江西省宜春市丰城九中2023-2024学年高一上学期期末数学试卷（A卷）（PDF版，含答案）

江西省宜春市丰城九中 2023-2024 学年高一上学期期末数学试卷（A 卷）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = { ∈ |1 < ≤ 3}， = { ∈ | 2 7 + 10 < 0}，则 ∪ 的子集的个数为( )
A. 8 B. 6 C. 5 D. 3
2.若 是第一象限角，则下列各角中第四象限的角是( )
A. 90° B. 90° + C. 360° D. 180° +
3.已知扇形的面积为4，扇形圆心角的弧度数为2，则扇形的弧长为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4.“函数 ( ) = 1(3 )在区间(1,2)上单调递增”的充要条件是( )
2
3 3
A. ∈ (0, +∞) B. ∈ (0,1) C. ∈ (0, ) D. ∈ (0, ]
2 2
5.若幂函数 = ( )的图像经过点(18,3√ 2)，则函数 ( 6) + [ ( )]2的最小值为( )
11 13 7
A. B. C. 6 D.
4 4 2
6.某种药物作用在农作物上的分解率为 ，与时间 (小时)满足函数关系式 = (其中 ， 为非零常数)，
若经过12小时该药物的分解率为10%，经过24小时该药物的分解率为20%，那么这种药物完全分解，至少
需要经过( )(参考数据： 2 ≈ 0.3)
A. 48小时 B. 52小时 C. 64小时 D. 120小时
7.已知定义在[ 1,2 ]上的偶函数 ( )，且当 ∈ [0,2 ]时， ( )单调递减，则关于 的不等式 ( 1) >
(2 3 )的解集是( )
2 1 5 1 2 2 5
A. (0, ) B. [ , ] C. ( , ) D. ( , ]
3 6 6 3 3 3 6
2 2 , ≤ 0
8.已知函数 ( ) = {| |, > 0 ， ( ) = 2[ ( )]
2 ( ) + 1，若 ∈ (2√ 2, 3)，则 ( )零点的个数1
2
为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为调研某地空气质量，测得该地连续10天 32.5( 2.5是衡量空气质量的重要指标，单位： / )的日均
值，依次为36，26，17，23，33，106，42，31，30，33，则( )
A. 中位数为31或33 B. 第60百分位数与众数相同
C. 前4天的极差大于后4天的极差 D. 前4天的方差小于后4天的方差
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10.下列说法正确的是( )
17
A. 与 的终边相同
9 9

B. 若 为第二象限角，则 为第一象限角
2

C. 终边经过点( , )( > 0)的角的集合是{ | = + 2 , ∈ }
4
1
D. 若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为
sin2
1
11.已知命题 ：函数 ( ) = 2 2 + 1在( ∞, 2)上单调递减，则下列是命题 的一个必要不充分条件是
( )
1 1
A. ∈ (0, ) B. ∈ [0, ] C. ∈ ( ∞, 1] D. ∈ [0,1]
2 2
12.已知实数 ， > 0， + 2 = ，则下列结论正确的是( )
4
A. + ≥ 3 + 2√ 2 B. 2 + 4 ≥ 32 C. log2( ) ≥ 3 D. + ≥ 4
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
1 3
.计算0.064
1
13 3 + ( )0 2 22 + 2 2 + 25结果是______．
8
14.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且当 > 0时， ( ) = 3 + + 1，则 ( )在 上的解析式为______．
1 1
15.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 .假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个
2 3
落入盒子的概率为______．
16.已知函数 ( ) = 2 + log3 ， ∈ [1,9]，则函数 = [ ( )]
2 + ( 2)的值域为_______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数 ( ) = lg(2 ) + √ + 1的定义域为 ．
(1)求 ；
(2)设集合 = { |23 5 > 24 }，若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
已知 ， 为正实数，函数 ( ) = 2 ( + 2 ) + 2 ．
(Ⅰ)若 (1) = 1，求2 + 的最小值；
(Ⅱ)若 (0) = 2，求不等式 ( ) ≤ 0的解集(用 表示)．
19.(本小题12分)
从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 和195 之间，将测量结果
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按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法
得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为 ， ，事件 = {|
| ≤ 5}，求 ( )．
20.(本小题12分)

