训练卷 高中数学卷（A）
16、空间向量在立体几何中的应用
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知向量，分别是直线、的方向向量，若，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．若，，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知空间上的两点，，以为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体积为（ ）
A．3 B． C．9 D．
6．把边长为2的正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线，所成的角为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，在正方体中，已知，分别是和的中点，
则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ）
A． B． C．或 D．或
9．在正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．在正四棱锥中，为顶点在底面的射影，为侧棱的中点，
且，则直线与平面所成的角是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，已知正方体的上底面中心为，点为上的动点，为的三等分点（靠近点），为的中点，分别记二面角，，的平面角为，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值
为______．
14．已知，，点在轴上，且，则点的坐标
为____________．
15．如图，直三棱柱的所有棱长都是2，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则顶点的坐标是__________．
16．正四棱锥的八条棱长都相等，的中点是，则异面直线，所成角的余弦为__________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）如图，垂直正方形所在平面，，是的中点，．
（1）建立适当的空间坐标系，求出的坐标；
（2）在平面内求一点，使平面．
18．（12分）如图，已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，，是的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线和平面的所成角的正弦值．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形， ，平面，，是棱上的一个点，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，，．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求二面角的余弦值．
21．（12分）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，
且，．
（1）求证：平面平面；
（2）设，求二面角的余弦值．
22．（12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，面，是棱的中点，且，．
（1）求证：面；
（2）求二面角的大小；
（3）若是上一点，且直线与平面成角的正弦值为，求的值．
训练卷 高中数学卷答案（A）
16、空间向量在立体几何中的应用
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】B
【解析】由题意可得： ，解得：，．故选B．
2．【答案】C
【解析】因为、、，
所以可知角为钝角，故的形状是钝角三角形．选C．
3．【答案】B
【解析】由题意
；
又，，，∴．故选B．
4．【答案】C
【解析】关于平面对称的点横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为它的相反数，
从而有点关于平面对称的点的坐标为，选C．
5．【答案】D
【解析】∵，，∴，
设正方体的棱长为，由题意可得，解得，
∴正方体的体积为，故选D．
6．【答案】D
【解析】
如图建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
故，，
则，，，
所以，故选D．
7．【答案】A
【解析】建立如图所示的空间坐标系，设边长为．
则，，，，，
故，，
所以，，，
则，应选答案A．
8．【答案】D
【解析】因为，所以，即或．故选D．
9．【答案】C
【解析】分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系
设正方体的棱长为1，可得，，，，
∴，，，
设是平面的一个法向量．∴，即
取，得，∴平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
∴，
∴，即直线与平面所成角的余弦值是．故选C．
10．【答案】D
【解析】如图所示，以为原点建立空间直角坐标系．
设，
则，，，，，，
设平面PAC的法向量为，则可求得，
则，，
∴直线与平面所成的角为．故选D．
11．【答案】B
【解析】
以B为坐标原点，分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系，则，，，，，
∴，，
设平面BED的一个法向量为，
则，取，得，
平面ABE的法向量为，∴．
∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为．故选B．
12．【答案】D
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系．考虑点与点A重合时的情况．
设正方体的棱长为1，则，，，．
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得．
同理可得平面和平面的法向量分别为，．
结合图形可得：，，
，∴，
又，，∴．故选D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】设平面的法向量，平面的法向量，
因为，所以，所以存在实数，使得，
所以有，解得，故答案为．
14．【答案】
【解析】设，由，得，解得，
故点的坐标为．
15．【答案】
【解析】，， ，即顶点的坐标是．
16．【答案】
【解析】以正方形的中心为原点，平行于的直线为轴，平行于的直线为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系，
设四棱锥棱长为2，则，，，，，所以，，∴．
故异面直线，所成角的余弦值为．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）；（2）点的坐标是，即点是的中点．
【解析】（1）分别以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间坐标系，如图，则，，，
