2023-2024学年广东省中山市高二(上)期末数学试卷(含答案)

文档属性

名称 2023-2024学年广东省中山市高二(上)期末数学试卷(含答案)
格式 docx
文件大小 105.5KB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-01-08 08:33:21

图片预览

文档简介

2023-2024学年广东省中山市高二(上)期末数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.椭圆的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知,则该圆的圆心坐标和半径分别为( )
A. B. C. D.
3.已知直线的方向向量为,平面的法向量为,若,则等于( )
A. B. C. D.
4.经过两点、的直线方程都可以表示为( )
A. B.
C. D.
5.在正项等比数列中,,则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.若光线沿倾斜角为的直线射向轴上的点,则经轴反射后,反射光线所在的直线方程为( )
A. B. C. D.
7.某同学在一次模拟实验中,设定一个乒乓球从米高处下落,每次着地后又弹回原来高度的一半再落下,则第次着地时乒乓球所运动的路程之和为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.如图是数学家用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型称为“双球”;在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切,设图中球,球的半径分别为和,球心距,截面分别与球,球切于点,,是截口椭圆的焦点,则此椭圆的离心率等于( )
A. B.
C. D.
二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.空间直角坐标系中,下列说法正确的是( )
A. 点关于坐标平面的对称点的坐标为
B. 点在平面面上
C. 表示一个与坐标平面平行的平面
D. 表示一条直线
10.已知是等比数列的前项和,则( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
11.已知直线经过抛物线:的焦点,且与交于,两点,过,分别作直线的垂线,垂足依次记为,,若的最小值为,则下列结论正确的为( )
A.
B. 为钝角
C.
D. 若点,在上,且为的重心,则
12.形如的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型,因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“”,所以也称为“对勾函数”研究证明,对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到,即对勾函数是双曲线已知为坐标原点,下列关于函数的说法正确的是( )
A. 渐近线方程为和
B. 的对称轴方程为和
C. ,是函数图象上两动点,为的中点,则直线,的斜率之积为定值
D. 是函数图象上任意一点,过点作切线,交渐近线于,两点,则的面积为定值
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.抛物线的焦点到准线的距离为______.
14.已知圆:与圆:相交,则它们交点所在的直线方程为 .
15.如图,在正四棱锥中,,,分别为侧棱,,上的点,,,,四点共面,若,,则 ______.
16.已知数列的前项和为,,,令,则数列的前项和 ______.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆过两点,,且圆心在直线上.
求圆的方程;
过点作直线与圆交于,两点,若,求直线的方程.
18.本小题分
在数列中,,,.
设,求证:数列是等比数列;
求数列的前项和.
19.本小题分
在平行六面体中,,,.
求;
求和所成角的余弦值.
20.本小题分
如图,椭圆:的左焦点为,右焦点为,离心率,过的直线交椭圆于、两点,且的周长为.
求椭圆的方程;
设动直线:与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点,试探究:在轴上是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
21.本小题分
类比平面解析几何的观点,在空间中,空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹,在空间直角坐标系中,空间平面和曲面的方程是一个三元方程.
类比平面解析几何中直线的方程,直接写出:
过点,法向量为的平面的方程;
平面的一般方程;
在,,轴上的截距分别为,,的平面的截距式方程;不需要说明理由
设,为空间中的两个定点,,我们将曲面定义为满足的动点的轨迹,试建立一个适当的空间直角坐标系,并推导出曲面的方程.
22.本小题分
如图,在四棱台中,底面是菱形,,,,.
Ⅰ求证:直线平面;
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解:,,线段的中点,,
可得线段的垂直平分线的方程:,化为:.
联立,解得圆心.

圆的方程为:;
直线的斜率不存在时,直线的方程为:,
则圆心到直线的距离,可得弦长为,满足条件;
直线的斜率存在时,设直线的方程为:,即,
则圆心到直线的距离,
可得弦长,解得.
,解得,可得直线的方程为:.
综上可得直线的方程为:或.
18.证明:数列中,,,
整理得:,
由于,
故常数;
数列是以为首项,为公比的等比数列.
由得,
所以,
故.
19.解:,,
由条件可知;
由知,于是,
,于是,
故AC和所成角的余弦值为.
20.解:由题意椭圆:的左焦点为,右焦点为,离心率,
过的直线交椭圆于、两点,且的周长为.
可得,,
因为,所以,
而,所以,
故椭圆的方程为:.
由,消元可得,
动直线:与椭圆有且只有一个公共点,,,
此时,,,
由得,
假设在轴上存在定点,使得以为直径的圆恒过点,
设,则,,
,,
整理得,对任意实数,恒成立,
所以,
故在轴上存在定点,使得以为直径的圆恒过点.
21.解:,


以两个定点,的中点为坐标原点,
以,所在的直线为轴,以线段的垂直平分线为轴,
以与平面垂直的直线为轴,
建立空间直角坐标系,如图所示,
设,,
设的坐标为,可得,


移项得,
两边平方,得,
两边平方,整理得,
令,得
因此,可得曲面的方程为.
22.解:证法一:连接,交于,
因为,,,
所以≌,故B,
又因为为菱形对角线交点,即是线段的中点,所以,
又四边形为菱形,故AC,
而,所以平面.
证法二:因为,
所以点在平面内的射影在为的平分线,
又四边形为菱形,故BD为的平分线,则直线,
故平面平面,而平面平面,
又四边形为菱形,故AC,
所以平面.
Ⅱ解法一:延长,,,交于点,
平面即为平面,平面即平面,
由得平面平面,平面平面,
所以过做,则平面,
故即为直线与平面所成角,
因为四棱台中,所以,
因为,所以,
作,因为,则,,所以,
,,,
故.
解法二:延长,,,交于点,
平面即为平面,平面即平面,
设直线与平面所成角为
过作,垂足为,因为,所以
建系,以,为,轴,作轴,


设平面的法向量为,
则,所以,

所以.
第1页,共1页
同课章节目录