训练卷 高中数学卷（B）
19 圆锥曲线
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．抛物线的准线方程是，则（ ）
A． B． C．8 D．– 8
2．已知点，椭圆与直线交于点、，则的周长
为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
3．当时，曲线与曲线的（ ）
A．焦距相等 B．离心率相等 C．焦点相同 D．渐近线相同
4．与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的虚轴的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
5．已知两圆：，：，动圆和圆内切，和圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
6．设、为曲线：的焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
7．已知椭圆的中心在原点，轴上的一个焦点与短轴的两个端点，的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的一个端点的距离为，则这个椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．或
8．若以双曲线的左焦点为圆心，以左焦点到右顶点的距离为半径
的圆的方程为，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线上有一点，它到焦点的距离为，则的
面积(为原点)为（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．已知为椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12．设直线：与椭圆的交点为、，点是椭圆上的动点，则使面积为的点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．已知过双曲线右焦点且倾斜角为450的直线与双曲线右支有两
个交点，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
14．椭圆的焦点为，，点为椭圆上的动点，当为钝角时，点的横坐标的取值范围是 ．
15．若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为、，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ．
16．抛物线上两点、关于直线对称，且，
则等于 ．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）已知点，的坐标为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，求动点的轨迹方程；
（2）已知定点的坐标为，为动点，若以线段为直径的圆恒与轴相切，求动点的轨迹方程．
18．（12分）如图，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于，两点，点在轴的上方，求的值．
19．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，双曲线的两个顶点和虚轴的一个端点构成的三角形为等腰直角三角形，且双曲线过点；
（1）求双曲线的方程；
（2）设，为双曲线的焦点，若点在双曲线上，求证．
20．（12分）如图，过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，点和点分别为椭圆的右顶点和上顶点，．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过右焦点作一条弦，使，若的面积为，求椭圆的方程．
21．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点到上顶点的距离为，
点是线段上的一个动点；
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，使得，
并说明理由．
22．（12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，
且椭圆短轴的两个端点与构成正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆交与不同两点、，试问在轴上是否存在定点，
使恒为定值 若存在，求出的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
训练卷 高中数学卷答案（B）
19 圆锥曲线
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】B
【解析】抛物线化为标准方程为，准线方程是，
∴，∴，故选B．
2．【答案】B
【解析】椭圆的焦点为，，直线过，
∴的周长为，故选B．
3．【答案】A
【解析】当时，曲线为焦点在轴上的椭圆，
∴，曲线为焦点在轴上的双曲线，
∴，∴焦距相等，故选A．
4．【答案】D
【解析】因为与双曲线有共同渐近线，
可设所求双曲线的方程为，把点代入得，
∴双曲线的方程为，整理得，
∴，，虚轴的长为，故选D．
5．【答案】D
【解析】设动圆的半径为，则，，∴，
∴的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，
∴动圆圆心的轨迹方程为，故选D．
6．【答案】C
【解析】不妨设为第一象限的点，由，解得，∵，
∴的面积为，故选C．
7．【答案】C
【解析】由题意可知，椭圆的标准方程为，
由椭圆的对称性知，，又，
∴为等腰直角三角形，故，即，∵，
∴，联立，解得，，∴椭圆的方程为，故选C．
8．【答案】C
【解析】圆即为，，∴圆心为，半径，
由题设知，为双曲线的左焦点，∴，又左焦点到右顶点的距离为圆的半径，
∴，则，∴，则该双曲线的方程为，故选C．
9．【答案】C
【解析】抛物线的准线方程为，由于到焦点的距离为，故有，
∴，，抛物线的方程为，则，∴，故选C．
10．【答案】B
【解析】不妨设椭圆的焦点在轴上，标准方程为，
如图，则，，设，则，，
∵，∴，即，∵点在椭圆上，
∴，即，，∴，故选B．
11．【答案】C
【解析】由题设知，抛物线的焦点为，由抛物线的定义得，点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和为：，又的圆心为，
结合图形知，的最小值为：，故选C．
12．【答案】D
【解析】直线经过椭圆的两个顶点和，故，要使的面积为，