设，，则，∴，
∴，解得．∴点坐标是；
（2）∵平面，∴可设，，
又平面，∴，解得；
又∵∴，
∴点的坐标是，即点是的中点．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系．
则有、、、
∴，，∴，
所以异面直线BE与AC所成角的余弦为．
（2）设平面ABC的法向量为，
则知，知取，
则，故BE和平面ABC的所成角的正弦值为．
19．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：连接，设，取的中点，连接，，，
在中，因为，分别为，的中点，所以，
又平面，所以平面，
同理，在中，，平面，
因为平面，所以平面．
（2）以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
在等边三角形中，因为，所以，，
因此，，，，，
且，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
直线与平面所成的角为，则．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】∵，，∴底面，又底面为矩形，
∴分别以，，为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
∴，，，．
（1）设平面的一个法向量，
则，令，得，
∴与平面所成角的正弦值．
（2）设平面的一个法向量，
则令，得 ，
∴，∴二面角的余弦值为．
21．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：如图，取，的中点，，连接，，，，
则四边形为正方形，
∴，∴．
又，∴，
又∴平面，
又平面，∴．
∵，∴．
又，∴平面．
又平面，∴平面平面．
（2）解：由（1）知，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵，，∴．
令，则，，，，
∴，，．
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得．
又设平面的法向量为，
由得，取，得，
∴，
由图形得二面角为锐角，∴二面角的余弦值为．
22．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】证明：（1）连结．因为在中，
，，所以，所以．
因为，所以．
又因为地面，所以．因为，所以平面．
（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，．
因为是棱的中点，所以．
所以，． 设为平面的法向量，
所以，即，令，则，
所以平面的法向量．因为平面，
所以是平面的一个法向量．
所以．因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为．
（3）因为是棱上一点，所以设，．
设直线与平面所成角为，
因为平面的法向量，
所以．
解得，即，，所以．训练卷 高中数学卷（B）
16 空间向量在立体几何中的应用
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知，，，则平面的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
2．已知正三棱柱，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．0 B． C． D．
3．如图所示，在平行六面体 中，为与的交点．若，， ，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，四棱锥中，底面为菱形，，，侧面为等边三角形且垂直于底面，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其中白点○代表钠原子，黑点●代表氯原子．建立空间直角坐标系后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在四面体中，、分别在棱、上，且满足，，点是线段的中点，用向量，，表示向量应为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则（ ）
A． B． C． D．
8．点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知四边形，，，现将沿折起，使二面角的大小在内，则直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，平面平面，，，与平面，所成的角分别为和，过，两点分别作两平面交线的垂线，垂足为，，若，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
11．正四棱锥的侧棱长为，底面边长为，为的中点，则异面直线与所成的角是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面边长为的正三角形，侧棱长为，则与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．已知，，，若向量，，共面，则实数 ．
14．，，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角为，那么直线与平面所成角的余弦值是_____．
15．已知正方形的边长为，平面，，、分别是，的中点，则点到平面的距离为________．
16．如图所示，在正三棱柱中，是的中点，，则异面直线与所成的角为________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．
（1）求证：；
（2）若平面平面，，求二面角的余弦值．
18．（12分）如图，已知斜三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，
且，是的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
19．（12分）如图，四边形为菱形，，，是平面同一侧的两点，
平面，平面，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值．
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，
，，．是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
21．（12分）如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，
， ，点在上，且．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．
22．（12分）如图1，在中，，，，，分别是，
上的点，且，．将沿折起到的位置，
使，如图2．
（1）求证：平面；
（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；
（3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直 说明理由．
