2024-2025学年福建省龙岩市龙岩一中锦山学校高二（上）第二次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省龙岩一中锦山学校高二（上）第二次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在的展开式中，所有的二项式系数之和为，则所有系数之和为( )
A. B. C. D.
2.设为实数，已知直线：，：，若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.已知椭圆，则下列结论正确的是( )
A. 长轴长为 B. 焦距为 C. 短轴长为 D. 离心率为
4.等比数列的各项均为正数，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知，是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
6.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知两点，，若直线上存在点，使，同时存在点，使，则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是( )
A. B. C. D.
8.已知、为椭圆上的动点，直线与圆：相切，切点恰为线段的点，当直线斜率存在时点的横坐标为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则( )
A. 若，则点的轨迹为椭圆
B. 若，则点的轨迹为双曲线
C. 若，则点的轨迹为直线
D. 若，则点的轨迹为圆
10.现安排甲、乙、丙、丁、戊这名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是( )
A. 不同安排方案的种数为
B. 若每项工作至少有人参加，则不同安排方案的种数为
C. 若司机工作不安排，其余三项工作至少有人参加，则不同安排方案的种数为
D. 若每项工作至少有人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为
11.已知双曲线的一条渐近线的方程为，上、下焦点分别为，，下列判断正确的是( )
A. 的方程为
B. 的离心率为
C. 若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为
D. 若点为的上支上的一点，则的内切圆的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从年伊始，各地旅游业爆火，兵马俑是陕西省旅游胜地某大学一个寝室位同学，，，，，慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求，相邻，在的左边，则不同的站法共有______用数字作答
13.若点在圆：的外部，则实数的取值范围是______．
14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：过点，且圆关于直线：对称的圆为．
求圆的圆心坐标和半径，并求出圆的方程；
若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
16.本小题分
已知双曲线的离心率为，实轴长为．
求双曲线的标准方程．
设直线：与双曲线交于，两点，是否存在满足其中为坐标原点，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为问：是否存在，使得，，成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知椭圆：的一个焦点，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．
求椭圆的标准方程；
过焦点作轴的垂线交椭圆上半部分于点，过点作椭圆的弦，，、在椭圆上且直线，的倾斜角互补，问直线的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
在第问的条件下，当面积最大时，求直线的方程．
19.本小题分
定义进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若是一个大于的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式如．
定义三角形数：形如，即的数叫做三角形数．
若是三角形数，试写出一个满足条件的的值；
若是完全平方数，求的值；
已知，设数列的前项和为，证明：当时，．
参考答案
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15.解：将代入方程得：，，故圆方程为：，
即：，故圆的圆心为，半径为．
设关于直线：对称的点为，
则，解得：．
故圆的方程为．
因为过点的直线被圆截得的弦长为，
故圆心到直线的距离为．
当直线的斜率不存在时，其方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，其方程为，
即，
故圆心到直线的距离为，
依题意，解得：，
此时直线的方程为，即．
综上，直线直线的方程为或．
16.解：双曲线的离心率为，实轴长为．
，，，
，
故所求双曲线方程为．
如图，

设，，
由，消元可得，，
当，即时，
，，
，
，解得，
此时不满足，
故不存在，使得成立．
17.解：由题意，设等差数列的公差为，
由，
可得当时，有，即，
整理，得，
又由，可得，
化简整理，的，
联立，可得，
解得，
，．
由，可得，
则
，
，
两式相减，
可得
，
，
则，
，
，
，，
构造数列：令，
则，
，
，且，
，
即，
数列是单调递增数列，
当时，，
对任意恒成立，
，
即，
故不存在正整数，使得，，成等比数列．
18.解：因为椭圆的一个焦点，
所以，
因为两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形
所以，
则，
故椭圆的标准方程为；
易知，
因为直线，的倾斜角互补，
即直线的斜率与的斜率互为相反数，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得．
由韦达定理得，
解得，
因为直线的斜率与的斜率互为相反数，
同理得，
所以
，
则直线的斜率为定值，定值为；
由知，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
所以，
易知点到直线的距离，
所以，
因为，
所以，
则当时，取得最大值，最大值为，
此时直线的方程为．
即和．
19.解：，
当时，就是一个三角形数．
，
，即．
若是偶数，则和是两个连续正整数，所以上式不成立，得是奇数．
所以．
解得，即．
由题意可知：，且，
则
．
．
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