重庆市松树桥中学2024-2025学年高二上学期12月段考数学试卷（PDF版，含答案）

重庆市松树桥中学 2024-2025 学年高二上学期 12 月段考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 2
1.已知椭圆 + = 1的一个焦点 (0,1)，则 =( )
4
A. √ 17 B. 5 C. 5或3 D. 3
1
2.抛物线 = 2的准线方程为( )
6
1 1 3 3
A. = B. = C. = D. =
24 24 2 2
3.已知数列{ }满足2 = 1 + +1( ≥ 2)， 2 + 4 + 6 = 12， 1 + 3 + 5 = 9，则 2 + 5等于( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4.已知空间向量 = (1,1,1), = (1,0, 2)，则下列结论正确的是( )
1 2A. 向量 在向量 上的投影向量是( , 0, )
5 5
B. = (0, 1, 3)
C. ⊥
√ 15
D. cos , =
15
5.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊垫、春分、清明、
谷雨、立夏、小满、芒种.这十二个节气，立竿测影，得其最短日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春
分日影长之和为31.5尺，春分日影长为7.5尺，则这十二个节气中后六个(春分至若种)日影长之和为( )
A. 8.5尺 B. 30尺 C. 66尺 D. 96尺
2 2
6.已知双曲线 ： 2 2 = 1, ( > 0, > 0)与直线 = 2 + 1相交于 、 两点，若弦 的中点 的横坐标
为1，则双曲线 的渐近线方程为( )
1 √ 6
A. = ±√ 6 B. = ±6 C. = ± D. = ±
6 6
7.如图，在棱长为1的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是线段 1，
1 1的中点，则直线 与平面 1间的距离是( )
1
A.
2
√ 2
B.
2
1
C.
3
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√ 3
D.
2
2 2
8.点 是椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)上的点，以 为圆心的圆与 轴相切于椭圆的焦点 ，与 轴相交于 ，
两点，若△ 是直角三角形，则该椭圆的离心率为( )
√ 5 1 √ 5 √ 2 √ 6 √ 2
A. 2 √ 3 B. C. D.
2 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{ }的前 项和为 ， 6 = 10， 5 = 5，则( )
A. { }是递增数列 B. { }的前 项和中 2最小
35
C. 3 = 15 D. 数列{
}的前10项和为
2
10.已知点 为坐标原点，直线 = + 1与抛物线 ： 2 = 4 相交于 、 两点，焦点为 ，则下列选项正确
的是( )
A. | | = 8 B. ⊥
1 1
C. + = 1 D. 线段 的中点到 轴的距离为2
| | | |
11.在棱长为2的正方体 ′ ′ ′ ′中， 为 边的中点，下列结论正确的有( )
√ 10
A. 与 ′ ′所成角的余弦值为
10
B. 过 ， ， ′三点的正方体 ′ ′ ′ ′的截面面积为3
C. 当 在线段 ′ 上运动时，| ′| + | |的最小值为3
D. 若 为正方体表面 ′ ′上的一个动点， ， 分别为 ′的三等分点，则| | + | |的最小值为2√ 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.已知数列{ }满足 1 = ， +1 = ，则 2 = ______；通项公式 = ______． 2 3 +1
13.过点 ( 2, 1)向圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 4作切线，切点为 ，则| | = ______．
14.如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一
个焦点．如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的
反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图③，一个光学装置由有公共焦点 1， 2的椭圆 1与双曲线 2构
成，已知 1与 2的离心率之比为2：5.现一光线从右焦点 2发出，依次经 1与 2的反射，又回到了点 2，历
时3 × 10 8秒．将装置中的 2去掉，如图④，此光线从点 2发出，经 1两次反射后又回到了点 2，历时 秒；
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则 =______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ 的顶点坐标分别为 ( 2,4)， ( 1,3)， (2,6)．
(1)求边 的垂直平分线 的方程；
