2024-2025学年上海市宝山区通河中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市宝山区通河中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为则这个圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
3.化简式子，得( )
A. B. C. D.
4.已知，是空间中两条不同的直线，平面，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则
二、填空题：本题共12小题，共42分。
5.已知复数， ______．
6.若向量，且与垂直，则实数______．
7.在数列中，，，则 ______．
8.设，，则的值为 ．
9.命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是______命题选填“真”或“假”．
10.向量在向量方向上的数量投影为______．
11.正方体中，二面角的大小为______．
12.数列中，其前项和，则 ______．
13.已知无穷数列满足为正整数，且，记为数列的前项和，则 ______．
14.给出以下四个命题：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
如果一条直线和一个平面上的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
、与平面成角相等，则．
其中是真命题的有______．
15.在数列中，，且，则 ______．
16.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且若，点为棱的中点，点在上，则线段，的长度和的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
求在区间上的最大值和最小值．
18.本小题分
已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
19.本小题分
据黑鞑事略记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体如图，已知该圆锥的高为米，圆柱的高为米，底面直径为米．
求该蒙古包的表面积不含底面；
求该蒙古包的体积．
20.本小题分
如图，正方体的棱长为，，求：
与所成角的大小；
与平面所成角的正切值．
21.本小题分
如图，三棱柱中，底面为正三角形，平面，且， 是的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面平面；
Ⅲ在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是，若存在，求长；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.假
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：，，则的最小正周期为．
，则，，．
所以在上的最大值为，最小值为．
18.解：设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，
由，，可得，
；
即有，，
则，
则；
，
则数列的前项和为：
．
19.解：蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体，
且该圆锥的高为米，圆柱的高为，底面直径为，
，又，
故该蒙古包的表面积为；
由题意可得该蒙古包的体积为：
．
20.解：，
与所成的角就是．
平面，平面，
，
又，，，平面，
平面．
又平面，，
在中，，，，
．
即与所成角为．
如图，作于，连接．
平面平面，平面平面，平面，
平面，
为与平面所成的角．
在中，，，
．
即与平面所成角的正切值为．
由可知平面．
又平面，平面平面．
即平面与平面所成的角为．
21.解：Ⅰ连接交于点，连接．
三棱柱中，平面，
四边形为矩形，可得点为的中点．
为中点，得为中位线，
．
平面，平面，
平面分
Ⅱ底面正三角形，是的中点
平面，平面，．
，平面，
平面，平面平面分
Ⅲ假设在侧棱上存在一点，使三棱锥的体积是，设
三棱锥的体积
，得．
，即
在侧棱上存在一点，当时，三棱锥的体积是分
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