江苏省无锡市怀仁中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省无锡市怀仁中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 + √ 3 + 2 = 0的倾斜角是( )
5 2
A. B. C. D.
6 3 3 6
2
2.若复数 满足 = ，则| | =( )
3+
√ 5 √ 10 √ 2 1
A. B. C. D.
10 2 2 2
3.“ = 3”是“直线 1：( 1) + 2 + 1 = 0与直线 2：3 + 1 = 0平行”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
4.以点 ( 1, 5)为圆心，并与 轴相切的圆的方程是( )
A. ( + 1)2 + ( + 5)2 = 9 B. ( + 1)2 + ( + 5)2 = 16
C. ( 1)2 + ( 5)2 = 9 D. ( + 1)2 + ( + 5)2 = 25
5.如图，空间四边形 中， = , = , = ，点 在 上，且 = 2 ，点 为 中点，则
=( )
1 2 1 2 1 1
A. + B. + +
2 3 2 3 2 2
1 1 1 2 2 1C. + D. +
2 2 2 3 3 2
6.已知直线 ： = + 3与圆 ：( 1)2 + ( 1)2 = 4交于 ， 两点，若| | =
2√ 3，则 =( )
3 3 1 1
A. B. C. D.
4 4 2 2
2 2
7.椭圆 + = 1的焦距是2，则 的值为( )
4
A. 5 B. 3 C. 5或3 D. 20
8.已知曲线 = 1 + √ 4 2与直线 = ( 2) + 4有两个相异的交点，那么实数 的取值范围是( )
5 4 5 3 1 7 1 7
A. ( , ] B. ( , ] C. [ , ) D. [ , )
12 3 12 4 4 12 6 12
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 2
9.已知椭圆 ： + = 1，且两个焦点分别为 1， 2， 是椭圆 上任意一点，以下结论正确的是( ) 16 12
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√ 3
A. 椭圆 的离心率为 B. △ 的周长为12
2 1 2
C. | 1|的最小值为3 D. | 1| | 2|的最大值为16
10.下列说法正确的是( )

A. = | |2， ∈
B. 若 + = 1 + ( , ∈ )，则 = = 1
C. 若| | = 1， ∈ ，则| 2|的最小值为1
D. 若 4 + 3 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的根，则 = 8
11.设 ， ， 是空间的一个基底，则下列说法不正确的是( )
A. 则 ， ， 两两共面，但 ， ， 不可能共面
B. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
C. 对空间任一向量 ，总存在有序实数组( , , )，使 = + +
D. + ， + ， + 不一定能构成空间的一个基底
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若复数 满足 (1 2 ) = 1 + ，则 的共轭复数为______．
2 2
13.已知 1、 2是椭圆 + = 1的左右焦点，若直线 过焦点 1，且与椭圆交于 、 ，则△ 2的周长为4 3
______．
14.直线 √ 3 = 0绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线 与圆( 2)2 + 2 = 3的位置关系是
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知坐标平面上点 ( , )与两个定点 (4,0)， (1,0)的距离之比等于2．
(1)求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
1
(2)记(1)中的轨迹为 ，过点 (1, )的直线 被 所截得的线段的长为2√ 3，求直线 的方程．
2
16.(本小题12分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)，点 1( 1,0)、 ( 2,0)分别是椭圆 的左焦点、左顶点，过点 1的直
线 (不与 轴重合)交 于 ， 两点．
(1)求椭圆 的标准方程；
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(2)若 (0,√ 3)，求△ 的面积；
(3)是否存在直线 ，使得点 在以线段 为直径的圆上，若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由．
17.(本小题12分)
如图，已知四棱锥 的底面为正方形， ⊥平面 ， = = 2， ， 分别为线段 ， 中
点．
(1)证明： , , 共面；
(2)求直线 与平面 所成角的大小．
18.(本小题12分)
如图， ， ， 是三个军事基地， 为一个军事要塞，在线段 上．已知tan∠ = 2， = 100 ， 到
， 的距离分别为50 ，30√ 5 ，以点 为坐标原点，直线 为 轴，建立平面直角坐标系如图所示．
(1)求两个军事基地 的长；
(2)若要塞 正北方向距离要塞100 处有一 处正在进行爆破试验，爆炸波生成 时的半径为 = 5√ (参
数 为大于零的常数)，爆炸波开始生成时，一飞行器以300√ 2 / 的速度自基地 开往基地 ，问参数 控
制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行．
19.(本小题12分)
如图，在三棱锥 中，∠ = 90°， = = 2， ， 分别为 ， 的中点，△ 为正三角形，
平面 ⊥平面 ．
(1)求点 到平面 的距离；
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√ 7
(2)在线段 上是否存在异于端点的点 ，使得平面 和平面 夹角的余弦值为 ？若存在，确定点
7
的位置；若不存在，说明理由．
第 4 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1 3
12.【答案】
5 5
13.【答案】8
14.【答案】相切
√ 2 2+( 4)
15.【答案】解：(1)由题意可知， = 2，整理，得 2 + 2 = 4，
√ 2 2 +( 1)
故点 点轨迹方程为 2 + 2 = 4，其轨迹为以原点为圆心，2 为半径的圆．
(2)由题意可知
①当直线 斜率不存在时，此时直线 的方程为 = 1，满足弦长为2√ 3．
②当直线 的斜率存在时，不妨设为 ，
1 1
则直线方程为 = ( 1)，即 + = 0，
2 2
1
| + |
则圆心(0,0)到直线 的距离为 = 2 ，
√ 2 2 +( 1)
因为直线 被 所截得的线段的长为2√ 3，
1
| + | 3
所以 2 + (√ 3)2 = 22，所以 = 2 = 1，解得 = ，
√ 2 2
4
+( 1)
所以直线方程为3 + 4 5 = 0．
综上，满足条件的直线 的方程为 = 1或3 + 4 5 = 0．
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16.【答案】解：(1)由 1( 1,0)、 ( 2,0)得： = 2, = √ 3.… (2分)
2 2
∴椭圆 的标准方程为： + = 1； …(4分)
4 3
(2)因为 (0, √ 3)， 1( 1,0)，

