湖北省孝感市一般高中协作体2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

湖北省孝感市一般高中协作体 2024-2025 学年高二上学期期中数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一支田径队有男运动员28人，女运动员20人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中
抽取了男运动员7人，则女运动员被抽取的人数为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2.已知 1：5 + 1 = 0， 2： + 5 = 0，若 1 ⊥ 2，则实数 =( )
1 1
A. 0或1 B. C. 1 D. 0或
25 25
3.袋中装有5个白球，6只黄球，4个红球，从中任取1球，抽到的不是白球的概率为( )
2 3 4 2
A. B. C. D.
3 5 15 5
4.已知圆的方程是 2 + 2 2 + 2 3 = 0，则下列直线中通过圆心的是( )
A. + 2 = 0 B. 1 = 0 C. 2 3 = 0 D. 2 5 = 0
5.两条平行直线2 + 3 = 0和 + 5 = 0间的距离为 ，则 ， 分别为( )
1 2√ 5 √ 5 1
A. = 2, = B. = 2, = C. = 2, = D. = 2, =
5 5 5 5
√ 26. = (√ 2, 0,1), = ( , 2,2)，则 3 =( )
3
A. (0,6,5) B. (0,6, 5) C. (2√ 2, 5, 5) D. ( 2√ 2, 5, 5)
4 5
7.甲乙两人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是否为加工为一等品相互独立，
5 7
则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( )
11 12 13 17
A. B. C. D.
35 35 35 35
8.已知圆 1：
2 + 2 + 2 4 + 2 = 0和圆 2：
2 + 2 2 1 + 2 = 0外切(其中 ， ∈ )，则 +
的最大值为( )
A. 4 B. 3√ 2 C. 8 D. 4√ 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是( )
A. 点 (1, 1,0)与点 (1,1,0)关于 轴对称
B. 点 ( 3, 1,4)与点 (3, 1, 4)关于 轴对称
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C. 点 ( 3, 1,4)与点 (3, 1, 4)关于平面 对称
D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件 为“第一次的点数是5”，事件 为
“第二次的点数大于4”，事件 为“两次点数之和为奇数”，则( )
1
A. ( ) = B. 事件 与事件 互斥
3
7
C. 事件 与 相互独立 D. ( ∪ ) =
12
11.已知直线 ： + (2 ) = 0，圆 ：( + 2)2 + ( 1)2 = 1，以下正确的是( )
A. 与圆 不一定存在公共点
B. 圆心 到 的最大距离为√ 10
3
C. 当 与圆 相交时， < < 0
4
D. 当 = 1时，圆 上仅有一个点到 的距离为2√ 2 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：11，15，17，21，23，26，27，34，37，38，则该组数据
的40%分位数为______．
13.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，
记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球______个.
14.棱长为4的正方体 1中， ， 分别是平面 1 1 1 1和平面 1内动点， =
3 1，则 + 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
求满足下列条件的直线方程：
(1)过点(1,2)，且与直线3 2 + 3 = 0平行的直线方程；
(2)过点( 1,2)，且与直线3 + 2 = 0垂直的直线方程；
(3)过点(1, 2)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
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16.(本小题12分)
如图，平行六面体 1 1 1 1中， 与 相交于 ，设 = ， = ， 1 = ．
(1)用 、 、 表示 1 ；
(2)若该平行六面体所有棱长均为1，且∠ 1 = ∠ 1 = 60°，∠ = 90°，求| 1 |．
17.(本小题12分)
已知动点 到定点 ( 2,0)的距离与它到定点 (2,0)的距离之比为√ 2．
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)若圆 ：( 2)2 + ( 3)2 = 9与轨迹 相交于 ， 两点，线段 的长．
18.(本小题12分)
为推动孝感市乡村旅游发展提质增效，更好满足人民群众旅游消费升级需求，助力乡村全面振兴，孝感市
实施精品示范工程打造“和美休闲旅游乡村”行动方案，实施“微创意、微改造”，促进“精提升”，建
设“和美”乡村新风景，打造全国知名的乡村旅游目的地.某学校兴趣小组同学利用暑假时间，在全市范围
内调查了60个休闲旅游乡村，并从环境风貌、资源价值、基础设施等方面进行综合评分，将评分按照[50,60)，
[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求 的值，并求这60个休闲旅游乡村评分的平均分；
(2)若评分在80分及以上的乡村称为“值得推荐的旅游乡村”，其中评分在[80,90)为“推荐指数四颗星”，
评分在[90,100]为“推荐指数五颗星”.兴趣小组同学用分层抽样的方法在“值得推荐的旅游乡村”中抽取
7个乡村进行第一批次的校内宣传，并从这7个乡村中随机抽取2个乡村在校园内做展板宣传，求这2个乡村
正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率．
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19.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， 与底面 所成角为45°，四边形 是梯形， ⊥ ，
// ， = 4， = = 2．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)若点 是 的中点，点 是 的中点，求点 到平面 的距离．