(2)求三角形 的外接圆方程．
16.(本小题15分)
1
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， // ， = = = 2， = 2， 为
2
棱 的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)求平面 和平面 夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知正项数列{ }的前 项和为 ，且 和 满足：4 = (
2
+ 1) ( = 1,2,3… )．
(1)求证：数列{ }是等差数列；
(2)设 = 12 ，记 = | 1| + | 2| + | 3| + + | |，求 3和 30之值．
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，四边形 1 1是边长为2的菱形，∠ 1 = 60°，△ 是等腰直角三角
形，∠ = 90°，平面 1 1上平面 ，点 ， 分别是 1， 的中点．
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(1)证明： ⊥ 1 ；
(2)设平面 1 与棱 的延长线交于点 ，求直线 1与平面 1 所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
已知点 (√ 3, 0)，点 是圆 ：( + √ 3)2 + 2 = 16上任意一点，线段 的垂直平分线 1与半径 的交点
为 ，记点 的轨迹是曲线 ，设经过点 (1,0)的直线 与曲线 的交点为 ， ．
(Ⅰ)求曲线 的方程；
(Ⅱ)求| | | |的取值范围；
(Ⅲ)已知点 (4,0)，若直线 与直线 的斜率分别为 1， 2，求 1 + 2的值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1 1
12.【答案】
5 3 1
13.【答案】√ 14
14.【答案】10 7
3 7
15.【答案】解：(1)因为 ( 2,4)， ( 1,3)，可得 的中点 ( , )，
2 2
3 7 = (1, 1)，由点法式方程可得 的中垂线 的方程为：1 × ( + ) + ( 1)( ) = 0，
2 2
整理可得： + 5 = 0；
1 9
(2) 的中点 ( , )， = (3,3)，
2 2
1 9
由点法式方程可得 的中垂线方程为3( ) + 3( ) = 0，
2 2
整理可得： + 5 = 0，
+ 5 = 0
联立{ ，解得 = 0， = 5，
+ 5 = 0
即△ 的外接圆的圆心为(0,5)，
半径 = √ (0 2)2 + (6 5)2 = √ 5，
所以原点方程为： 2 + ( 5)2 = 5．
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16.【答案】解：(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，
1
在△ 中， ， 分别为 ， 的中点，则 // ， = ，
2
1
因为 // ， = ，则 // ， = ，
2
可知四边形 为平行四边形，则 // ，
且 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)因为 ⊥平面 ， ， 平面 ，
则 ⊥ ， ⊥ ，且 ⊥ ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，
建立空间直角坐标系 ，如图所示，
取 的中点 ，连接 ，
1
因为 // ， = ，则 // ， = ，
2
又因为 ⊥ ，所以四边形 为矩形，
且 = = 2，可知四边形 是以边长为2的正方形，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (2,2,0)， (0,4,0)， (0,0,2)， (0,2,1)，
可得 = (2,0,0)， = (0,2,1)， = (2,2,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 2 + = 0
则{ ⊥ ，即{ ，
⊥ = 2 + 2 = 0
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令 = 1，则 = 1， = 2，
所以平面 的一个法向量为 = (1, 1,2)，
易知 为平面 的一个法向量，
2 √ 6
所以cos < , >= = = ，
| || | √ 6×2 6
√ 6
所以平面 和平面 夹角的余弦值为 ．
6
17.【答案】解：(1)证明：正项数列{ }的前 项和为
2
，且 和 满足：4 = ( + 1) ( = 1,2,3… )，
可得4 1 = 4
2
1 = ( 1 + 1) ，解得 1 = 1；
当 ≥ 2时，由4 = ( + 1)
2，可得4 2 1 = ( 1 + 1) ，
相减可得4 = ( + 1)
2 ( 1 + 1)
2，即为( 1)
2 = ( 1 + 1)
2，
化为( + 1)( 1 2) = 0，
由 > 0，可得 1 = 2，则数列{ }是首项为1，公差为2的等差数列；
(2) = 12 = 12 (2 1) = 13 2 ，
1
