甘肃省兰州市第五十一中学2024-2025学年高一上学期摸底数学试卷（PDF版，含答案）

甘肃省兰州市第五十一中学 2024-2025 学年高一上学期摸底数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,1,2,3}， = {2,3,4}，则 ∪ =( )
A. {2,3} B. {0,1,2,3,4} C. [2,3] D. [0,4]
2.命题“ ∈ ， 2 2| | ≥ 0”的否定是( )
A. ∈ ， 2 2| | < 0 B. ， 2 2| | ≥ 0
C. ∈ ， 2 2| | ≥ 0 D. ∈ ， 2 2| | < 0
3.“函数 ( )在[ 1,1]上有最大值”是“函数 ( )在[ 1,1]上单调”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设函数 ( ) = 3 + 2 4的零点为 0，则 0 ∈( )
A. ( 1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3)
5.已知 = 32, = 2
1.1, = 35，则 ， ， 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
6.溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用 值来表示溶液的酸碱度.
的计算公式为 = ( +)，其中 ( +)表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知 溶液中氢离子
的浓度是0.135摩尔/升，则 溶液的 值约为(参考数据： 2 ≈ 0.301， 3 ≈ 0.477)( )
A. 0.268 B. 0.87 C. 1.13 D. 1.87
(4 ) + 2 , < 1
7.已知函数 ( ) = { 的值域为 ，则实数 的取值范围是( )
3 , ≥ 1
A. ( 4,4) B. [ 4,4) C. ( ∞, 4] D. { 4}
1
8.若函数 ( ) = ( )| 1| 有零点，则实数 的取值范围是( )
4
A. (0,1] B. [ 1, +∞) C. [1,2] D. [0,1)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中既是奇函数，又在(0, +∞)上为增函数的是( )
1
A. ( ) = + B. ( ) = 3 C. ( ) = √ D. ( ) =

10.下列命题中正确的是( )
4
A. 240°化成弧度是
3
B. 终边在直线 = 上的角 的取值集合可表示为{ | = 360° + 45°, ∈ }
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C. 若 为第二象限角，则 为第一象限或第三象限角
2
6
D. 若一扇形的弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为