所以过 、 1的直线 的方程为： + = 1， 1 √ 3
即√ 3 + √ 3 = 0，…(6分)
√ 3 + √ 3 = 0 3√ 3
解方程组{ 2 2 ，得 1 = √ 3, 2 = ，…(8分)
+ = 1 5
4 3
1 4√ 3
∴ △ = × 1 × | 1 2| = ；…(10分) 2 5
(2)结论：不存在直线 使得点 在以 为直径的圆上．
理由如下：
2 2
设 ( 0, 0)( 2 <
0 0
0 < 2)，则 + = 1． 4 3
假设点 在以线段 为直径的圆上，
则 = 0，即 1 = 0，
因为 ( 2,0)， 1( 1,0)，
所以 1 = ( 1 0, 0) ( 2 0, 0)
= 2 + 3 2 20 + 0 + 0
1
= 20 + 3 0 + 5 = 0，…(12分) 4
解得： 0 = 2或 6，…(14分)
又因为 2 < 0 < 6，所以点 不在以 为直径的圆上，
即不存在直线 ，使得点 在以 为直径的圆上． …(16分)
17.【答案】解：(1)证明：由题意可得 =
1
= ( +
1
)
2 2
1 1
= ( + + )
2 2
1
= ( + )，
2
则由共面向量定理知， , , 共面；
(2)由 ⊥平面 ，知 为平面 的法向量，
又 平面 ，
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所以 ⊥ ，
1 2 2 2
由(1)知：| | = |
1
+ | = √
1 1
+ + 2 = √ 2 = ( + ) = = 2，
2 2 2 2
1 1 2
可得 = ( + ) = = 2，
2 2

设直线 与平面 所成角为 , ∈ (0, ],
2
| | 2 √ 2
= |cos < , > | = = = ，
| || | 2√ 2 2

所以，直线 与平面 所成角大小为 ．
4
18.【答案】解：(1)由题设得： (100,0)，直线 的方程为 = 2 ，
( 0, 50)( 0 > 0)，
|2 +50|
∵ 0 = 30√ 5
2 2 ， 0 > 0， √ 2 +1
∴ 0 = 50，即 (50,50)，
∴直线 的方程为 = ( 100)，即 + 100 = 0，
= 2 = 100
联立{ ，解得{ ，即 ( 100,200)，
+ 100 = 0 = 200
∴ | | = √ ( 100 100)2 + 2002 = 200√ 2，
故基地 的长为200√ 2 ；
(2)设爆炸产生的爆炸波圆 ，
由题意可得 (50,150)，生成 小时，飞行器在线段 上的点 处，
2
则 = 300√ 2 ，0 ≤ ≤ ，
3
∴ (100 300 , 300 )，
2
∵爆炸波不会波及飞行器的通行，即 2 > 2，对 ∈ [0, ]恒成立．
3
∴ 2 = (300 50)2 + (300 150)2 > 2 = 25 ，即(300 50)2 + (300 150)2 > 25 ，180000 2
120000 + 25000 > 25 ，
当 = 0时，上式恒成立，
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2 1000
当 ≠ 0时，即 ∈ (0, ]时， < 7200 + 4800，
3
1000 1000
∵ 7200 + 4800 ≥ 2√ 7200 4800 = 2400√ 5 4800，

1000
当且仅当7200 = ，即 √ 5 = 时，等号成立，
6
∴在0 < < 2400√ 5 4800时， < 恒成立，亦即爆炸波不会波及飞行器的通行，
故当 ∈ { /0 < < 2400√ 5 4800}时，爆炸波不会波及飞行器的飞行．
19【. 答案】解：(1)连接 ，∵△ 为正三角形， 为 中点，∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，且 ， 平面 ，∴ ⊥ ， ⊥ ，
∵ ∠ = 90°， ， 分别为 ， 的中点，∴ // ， ⊥ ，
∴ ⊥ ，
∴如图，以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐
标系，
∵ = = 2，则 (0,0,0)， (1,0,0)， ( 1,0,0)， (1,2,0)， (0,0, √ 3), (0,1,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，∵ = ( 1,0, √ 3), = ( 2, 2,0)，
则{ = 0，∴ {
√ 3 = 0 ∴ { = √ 3 ， ，取 = 1，则 = √ 3, = √ 3，∴ = ( √ 3,√ 3, 1)，
= 0 2 2 = 0 =
|
| | √ 3 √ 3| 2√ 21
又 = (1,0, √ 3)，则点 到平面 的距离为： = = ；
| | √ 7 7
(2)由(1)可知 = ( √ 3, √ 3, 1)为平面 的一个法向量，
由题可设 = ，且 ∈ (0,1)，则 = ( 1,0, √ 3) = ( , 0, √ 3 )，
∴ = + = (0,0,√ 3) + ( , 0, √ 3 ) = ( , 0, √ 3 √ 3 )，
设平面 的法向量为 = ( , , )，且 = (0,1,0)，

√ 3 √ 3
则{ = 0，∴ { + (√ 3 √ 3 ) = 0，∴ { = ，取 = ，则 = (√ 3 √ 3 , 0, )，
= 0 = 0 = 0
| | |3 3+ | √ 7
∴ |cos < , > | = = = 2 1
| || | 7 ，整理得2 3 + 1 = 0，解得 = 或 = 1(舍)， 2
√ 7 √ 4 6 +3 2
故存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为√ 7，此时 为 中点．
7
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