2023-2024学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知，，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.过点作圆的切线，则点到切点得居距离为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的公差为，，则( )
A. B. C. D.
4.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的焦点为，，等轴双曲线的焦点为，，若四边形是正方形，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知正项等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
7.三棱锥中，点面，且，则实数( )
A. B. C. D.
8.已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为，过点向双曲线的一条渐近线作垂线．垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若三条直线：，：，：有个公共点，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
10.平面直角坐标系中，已知，，则使得动点的轨迹为圆的条件有( )
A. B. C. D.
11.已知曲线：，则下列结论正确的是( )
A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上
B. 若，则是圆，其半径
C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则是两条直线
12.已知数列中，，，则下列结论正确的是( )
A. 当时，数列为常数列 B. 当时，数列单调递减
C. 当时，数列单调递增 D. 当时，数列为摆动数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.过点作直线与交于，两点，若，则直线的倾斜角为______．
14.设是数列的前项和，，，则______．
15.设，是椭圆的两个焦点，为椭圆上任一点，若且的面积为，则该椭圆的短轴长为______．
16.设集合，若中任意个元素均不构成等差数列，则集合中元素最多有______个
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
棱长为的正四面体中，设，，，分别是棱，的中点．
用向量，，表示；
求．
18.本小题分
已知公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
设是的前项和，求使成立的最大的正整数．
19.本小题分
在三棱台中，，，，平面，C.
求证：；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
已知椭圆：．
若椭圆的焦距为，求的值；
设，若椭圆上两点，满足，求点横坐标取最大值时的值．
21.本小题分
已知数列的前项和为，点在函数的图象上．
求数列的通项公式；
设，
求数列的前项和；
求数列的前项和．
22.本小题分
过点作直线与双曲线交于，两点，是双曲线的左顶点，直线，与轴分别交于点，．
求直线斜率的取值范围；
求证：线段的中点为定点，并求出点的坐标．
参考答案
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17.解：在棱长为的正四面体中，
设，，，，分别是棱、的中点，
连接，
则，
，，，
根据空间向量的线性运算得．
，
在正四面体中的夹角为，
，
．
18.解：公差不为的等差数列的首项，
且，，成等比数列．
则：，
解得：或舍去，
故：，
由于：，
所以：，
所以：，
故：，
，
，
所以：要使成立
整理得：，
解得：
由于为自然数，
所以：的最大值为．
19.解：证明：因为平面，且，平面，可知，，
在中，可得，
在中，可得，
即，且，
可得，则，
又因为，，，平面，
可得平面，且平面，则．
且，，平面，可得平面，
且平面，所以．
如图，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过平行于直线的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，解得，可得，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20.解：设焦距为，则，解得．
要使点的横坐标最大，需直线斜率存在．
设：，与椭圆联立得，
由韦达定理得．
由知，故，
要使点的横坐标最大，在这里不妨取，
所以，当且仅当时，等号成立．
当时，，即，此时．
21.解：依题意，由点在函数的图象上，
可得，
则当时，，
当时，
，
当时，也符合上式，
，．
由可得，，，
由题意，可得，
则，
，
两式相减，
可得
，
；
由题意，可得，
则，
，
两式相减，
可得
，
．
22.解：由题意可知直线的斜率存在，设：，
与双曲线联立，
可得．
直线与双曲线交于，两点，
且，
解得且，
直线斜率的取值范围为；
由双曲线方程可得左顶点，
设，，
则：，
令，得，
同理可得，
于是，
，
由根与系数关系式有
，，
代入上式可得
，
线段的中点为定点．
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