训练卷 高中数学卷答案（B）
16 空间向量在立体几何中的应用
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】D
【解析】∵，，，∴，，
设平面ABC的一个单位法向量为，则，∴
易知：符合题意．故选D．
2．【答案】C
【解析】以为原点，在平面内过作的垂线为轴，以为轴，以为轴，
建立空间直角坐标系，
设正三棱柱的各条棱长为2，
则，，，，，，
设异面直线和所成的角的余弦值为，
则．∴异面直线和所成的角的余弦值大小为．故选C．
3．【答案】A
【解析】平行六面体的性质可得：，
则，故选A．
4．【答案】B
【解析】如图，取的中点，连，，由题意可得平面．在中，，，，则由余弦定理得，所以，因此可建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
∴，，
∴．
∴异面直线与所成角的余弦值为．故选B．
5．【答案】A
【解析】设图中最上层中间的钠原子所在位置为点，以、为相对顶点，作出长方体，如图所示：
∵平面经过点与轴垂直，
∴点在轴上的射影为点，结合得的横坐标为；
同理可得，点在轴上的射影为点，结合得的纵坐标为；
点在轴上的射影为点，结合得的竖坐标为1，
∴点的坐标为，故选A．
6．【答案】A
【解析】，
化简得到，故选A．
7．【答案】C
【解析】由题意可知，平面的一个法向量为：，
由空间向量的结论可得：．本题选择C选项．
8．【答案】D
【解析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
可得点，，设点的坐标为，则，，，
∴，，
∴，
由二次函数的性质可得，当时，取得最大值为，
当或时，且当或时，取得最大值为，
由此的取值范围是，故选D．
9．【答案】A
【解析】∵．，∴，，且，，
∴是二面角的平面角，
以为原点，为轴，为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
，，，
设二面角的平面角为，则，
连、，则，，
∴，，
设、的夹角为，则，
∵，∴，
故，∴．本题选择A选项．
10．【答案】B
【解析】连接和，设，与平面成的角，
在中，，与平面所成的角，在中，，因此在中，，故选B．
11．【答案】C
【解析】取的中点，连接、，则，异面直线与所成的角为，因为，，，又在中，由余弦定理可得，则在中，可得，在中，由余弦定理得，所以，故选C．
12．【答案】A
【解析】记点到平面的距离为，与平面所成的角为，连接，
∵，即，∴，
则，所以，故选A．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】1
【解析】∵，，共面，∴存在实数，，使，
即，∴，解得．
14．【答案】
【解析】过点向平面作垂线，垂足为，连接，易知为的角平分线，
过点向作垂线，垂足为，连接，易知，设，
在中，，，
在中，，，
在中，．
15．【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，由题意得平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为．
16．【答案】
【解析】在平面内，过作的平行线，过作于，连接，则在中，为与所成的角，设，则，
∴，，∴，∴．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）取的中点，连接，，
∵为等边三角形，∴，∵，，∴且．
又∵，∴四边形为矩形，∴，
∵，∴平面
又∵平面，∴，
（2）由（1）知，
∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，
以为坐标原点，以，，所在方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设，则，∵，∴，
又，得，∴，，，
∴，，
设平面法向量，
由，得，取，得，
又知是平面的一个法向量，设，
∴，
∴二面角的余弦值为．
18．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明∵侧面是菱形，且，
∴为正三角形，∵点为的中点，∴．
∵，∴，由已知，∴平面．
（2）如图建立空间直角坐标系，设菱形边长为，
得，，，．
则，，，．
设平面的法向量，由，得，
令得．
设面的法向量，
由，得，
令，得．
所以．
又二面角的平面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．
19．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：连结，和交于点，连结，，
∵平面，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴是等腰直角三角形，且，
∵，
∴，∵，∴．∴．
∴，∴，∴，
∴，∴．
又∵，∴平面，∴平面平面．
（2）分别以，所在射线为轴，轴，以过点平行于的直线为轴，建立建立空间直角坐标系，如图所示．设，
则，，，，
∴，，
∴．
所以直线与直线所成角的余弦值为．
20．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：∵平面，平面，
∴，∵，，∴，
∴，∴．
又，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）如图，以为原点，、、分别为轴、轴、轴正向，
建立空间直角坐标系，则，，．
设，则，，，．
设平面的法向量为，则由得，
令，则，，所以平面的法向量为．
设平面的法向量为，则由，
得令，则，．
所以平面的法向量为．
依题意，，
解得．于是，，
设直线与平面所成角为．
则．
即直线与平面所成角的正弦值为．
21．【答案】（1）见解析；（2）；（3）当点为中点时，有平面．
【解析】（1）证明：∵四边形是菱形，，且
∴，又，
∴，，
∴，且．∴平面．
（2）连接，∵底面是菱形，∴，设．
以为原点，，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点坐标分别为：
，，，，．
∵点在上，且．∴，即．
∴，即点的坐标为．
又平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，，
由，得，可令，得，
∴，∴，
所以二面角的大小为．
（3）证明：假设在上存在点满足题设条件，
设，得，
∴，
依题意，平面，则有，∴，
即，解得，
∴当点为中点时，有平面．
22．【答案】（1）见解析；（2）；（3）不存在，见解析．
【解析】（1）证明：因为，，所以．
所以，，所以平面．所以．
又因为，．所以平面．
（2）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，．
设平面的法向量为，则，．
又，，所以令，
则，．所以．
设与平面所成的角为，因为，
所以．
所以与平面所成角的大小为．
（3）线段上不存在点，使平面与平面垂直，理由如下：
假设这样的点存在，设其坐标为，其中．
设平面的法向量为，则，．
又，，所以令，则，．
所以．
平面与平面垂直当且仅当，即．
解得，这与矛盾．
所以线段上不存在点，使平面与平面垂直．