11.已知函数 ( ) = log2 ， ( ) =
2 + + 3，则下列说法正确的是( )
A. 关于 的不等式 ( ) < 3的解集为(0,8)
B. 当 = 2时，函数 = ( ( ))的单调递增区间为( ∞, 1]
1
C. 若函数 = ( ( ))在(1,2)上单调递减，则实数 的取值范围是( , 2]
2
D. 若 1， 2为方程| ( )| = 的两根，则
2
1 2 +
2
1 2的取值范围是(2, +∞)
三、填空题：本题共 3 小题，共 20 分。
12. 480°的值为______．
13.若函数 = log ( 1) + 6( > 0且 ≠ 1)的图象恒过点 ( , )，则 + = ______，函数 ( ) =
( 21 + 4)的值域为______．
3
+1
14.若函数 = 在[1, +∞)上是严格减函数，且在[1, +∞)上函数值不恒为负，则实数 的取值范围是
+1
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
(1)已知正数 满足 2 + 2 = 4，求下列各式的值：
① 4 + 4
② + 1
2
(2)求值： 83 + 2 5 32
53
49 25 ．
16.(本小题12分)
若角 的终边过点 ( 5 , 12 )( ≠ 0)．
(1)求 + 的值．
(2)试判断cos( ) sin( )的符号．
17.(本小题12分)
已知幂函数 ( ) = ( 2 + 3 + 3) 3 1为偶函数．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若 ( 1) ≥ (1 + 2 )，求实数 的取值范围．
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18.(本小题12分)
3 +1
已知函数 ( ) = 是定义在 上的奇函数． 3 +1
(1)求实数 的值；
(2)设函数 ( ) = ( ) + 1，求 ( )的零点；
(3)当 ∈ ( ∞, 1]时，求函数 ( ) = ( ) (3 + 1) + 9 3 2的值域．
19.(本小题12分)
若函数 ( )的定义域为 .集合 ，若在非零实数 使得任意 ∈ 都有 + ∈ ，且 ( + ) > ( )，则
称 ( )为 上的 增长函数．
3
(1)已知函数 ( ) = ，函数 ( ) = 2，判断 ( )和 ( )是否为区间[ 1,0]上的 增长函数，并说明理由；
2
(2)已知函数 ( ) = | |，且 ( )是区间[ 4, 2]上的 增长函数，求正整数 的最小值；
(3)如果 ( )的图像关于原点对称，当 ≥ 0时， ( ) = | 2| 2，且 ( )为 上的4 增长函数，求实数
的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
2
13.【答案】8 ( ∞, 1]
14.【答案】[ 1,1)
15.【答案】解：(1)因为正数 满足 2 + 2 = 4，所以① 4 + 4 = ( 2 + 2)2 2 = 42 2 = 14；
②( + 1)2 = 2 + 2 + 2 = 4 + 2 = 6，又 + 1 > 0，所以 + 1 = √ 6．
2
(2) 83 + 2 5 32 49 25
53
2
3 2 9 32= lg(2 )3 + 2 5 5 5
3 4
2 9
= 2 2 + 2 5 9
3 3
2 3
= 2( 2 + 5) 9
3 2
= 2 (2 × 5) 1 9
= 2 1 9 = 8．
16.【答案】解：(1)角 的终边过点 ( 5 , 12 )( ≠ 0)，
则 = 5 ， = 12 ， = 13| |，
12 5 7
当 > 0时， = 13 ， + = = ，
13 13 13
12 5 7
当 < 0时， = 13 ， + = + = ；
13 13 13
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12
(2)当 > 0时， = ∈ (0, )，
13 2
则cos( ) > 0，
5
= ∈ ( , 0)，sin( ) < 0，
13 2
故cos( ) sin( ) < 0，
同理可得，当 < 0时，cos( ) sin( ) > 0，
综上所述，当 > 0时，cos( ) sin( )的符号为负，
当 < 0时，cos( ) sin( )的符号为正．
17.【答案】解：(1)因为 ( ) = ( 2 + 3 + 3) 3 1为幂函数，
所以 2 + 3 + 3 = 1，解得 = 1或 = 2，
当 = 1时， ( ) = 4为偶函数，符合题意，
当 = 2时， ( ) = 7为奇函数，不符合题意，
所以 ( ) = 4；
(2)因为 ( ) = 4为偶函数，且在(0, +∞)上单调递减，在( ∞, 0)上单调递增，
由 ( 1) ≥ (1 + 2 )得| 1| ≤ |1 + 2 |，且 1 ≠ 0，1 + 2 ≠ 0，
解得 ≤ 2或 > 0且 ≠ 1，
所以实数 的取值范围为( ∞, 2] ∪ (0，1) ∪ (1，+∞)．
3 +1 30+1
18.【答案】解：(1)根据题意知 (0) = 0，代入函数 ( ) = 得： (0) =3 +1 30
= 0，
+1
所以 = 3，
经检验，当 = 3时函数 ( )为奇函数．
3 3 +1 4 2×3
(2)函数 ( ) = ( ) + 1 = + 1 = ， 3 +1 3 +1
令 ( ) = 0，得：4 2 × 3 = 0， = log32，
综上所述，函数 ( )的零点为log32.
(3)函数 ( ) = ( ) (3 + 1) + 9 3 2 = 9 4 × 3 + 1，
设3 = (0 < ≤ 3)，函数 ( ) = 2 4 + 1，
结合二次函数性质，对称轴 = 2，
当 = 0时， ( ) = 1，
当 = 2， ( ) = 3，
综上所述，函数值域为[ 3,1)．
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3
19.【答案】解：(1) ( ) = 是区间[ 1,0]上的 增长函数，理由如下：
2
3 3 3
因为 ∈ [ 1,0]， ( + ) ( ) = ( + ) = > 0；
2 2 2
( ) = 2
3
不是区间[ 1,0]上的 增长函数，理由如下：
2
3 1 1
反例：当 = 1时， ( 1 + ) = ( ) = < ( 1) = 1．
2 2 4
(2)由题意得，| + | > | |对于 ∈ [ 4, 2]恒成立，
等价于 2 + 2 + 2 > 2，即2 + 2 > 0对 ∈ [ 4, 2]恒成立，
令 ( ) = 2 + 2，因为 > 0，所以 ( )是区间[ 4, 2]上单调递增的一次函数，
要保证2 + 2 > 0对 ∈ [ 4, 2]恒成立，则 ( ) > 0，
即 ( 4) = 8 + 2 > 0，解得 > 8，
所以满足题意的最小正整数 为9．
(3)根据题意，当 > 2时， ( ) = 2 2，当0 ≤ ≤ 2时， ( ) = ，
因为 ( )的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示：
2 2, > 2
所以 ( ) = { , 2 ≤ ≤ 2，
+ 2 2, < 2
若 ( )是 上的4 增长函数，则对任意的 ，都有 ( + 4) > ( )，
因为 ( + 4)是将 ( )向左平移四个单位得到，如下图所示，
所以2 2 4 < 2 2，解得 1 < < 1，
所以实数 的取值范围为( 1,1)．
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