2023-2024学年广东省广州市九区联考高一（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省广州市九区联考高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知集合只有一个元素，则实数的值为( )
A. 或 B. C. D. 或
3.方程的根所在的区间是( )
A. B. C. D.
4.设，，，则( )
A. B. C. D.
5.函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.函数在一个周期内的图象如图所示，为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点( )
A. 向左平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
7.函数，若，则的值为( )
A. B. 或 C. 或 D.
8.中国茶文化博大精深茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关经验表明，有一种茶的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感某研究人员在室温下，每隔测一次茶水温度，得到数据如下：
放置时间
茶水温度
为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：
，．
选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为参考数据：，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
10.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如令函数，以下结论正确的有( )
A.
B. 的最大值为，最小值为
C.
D. 与的图象没有交点
11.已知函数，下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 不等式的集是
C. 函数，的最小值为
D. 若则
12.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，的最小值为
B. 若存在最小值，则的取值范围为
C. 若是减函数，则的取值范围为
D. 若存在零点，则的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. ______．
14.已知幂函数的图象过点，则 ______．
15.已知函数，若，且，则的取值范围是______．
16.设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
若角的终边经过点，且．
求；
求的值．
18.本小题分
设全集为，集合，．
若，求，；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数为奇函数．
求的值；
判断函数在内的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．
20.本小题分
已知函数，．
求函数的单调递增区间；
若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．
若函数有且仅有个零点，求所有零点之和．
21.本小题分
某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式为常数，如果不开展促销活动，年销量是吨已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为万元，每生产吨食品需再投入万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完．
求值；
将下一年的利润万元表示为促销费万元的函数；
该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？
注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用
22.本小题分
已知函数图象的对称轴与对称中心之间的最小距离为，且满足．
求的解析式；
已知函数，若有且只有一个实数，对于，，使得，求实数的值．
参考答案
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17.解：角的终边经过点，且．
．
由可得，，．
．
18.解：因为集合或，
时，集合，
所以或，
又因为全集为，所以或，
所以或；
因为，且，
所以时，，此时，满足题意；
由，解得；
由，解得；
综上，实数的取值范围是或．
19.解：函数为奇函数，
所以，即，
，
解得．
由可得，在内单调递减，证明如下：
设，
，
因为，所以，，，
所以，，，
得，即，
所以函数在上单调递减．
20.解：由，，
得，，
所以函数的单调递增区间为，．
因为函数在区间上有两个零点，
令，即在区间上有两个根，
因为在单调递增，上单调递减．
所以，即，所以，
所以的取值范围为．
令，得，，
所以函数的一个对称中心为，
直线关于点中心对称，
所以函数得图像关于点中心对称，且，
因为函数有且仅有个零点，设为，，，
所以，故所有零点之和为．
21.解：由题意，将，代入，解得；
由可得，
当年生产万件时，年生产成本为：，
当销售万件时，年销售收入为：，
由题意，生产万件产品正好销完，且年利润年销售收入年生产成本促销费，
所以，
即：；
由有，
当且仅当，即时，等号成立，所以当促销费投入万元时，企业年利润最大．
22.解：由对称轴与对称中心之间的最小距离为，可得，即，，
由，可得，即，
可得，，可令，可得，
则；
当，可得，，；
当时，在的值域为，由题意可得，
即有，且，解得，的值不唯一，故不符题意；
当时，的对称轴为，在递增，可得，
由题意可得，
即有，且，由题意的值有且只有一个，可得，解得，与矛盾，
故，若，即时，在递增，可得的值域为，
由题意可得，
即有，且，由题意的值有且只有一个，可得，解得，成立；
当时，，在的值域为，由题意可得，
即有，且，解得，不成立；
当时，，在的值域为，由题意可得，
即有，且，由题意的值有且只有一个，
可得，解得，与矛盾，不成立；
当时，，在的值域为，由题意可得，
即有，且，由题意的值有且只有一个，
可得，解得，由，可得．
综上，可得，．
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