅲ将图中正方形水平放置，在由斜二测画法得到的水平放置的直观图中，求线段的长．
21.本小题分
成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形．
Ⅰ若米，求的长；
Ⅱ求绿化区域面积的取值范围；
Ⅲ绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到，最终返回点拍照已知，求游客所走路程的最大值．
22.本小题分
边长为的正方形的中心为，以为圆心的单位圆上有两动点，满足若点为正方形边上的一个动点．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的最小值；
Ⅲ若，求的最大值．
参考答案
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17.解：因为，
由可得，，
又在区间上的最大值为，
所以；
Ⅱ函数的最小正周期，
令，，
解得，，，
故函数的单调递减区间为，．
18.解：Ⅰ由题意，，，
由是中点，，
可得，，
则，，
，
故；
Ⅱ由Ⅰ及，
可得，
又，
所以，解得，
故．
19.解：Ⅰ因为，所以，
所以或，所以该方程的根为，
Ⅱ因为，所以，所以，
当时，；
当时，，
故的值为或
Ⅲ因为，所以，且，
所以
．
20.解：Ⅰ由题意，该漏斗的表面积；
Ⅱ将漏斗表面展开，如图所示：
由两点间距离最短，可得线段为蚂蚁爬行最短路径，
过点作交的延长线于点，连接，
则，，
在中，，
所以蚂蚁爬过的最短路径的长为米；
Ⅲ正方形的斜二测画法有以下两种：
左图情况下，，在中，由余弦定理可得：
，
右图情况下，，在中，由余弦定理可得：
，
综上所述，线段的长为米或米．
21.解：Ⅰ在中，由余弦定理知，，
所以米．
Ⅱ设，则，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
在中，由正弦定理知，，
即，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
所以面积，
故面积的取值范围为平方米．
Ⅲ设，则，
在中，由正弦定理知，，
所以，
所以，，
所以游客所走路程为，其中，
当时，取得最大值，
故游客所走路程的最大值为米．
22.解：Ⅰ由题意，与的夹角为，与的夹角为，
；
Ⅱ建立如图所示平面直角坐标系，
，不妨设，，，
则，再设，，
．
令，则，，
设，，
则，当，时，的最小值为；
Ⅲ由Ⅱ知，，，，，，
，，，
，
，
由题意可知，
则，
当，即，时，有最大值为．
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