2024-2025学年陕西省榆林十二中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省榆林十二中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆与圆相交于，两点，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
5.已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知圆：和两点，，若圆上至少存在一点，使得，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线与直线平行，则的值可以是( )
A. B. C. D.
10.已知，分别是双曲线：的上、下焦点，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线的一个交点为，则( )
A. 圆的方程为 B. 双曲线的离心率为
C. 双曲线的渐近线方程为 D. 的面积为
11.已知正方体的棱长为，动点在正方形内包含边界，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则直线和所成角为
C. 若，则点的轨迹长度为
D. 若，则点到直线的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______．
13.若圆：与曲线有两个公共点，则的取值范围为______．
14.设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，的外接圆为圆．
求圆的方程；
已知直线与圆交于，两点，求的面积．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，为的中点．
求证：直线平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知双曲线的离心率是，焦距为．
求的方程；
若直线：与相交于，两点，且为坐标原点，求的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是等边三角形，平面平面．
求平面与平面所成二面角的正弦值；
已知，，分别是线段，，上一点，且，若是线段上的一点，且点到平面的距离为，求的值．
19.本小题分
给定椭圆：，我们称椭圆为椭圆的“伴随椭圆”已知，分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，等腰的面积为，且顶角的余弦值为．
椭圆的方程；
是椭圆上一点非顶点，直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，证明：为定值．
参考答案
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15.解：设圆的方程为，
因为，，均在圆上，
则，解得，
所以圆的方程为．
由，得，
所以圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
所以，
又点到直线的距离为，
所以的面积为．
16.证明：设，连接，则是的中点，
因为为的中点，所以，
又平面，平面，
所以直线平面D.
解：因为平面，，平面，
所以，，
又，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，
所以，，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，得，所以，
而，
设直线与平面所成角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：由于的焦距为，离心率是，
因此，其中，所以，因此．
因此的方程为．
设，，
联立双曲线方程和直线
化简得，由于直线：与相交于，两点，
因此
所以且，根据韦达定理可得．
又因为，
因此．
所以．
因此，
将韦达定理代入上式可得，
所以，所以，满足且．
18.解：取，的中点分别为，，连接，
因为底面是正方形，所以，
因为是正三角形，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又，平面，
所以，，
以点为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
由题意：，
，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，即，
令，则，
可得平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面所成二面角为，
则，
所以，
即平面与平面所成二面角的正弦值为；
因为，，分别是线段，，上一点，
且，
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，即，
令，则，，可得平面的一个法向量为，
设，则，
，
所以点到平面的距离，
解得舍去，即．
19.解：由，可得，
因为的面积为，所以，
解得，所以椭圆的方程为．
证明：设，直线的斜率为，直线的方程为，
直线的斜率为，直线的方程为，
所以．
由，得，
椭圆的“伴随椭圆”的方程为．
联立，可得，
设，，则，，
，
，
所以．
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