当1 ≤ ≤ 6时， > 0， = (11 + 13 2 ) = 12
2；
2
1
当 ≥ 7时， < 0， = 1 + 2+. . . + 6 7 8 . . . = 12 × 6 36 ( 6)( 1 + 13 2 ) 2
= 36 + ( 6)2，
则 3 = 36 9 = 27，
230 = 36 + 24 = 612．
18.【答案】(1)证明：连接 1 ，∵四边形 1 1是边长为2的菱形，∠ 1 = 60°，
∴△ 1 是等边三角形．
取 的中点 ，连接 1 ， ，则 1 ⊥ ，
又平面 1 1 ⊥平面 ，平面 1 1 ∩平面 = ，
∴ 1 ⊥平面 ．
又 平面 ，∴ 1 ⊥ ．
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1
∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ // ， = ．
2
∵ ∠ = 90°，∴ ⊥ ．
又 1 ∩ = ，∴ ⊥平面 1 ．
∵ 1 平面 1 ，∴ ⊥ 1 ．
(2)延长 1 与 相交于点 ，则点 即为平面 1 与棱 的延长线的交点．点 是 1的中点，
∴△ 1 1 ≌△ ，则 = 1 1 = 2．
如图，连接 ，以 为坐标原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
1 1
则 (0, 1,0)， (1,0,0)， 3 √ 3 ( , , 0)， 1(0,0,2 2 √ 3)
， (0,3,0)， (0, , )，
2 2
1 1 3 √ 3
∴ 1 = ( , , √ 3)， 1 = (0, , )， = (1, 3,0)， = 1 1 = (0,1,2 2 √ 3)
，
2 2
1 = + 1 = (1, 2,√ 3)．
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
1 1
1 = + √ 3 = 0,2 2
则{ 取 = 1，得 = (5,1, √ 3)，

3 √ 3
1 = = 0,2 2
1 6 3√ 58∴ cos , 1 = = = ， | || 1| √ 29×2√ 2 58
∴直线 1与平面 所成角的正弦值为
3√ 58
1 ．
58
19.【答案】解：(Ⅰ)连接 ，
此时| | = | |，
设 ( , )，
因为圆 的圆心 ( √ 3, 0)，半径为4，
所以| | + | | = | | + | | = 4，| | = 2√ 3，
因为4 > 2√ 3，
所以点 轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，长轴长2 = 4，焦距2 = 2√ 3，
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解得 = 2， = √ 3，
则 = √ 2 2 = 1，
2
故曲线 的方程为 + 2 = 1；
4
(Ⅱ)当直线 的斜率不存在时，
因为 (1,0)，
设 √ 3 √ 3 (1, )， (1, )，
2 2
3
此时| | | | = ；
4
当直线 斜率存在时，
设直线 的方程为 = ( 1)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= ( 1)
联立{ 2 2 ，消去 并整理得(4
2 + 1) 2 8 2 + 4 2 4 = 0，
+ = 1
4
此时 > 0，
2 2
8 4 4
由韦达定理得 1 + 2 = ，2 1 2 = ， 2
4 +1 4 +1
所以| | | | = √ 1 + 2| 1|√ 1 + 2| 1| = (1 + 21 2 )|( 1 1)( 2 1)|
2 2
4 4 8
= (1 + 2)| 1 2 ( 1 + 2) + 1| = (1 +
2)| 2 2 + 1|
4 +1 4 +1
2
3(1+ ) 3 9
= 2 = + 2 ，
4 +1 4 4(4 +1)
因为4 2 + 1 ≥ 1，
1 1
所以0 < 2 ≤ ，
4(4 +1) 4
3 3 9
则 < + ≤ 34 4 2 ， 4(4 +1)
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3
综上所述，| | | |的取值范围为[ , 3]；
4
(Ⅲ)若直线 与 轴重合，
此时直线 与直线 关于 轴对称，
所以 1 + 2 = 0；
若直线 不与 轴重合，
由(2)知，设直线 的方程为 = ( 1)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
( 4) +( 4)
此时 + = 11 2 +
2 = 2 1 1 2
1 4 2 4 ( 1 4)( 2 4)
( 1 1)( 2 4)+ ( 2 1)( 1 4) 2 1 2 5 ( 1+ 2)+8 = =
1 2 4( 1+ 2)+16 1 2 4( 1+ 2)+16
4 2 4 8 2
2 2 5 2 +8 3 3 3
= 4 +1 4 +1
8 8 40 +32 +8
2 2 = 2 = 0．
4 4 32
+16 36 +12
4 2+1 4 2+1
综上所述： 1 + 2 = 0．
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