2024-2025学年福建省某中学高一（上）期末数学模拟试卷（含答案）

2024-2025学年福建省某中学高一（上）期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是( )
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 定义域为 D. 在单调递减
7.已知函数，，的零点分别，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中正确的命题是( )
A.
B. 函数在上单调递增
C.
D. 当时恒有
10.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学一个数学分支里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数的最小正周期为，其图象的一个最高点为，下列结论正确的是( )
A. 图象的一个对称中心为
B. 的图象关于对称
C. 若，则的最小值为
D. 将图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到图象；再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象
12.已知函数，若，且，则( )
A. B.
C. 的取值范围是 D. 的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则___________．
14.当 时，函数在区间上单调写出一个值即可．
15.某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比经测算，若在距离码头处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为万元和万元那么两项费用之和的最小值是 万元．
16.已知函数，若方程有两个不同的实根，，且满足，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设函数，．
求函数的最小正周期；
求使函数取最大值时自变量的集合．
18.本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：
已知集合，，若____，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
当时，在给定的平面直角坐标系中作出函数的图象，并写出它的单调递减区间；
若，求实数．
20.本小题分
已知函数．
当时，求不等式的解集；
解不等式．
21.本小题分
生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温脉搏率是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物的体重单位：与脉搏率存在着一定的关系如表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图画出了体重与脉搏率的散点图，图画出了与的散点图．
动物名 体重 脉搏率
鼠
大鼠
豚鼠
兔
小狗
大狗
羊
为了较好地描述体重和脉搏率的关系，现有以下两种模型供选择：
选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
不妨取表中豚鼠和兔的体重脉搏率数据代入所选函数模型，求出关于的函数解析式；
若马的体重是兔的倍，根据的结论，预计马的脉搏率．
参考数据：，
22.本小题分
已知函数，其中是自然对数的底数，．
若函数在区间内有零点，求的取值范围；
当时，，，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：的最小正周期为；
依题意得，，，解得，．
所以函数取最大值时自变量的集合为．
18.解：若选择，
则当时，即，即时，满足题意，
当时，应满足或，解得，
综上可知，实数的取值范围是．
若选择，
则是的子集，，
当，即时，，满足题意；
当时，或，解得，
综上可得，实数的取值范围是．
若选择，则，
当，即时，，满足题意；
当时，，解得；
综上可知，实数的取值范围是．
19.解：当时，，图象如图所示：
由图可知的单调递减区间为，．
依题意，当时，，即，
若，方程无解；若，得；
当时，，即，解得或．
综上所述，当时，或；当时，或或．
20.解：当时，，
即，可化为，
方程的根为：，，
所以，不等式的解为：．
因此的解集为．
，
当时，不等式化为，解得．
当时，抛物线开口向上，此时，
，即时，方程无解，不等式解为：．
，即时，方程有唯一解，，不等式解为：．
，即时，方程有两解，
，，且，
不等式解为或．
时，抛物线开口向下，此时，
显然，方程有两解，，，且．
不等式解为．
综上所述，
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
21.解：模型最符合实际．
根据散点图的特征，图基本上呈直线形式，所以可选择一次函数来刻画和的关系．
，，，
由题意知，，
解得，
所以，整理得，
所以关于的函数解析式为．
设马的体重和脉搏率分别为，，兔的体重和脉搏率分别为，，
由题意知，，
所以，
因为，所以，即马的脉搏率为．
22.解：解法一，当时，，没有零点；
当时，函数是增函数，则需要，解得．
此时，
满足零点存在定理．
因此函数在区间内有一个零点，
综上所述，的取值范围为
解法二，的零点就是方程的解，
即在区间上有解，
方程变形得，
当时，方程无解，
当时，解为，则，解得，
综上所述，的取值范围为
解法一，由题意知，，即，
因为，当且仅当，即时，取等号，
则，
又，
令，，
则当且仅当时等号成立，
所以，即的取值范围是．
解法二，由题意知，，即，
令，，即，
当时，显然不成立，因此．
对于函数，，，
则，解得，即的取值范围是．
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