(3)点 是线段 上的动点， 上是否存在点 ，使 ⊥平面 ，若存在，求 的值，若不存在，请说

明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】22
13.【答案】8
14.【答案】3√ 3
15.【答案】解：(1)设与直线3 2 + 3 = 0平行的直线方程为3 2 + = 0， ≠ 3，
由于过点(1,2)，代入3 × 1 2 × 2 + = 0，
解得 = 1，可得3 2 + 1 = 0，
所以所求的方程为3 2 + 1 = 0；
(2)设与直线3 + 2 = 0垂直的直线方程为 + 3 + = 0；
由于过点( 1,2)，代入 1 + 3 × 2 + = 0，解得 = 5，
可得 + 3 5 = 0，
所以所求的直线方程为 + 3 5 = 0；
(3)当直线不过原点时，设直线方程为 + = ，
代入点(1, 2)，则 = 2 + 1 = 1，可得 + = 1，
当直线过原点时，设直线方程为 = ，
代入点(1, 2)，即 2 = ，可得 = 2 ，
综上，所求直线方程为2 + = 0或 + + 1 = 0．
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1
16【. 答案】解：(1) = = (
1 1 1
1 1 + ) ( + 1) = ( + ) ( + ) = + ． 2 2 2 2
1 1
(2)由题意：| | = | | = | | = 1， = 0， = ， = ；
2 2
|
1 1 1 1 1 1 3
1 |
2 = ( + )2 = + + 1 0 + = ，
2 2 4 4 2 2 2
√ 6所以| 1 | = ． 2
17.【答案】解：(1)动点 到定点 ( 2,0)的距离与它到定点 (2,0)的距离之比为√ 2，
设动点 的坐标为( , )，
可得| | = √ 2| |，
即√ ( + 2)2 + 2 = √ 2 × √ ( 2)2 + 2，
化为 2 + 2 12 + 4 = 0，
故动点 的轨迹 的方程为 2 + 2 12 + 4 = 0；
(2)圆 ：( 2)2 + ( 3)2 = 9，
可得圆心 的坐标为(2,3)，半径 = 3，
轨迹 的方程可化为( 6)2 + 2 = (4√ 2)2，
所以轨迹 为以点 1(6,0)为圆心，4√ 2为半径的圆，
圆 与圆 1的圆心距为√ (6 2)2 + (0 3)2 = 5，又4√ 2 3 < 5 < 4√ 2 + 3，
所以圆 与圆 1相交，
由圆方程 2 + 2 12 + 4 = 0和方程 2 + 2 4 6 + 4 = 0，相减可得4 3 = 0，
所以直线 的方程为4 3 = 0，
|4×2 3×3| 1
圆心 (2,3)到直线4 3 = 0距离 = = ，
5
√ 42+32
1 8√ 14
所以弦 的长为2√ 32 ( )2 = ．
5 5
18.【答案】解：(1)根据题意可得(0.010 + + 0.035 + 0.025 + 0.010) × 10 = 1，解得 = 0.020；
∴平均分估计为：55 × 0.1 + 65 × 0.2 + 75 × 0.35 + 85 × 0.25 + 95 × 0.1 = 75.5(分)；
(2) ∵“推荐指数四颗星”乡村数为60 × 0.25 = 15(个)；
“推荐指数五颗星”乡村数为60 × 0.1 = 6(个)；
15
∴按照分层抽样，可知“推荐指数四颗星”乡村抽取7 × = 5个，
15+6
6
“推荐指数五颗星”乡村抽取7 × = 2个，
15+6
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∴从这7个乡村中随机抽取2个乡村在校园内做展板宣传，
1× 1 10
则这2个乡村正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率为 5 22 = ． 217
19.【答案】(1)证明：由 ⊥平面 ， 与底面 所成角为45°，即∠ = 45°，
所以 = ，又 = = 2，所以 = 2；
因为四边形 是梯形， ⊥ ， // ，可得 = 2√ 2；
又 = 4， = 2可得 = 2√ 2，
因此△ 满足 2 + 2 = 2，可得 ⊥ ；
由 ⊥平面 ， 平面 ，可得 ⊥ ，
易知 ∩ = ， ， 平面 ，
可得 ⊥平面 ，又 平面 ，
因此平面 ⊥平面 ；
(2)解：根据题意以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如下图所
示：
易知 (0,0,0)， (0,0,2)， (2,0,0)， (2,2,0)， (0,4,0)，
1 3
由点 是 的中点，点 是 的中点， (1,3,0), ( , , 1)，
2 2
1 3
即 = (2,0,0), = ( , , 1)，
2 2
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
则{
= 0 2 = 0，即{1 3 ，
= 0 + + = 02 2
令 = 2，可得 = 0， = 3，则 = (0,2, 3)，
| | 6 6√ 13
而 = (0,0,2)，所以点 到平面 的距离为 = = =| | 13 ，
√ 22+32
即点 到平面 的距离为6√ 13．
13
(3)解：由点 是线段 上的动点，可设 = + (1 ) ，
即 = (2,2,0) + (1 )(0,4,0) = (2 , 4 2 , 0)，所以 (2 , 4 2 , 0)，
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因此 = (2 , 4 2 , 2)，
设 = = (2 , 4 2 , 2 )，又 (0,0,2)，因此可得 (2 , 4 2 , 2 2 )，
又 = (2,0,0), = (2 , 4 2 , 2 2 )，

若 ⊥平面 ，可得{
= 0 4 = 0，即{ ，

2
= 0 4 + (4 2 )
2 2(2 2 ) = 0
1
解得 = 0, = ；
5
1
可得 = ，
5
1
即存在点 ，当 = 时，满足 ⊥平面 ．
5
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