已知函数 ( ) = 2 ( > 0)． 2 2 4
√ 2
(1)若 ∈ [ , 1]，求 ( )的取值范围；
2
(2)若 ( 1) = ( 2) = ，且 2 > 2 1 > 0，求实数 的取值范围．
21.(本小题12分)
随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗
器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生
产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台.每生产 台，需另投入成本 ( )万元，
2 + 120 , 0 < ≤ 50
且 ( ) = { 4900 ，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生
201 + 2100,50 < ≤ 100

产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润 ( )万元关于年产量 台的函数解析式(利润=销售收入 成本)；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
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22.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = ( > 0且 ≠ 1)． +1
1
(1)若当 = 时，函数 ( ) = ( ) 在(1, +∞)有且只有一个零点，求实数 的取值范围；
2
(2)是否存在实数 ，使得当 ( )的定义域为[ , ]时，值域为[1 + log , 1 + log ]，若存在，求出实数 的
范围；若不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】4
3 + + 1 , > 0
14.【答案】 ( ) = {0 , = 0
3 + 1 , < 0
2
15.【答案】
3
16.【答案】[6,13]
17.【答案】解：(1) ∵函数 ( ) = lg(2 ) + √ + 1的定义域为 ，
2 > 0
∴ = { | { } = { | 1 ≤ < 2}．
+ 1 ≥ 0
(2)集合 = { |23 5 > 24 } = { |3 5 > 4 } = { | < 5}，
∵ ∩ = ，
∴ 5 ≤ 1，解得 ≤ 4．
∴实数 的取值范围是( ∞, 4]．
1 2
18.【答案】解：(Ⅰ) ∵ (1) = 1 ( + 2 ) + 2 = 1，∴ + = 2，

1 1 2 1 2 2 9
∵ ， ∈ +，∴ 2 + = (2 + )( + ) = × (4 + 1 + + ) ≥ ，
2 2 2
3
当且仅当 = = 取“=”，
2
9
∴ 2 + 的最小值为 ；
2
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1
(Ⅱ)由 (0) = 2，得 = 1，∴ = ，

2 2
∴ ( ) = 2 ( + ) + 2 = ( )( ) ≤ 0，

2
①当 > √ 2时，原不等式的解集为{ | ≤ ≤ }，

2
②当0 < < √ 2时，原不等式的解集为{ | ≤ ≤ }，

③当 = √ 2时，原不等式的解集为{√ 2}.
4
19.【答案】解：(1)第六组的频率为 = 0.08，
50
∴第七组的频率为1 0.08 5 × (0.008 × 2 + 0.016 + 0.04 × 2 + 0.06) = 0.06．
(2)由直方图得，身高在第一组[155,160)的频率为0.008 × 5 = 0.04，
身高在第二组[160,165)的频率为0.016 × 5 = 0.08，
身高在第三组[165,170)的频率为0.04 × 5 = 0.2，
身高在第四组[170,175)的频率为0.04 × 5 = 0.2，
由于0.04 + 0.08 + 0.2 = 0.32 < 0.5，0.04 + 0.08 + 0.2 + 0.2 = 0.52 > 0.5，
设这所学校的800名男生的身高中位数为 ，则170 < < 175，
由0.04 + 0.08 + 0.2 + ( 170) × 0.04 = 0.5得 = 174.5，
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5 ，
平均数为157.5 × 0.04 + 162.5 × 0.08 + 167.5 × 0.2 + 172.5 × 0.2 + 177.5 × 0.06 × 5 + 182.5 × 0.08 +
187.5 × 0.06 + 192.5 × 0.008 × 5 = 174.1．
(3)第六组[180,185)的抽取人数为4，设所抽取的人为 ， ， ， ，
第八组[190,195]的抽取人数为0.008 × 5 × 50 = 2，设所抽取的人为 ， ，
则从中随机抽取两名男生有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共15种
情况，
因事件 = {| | ≤ 5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，
所以事件 包含的基本事件为 ， ， ， ， ， ， 共7种情况．
7
所以 ( ) = ．
15
√ 2 1
20.【答案】解：(1)当 ∈ [ , 1]，令 = log
2 2
，所以 ∈ [ , 0]，
2
则 = 2
1
3 + 2在 ∈ [ , 0]上单调递减，
2
1 1 15
所以 = 0
2 3 × 0 + 2 = 2， = ( )
2 3 × ( ) + 2 = ，
2 2 4
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15
故 ( )的取值范围为[2, ]；
4
(2)设log2 1 = 1，log2 2 = 2，因为 2 > 2 1，所以log2 2 > log2 1 + 1，即 2 > 1 + 1，
则 ( ) = 2 3 + 2 = 的两根为 1， 2，整理得
2 3 + 2 = 0，
1
= 9 4(2 ) > 0， > ，
4
所以 1 + 2 = 3， 1 2 = 2 ，所以 2 = 3 1 > 1 + 1，则 1 < 1，
3 9
所以 1 2 =
2
1 + 3
2
1 = ( 1 ) + = 2 ， 2 4
3 1
则 = ( 21 ) ∈ (0, +∞)， 2 4
即实数 的取值范围为(0, +∞)．
21.【答案】解：(1)由题意知，当0 < ≤ 50时， ( ) = 200 ( 2 + 120 ) 200 = 2 + 80 200，
4900 4900
当50 < ≤ 100时， ( ) = 200 (201 + 2100) 200 = ( + ) + 1900，

