2023-2024学年云南省昆明市盘龙区高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年云南省昆明市盘龙区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则( )
A. B. C. D.
3.在等比数列中，已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
6.直线与曲线有公共点，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
7.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
8.已知正三棱柱的底面边长为，高为，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图，得到一个几何体，如图所示，若所得几何体的六个顶点都在球的球面上，则球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点位于第二象限
C. 的共轭复数 D.
10.多项选择题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得分，部分选对得分，有选错的得分小乐同学在面对一道多项选择题时，仅能明确的排除一个错误选项A，于是她选择在、、三个选项中随机填涂答案提交，若该题在、、中只有两个选项正确，则( )
A. 若小乐填涂三个选项，则该题得分的概率为
B. 若小乐随机填涂一个选项，则该题得分的概率为
C. 若小乐随机填涂两个选项，则该题得分的概率为
D. 若小乐随机填涂两个选项，则该题得分的概率为
11.已知、分别为双曲线的左、右焦点，过、作渐近线的垂线，垂足分别为、，若，则下列选项正确的是( )
A. B. 的面积为
C. 的渐近线方程为 D. 的离心率为
12.已知，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若是：的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个为______．
14.把离心率为的椭圆称为“正椭圆”已知、为“正椭圆”的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，若周长为，则“正椭圆”方程为______．
15.函数在区间上单调递增，则的取值范围为_____．
16.如图，公园要在一块圆心角为，半径为的扇形草坪中修建一个内接矩形文化景观区域，若，则文化景观区域面积的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
记为等差数列的前项和，已知，．
求的通项公式；
求．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，．
求；
已知的面积为，为的中点，，求．
19.本小题分
某市为了解高三数学复习备考情况，该市教研部门组织了一次检测考试，随机抽取名学生的检测成绩满分：分，并以此为样本绘制了如下频率分布直方图：
估计该市高三年级检测成绩的第百分位数；
为进一步了解市内学生数学学习情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生恰有人成绩在内的概率．
20.本小题分
如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面．
证明：平面平面；
设，求四棱锥的高．
21.本小题分
设，令，，．
求，的表达式，并猜想；
若数列满足：，求的前项和；
若数列满足：，求的前项和．
22.本小题分
已知抛物线：上的点到焦点的距离为．
求抛物线的方程；
点在抛物线上，直线与抛物线交于、两点第一象限，过点作轴的垂线交于点，直线与直线、分别交于点，为坐标原点，且，证明：直线过定点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：因为等差数列中，，，
所以，解得，，
故；
．
18.解：因为，由余弦定理，
可得，
化简得，
所以，又，
所以；
由，可得，则，
在中，，，
则有，
化简得，
又，
所以，
即，解得．
19.解：由，解得．
由题可知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为，在分以下所占比例为，
因此，第百分位数一定位于内．
由，可以估计样本数据的第百分位数为分，
据此可以估计该校高一上学期期中数学考试成绩的第百分位数为分；
由题意可知，分数段的人数为，分数段的人数为．
用分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，
设这名学生恰有人成绩在为事件，则样本空间共包含个样本点，
而事件，包含个样本点，
所以，
即抽取的这名学生恰有人成绩在内的概率为．
20.解：证明：平面，又平面，
，又底面为正方形，
，又，且，平面，
平面，又平面，
平面平面；
，上下底面正方形边长为，
，设四棱锥的高为，
则，
，
，
故四棱锥的高为．
21.解：因为，，，
所以，
，
，
因此猜想；；
由，可得，则可得，
所以的前项和；
根据题意，可得，
则的前项和．
22.解：由抛物线方程得，抛物线准线方程为，
点到准线的距离为，
则，，
点在抛物线上，，
，．
抛物线的方程为：．
证明：在抛物线上，
，，，
的方提为．
显然的斜率一定存在．
设直线的方程为，设，，
联立方程组，消去得：，
，即，
由韦达定理得：．
是与直线的交点．
直线的方程为，是与的交点，，
，，
，，
，
，
，
，
整理得：，即，
直线的方程为，过定点．
第1页，共1页