2024-2025学年北京市某中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市某中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.如果向量，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点是的中点．已知，，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知、，则线段上靠近的三等分点的坐标为( )
A. B. C. D.
6.设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则下列说法正确的是( )
若，则与所成的角为；
若与所成角为，则；
若，则平面与所成的锐二面角为；
若平面与所成的角为，则
A. B. C. D.
7.若点与的中点为，则直线必定经过点( )
A. B. C. D.
8.三棱锥中，，，两两垂直，，，则二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9.三棱锥中，平面，，若，，则三棱锥的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
10.如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱、的中点，是侧面内一点包括边界，则以下命题中，不正确的是( )
A. 平面截正方体所得截面为等腰梯形
B. 存在点，使平面
C. 若平面，则线段长度的取值范围是
D. 若点在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.直线过点，且它的一个方向向量为，则直线的一般式方程为______．
12.若，，为共面向量，则的值为______．
13.正方体中，，分别为棱和的中点，则直线和所成角的余弦值为______．
14.如图，在三棱锥中，，平面，于点，是的中点，，则的最小值为______．
15.如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，是等边三角形，平面平面，，，分别为棱，，的中点，为及其内部的动点，满足平面，给出下列四个结论：
直线与平面所成角为；
二面角的余弦值为；
点到平面的距离为定值；
线段长度的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知平行四边形的三个顶点分别为，，．
求边所在直线的方程；
求四边形的面积．
17.本小题分
在中，，，从；；这三个条件中任选一个作为题目的已知条件．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的面积．
18.本小题分
已知三棱锥，平面平面，点是的中点，，．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
在矩形中，，，点是线段上靠近点的一个三等分点，点是线段上的一个动点，且如图，将沿折起至，使得平面平面．
当时，求证：；
是否存在，使得与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
已知正方体，点，，分别为，，的中点，直线交平面于点．
证明：为中点；
求异面直线与所成角的大小；
若点为棱上一点，二面角的余弦值为，求的值．
21.本小题分
对于向量，若，，三个实数互不相等，令向量，其中，，，．
Ⅰ当时，直接写出向量，，，；
Ⅱ证明：对于，向量中的三个实数，，至多有一个为；
Ⅲ若，，，证明：，．
参考答案
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16.解：平行四边形的三个顶点分别为，，．
因为直线的斜率为，又平行四边形，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即．
因为，
点到直线的距离为，
所以四边形的面积为．
17.解：由题知，三角形为钝角三角形，
选，由余弦定理得：，解得，，
由正弦定理得：，所以；
选，因为，所以，
所以；
选由正弦定理得：，，
所以，
所以；
选，因为，，，所以的面积．
选，由正弦定理得：，，
所以的面积．
选，因为，，，
所以的面积．
18.证明：取的中点，连接，，
因为，所以为正三角形，所以，
因为，所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
解：由知，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又、平面，
所以，，
所以，，两两互相垂直，
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
解：由知平面的一个法向量为，，
所以点到平面的距离为．
19.解：当时，点是的中点．
，．
，．
，，，
．
．
又平面平面，平面平面，平面，
平面．
平面，．
以为原点，的方向为轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系．
则，，．
取的中点，
，，
易证得平面，
，，．
，，．
设平面的一个法向量为，
则
令，则．
设与平面所成的角为，
则，
解得或舍去
存在实数，使得与平面所成的角的正弦值为，此时．
20.解：证明：连接，，
因为平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，
又因为，，所以，
又因为为的中点，所以为中点；
以为坐标原点，所在的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的坐标系：
设正方体的棱长为，
则，，，，
则，
所以，
设异面直线与所成角为
则，所以，即异面直线与所成角的大小为；
设，因为，，，
所以，
设平面的法向量为，则，，
所以，取，可得，
设平面的法向量为，则，
所以，取，可得，
所以，
设，则有，
整理得：，解得负根舍去，即，所以，
所以．
21.解：Ⅰ当时，
，，，；
Ⅱ证明：假设，，三个数中有个为，或三个数均为，
当，，三个数中有个为时，由题意得，
设，，，
则，，即，
这与矛盾；
，，三个数均为时，由题意得，
则，，，
定值，
由，，三个数互不相等，得，且，
，，
设，则，，，
由，得，
，，
以此类推，得到，，，，，
这与，，三个数互不相等矛盾，
对于，向量中的三个实数，，至多有一个为；
Ⅲ证明：设，，三个数中最大的为，记作，
，，，且，，，
，其中，，，，
由题意可知，其中，，，，
，，，不可能单调递减，即必存在某个，使得，
根据的定义，可得向量中的三个数，，中必有，
由Ⅱ知，，中有且仅有一个为，设，
，，，证明：，．
，由题意不妨设，
则，，，
，
，
同理，，，，
，此种情形不可能一直出现，至多出现次，
一定能找到某个，使得；
若，由题意得，，，
存在正整数，使得，
综上，，．
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