2 + 80 200,0 < ≤ 50
所以年利润为 ( ) = { 4900 ．
( + ) + 1900,50 < ≤ 100

(2)当0 < ≤ 50时， ( ) = 2 + 80 200 = ( 40)2 + 1400，
所以 = 40时，年利润取得最大值为 ( ) = 1400万元；
4900 4900
当50 < ≤ 100时， ( ) = ( + ) + 1900 ≤ 2√ + 1900 = 1760，

4900
当且仅当 = ，即 = 70时等号成立，

此时年利润的最大值为 ( ) = 1760万元．
综上知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元．
1
22.【答案】解：(1)由 > 0，得 < 1或 > 1．
+1
∴ ( )的定义域为( ∞, 1) ∪ (1, +∞)；
1 2
令 ( ) = = 1 ，任取 1， 2 ∈ (1, +∞)， 1 < 2， +1 +1
2 2 2 2 2( )
则 ( 1) ( 2) = (1 ) (1 ) = =
1 2 ，
1+1 2+1 2+1 1+1 ( 2+1)( 1+1)
∵ 1 2 < 0， 1 + 1 > 0， 2 + 1 > 0，
2( )
∴ ( 1) (
1 2
2) = < 0， ( 2+1)( 1+1)
2
即函数 ( ) = 1 在(1, +∞)上单调递增；
+1
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1
又 = ∈ (0,1)，
2
∴ ( )在(1, +∞)上单调递减，
且当 趋于1， ( )趋于+∞； 趋于+∞， ( )趋于0；
函数 ( ) = ( ) 在(1, +∞)有且只有一个零点，
即 ( ) = 在(1, +∞)有且只有一个解，
∵函数 ( )在(1, +∞)的值域为(0, +∞)，
∴ 的取值范围是(0, +∞)．
(2)假设存在这样的实数 ，使得当 ( )的定义域为[ , ]时，值域为[1 + log , 1 + log ]，
由 < 且1 + log < 1 + log ，可得0 < < 1．
2
又由(1) ( ) = 1 在(1, +∞)上为增函数， = log 在(1, +∞)上为减函数． +1
则 ( )在(1, +∞)上为减函数，
1
( ) = = 1 + = ( )
得{ +1 1 ．
( ) = = 1 + +1 = ( )
1
即 = 在(1, +∞)上有两个互异实根，
+1
1
由 = ，得 2 + ( 1) + 1 = 0，
+1
即 ( ) = 2 + ( 1) + 1有两个大于1的相异零点．
1
由0 < < 1，函数 ( )开口向上，且对称轴为 = ，
2
= ( 1)2 4 > 0
则{ (1) = 2 > 0 ，解得0 < < 3 2√ 2．
1
> 1
2
故存在这样的实数 ∈ (0,3 2√ 2)符合题意．
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