即，则，联立与椭圆方程得，
令，解得，平移直线到时与椭圆相切，
它们与的距离，均大于，∴满足条件的点有个，故选D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】渐近线的方程为，∴，
平方得到：，，，∴．
14．【答案】
【解析】由题设知，，，∴，
以原点为圆心，为半径作圆，圆的方程为，
则为圆的直径，当在圆内时，为钝角，
由消去得，，
结合图形可知，，即点的横坐标的取值范围是．
15．【答案】
【解析】当斜率存在时，设过点的直线方程为：，
根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径可以得到，，
直线与圆方程的联立可以得到切点的坐标；当斜率不存在时，直线方程为：，
根据两点，，可以得到直线：，
则与轴的交点即为上顶点坐标，∴，与轴的交点即为焦点，
∴，则，∴椭圆方程为．
16．【答案】
【解析】 ∵，又， ∴，
由于在直线上，即，，
∵，，∴，即，
∵，，∴，．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设动点，因为直线，的斜率之积是，
所以，整理得，
所以动点的轨迹方程为．
（2）设动点，线段的中点为，圆与轴相切于，
连接，，，所以，轴，
因为为直角三角形斜边上的中线，所以，
由，化简得，所以动点的轨迹方程为．
18．【答案】．
【解析】过点分别作，垂直于轴，垂足分别为，，
∵直线的倾斜角为，且过焦点，
∴直线的方程为；
联立得，，
解得，，
∵点在轴的上方，∴，，
∵，∴．
19．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）设双曲线的方程为，
∵双曲线的两个顶点和虚轴的一个端点构成的三角形为等腰直角三角形，∴，
又双曲线过点，∴，
∴，则双曲线的方程为；
（2）由（1）知，，∴，，
∵，∴，，
∴；
∵点在双曲线上，∴，则，
∴，则，∴．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，∴，∵，∴，
∴，解得，∴，故．
（2）由（1）知椭圆方程可化简为．①
易求直线的斜率为，
故可设直线的方程为：．②
由①②消去得．
∴，．
于是的面积
，∴．
因此椭圆的方程为，即
21．【答案】（1）；（2）当时，，即存在这样的直线，
当时，不存在，即不存在这样的直线．
【解析】（1）由题意可知，又；
解得，，，∴椭圆的方程为；
（2）由（1）得，∴；
假设存在满足题意的直线，设的方程为，
由得，；
设，，则，，
，
；
∵，而的方向向量为，
∴，
当时，，即存在这样的直线，方程为；
当时，不存在，即不存在这样的直线．
22．【答案】（1）；（2）当时，为定值．
【解析】（1）由题意知抛物线的焦点，∴，
又椭圆短轴的两个端点与构成正三角形，∴，，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为：，
，消去并整理得，
设，，
，，，，
∴
；
若为定值，则，解得，
此时，为定值；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，
直线与椭圆交于点、，
由可得，，，
∴，
综上所述当时，为定值．训练金卷 高中数学卷（A）
19 圆锥曲线
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．双曲线的焦点坐标是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．若双曲线的焦距等于离心率，则（ ）
A． B． C． D．
3．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（ ）
A．2 B．4 C．18 D．36
4．设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，则的值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．设、是椭圆的两个焦点，点为椭圆上的点，且，，则椭圆的短轴长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
6．双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
8．已知双曲线的离心率为，其左焦点为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则（ ）
A．1 B．3 C．1或9 D．3或7
10．双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（ ）
A． B． C．1 D．2
11．如图，为经过抛物线焦点的弦，点，在直线上的射影分别为，，且，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
12．已知抛物线，过点作该抛物线的切线，，切点为，，若直线恒过定点，则该定点为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．抛物线的焦点到准线的距离为__________．
14．已知为双曲线的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为______．
15．设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为__________．
16．设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，，则该抛物线的方程为__________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设命题：对任意实数，不等式恒成立；命题:方程表示焦点在轴上的双曲线．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．
18．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，焦距为2，过点作直线交椭圆于、两点，的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求弦长．
19．（12分）已知点在抛物线上，为焦点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，求的值．
20．（12分）抛物线上的点到点的距离与到直线的距离之差为1，过点的直线交抛物线于，两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若的面积为，求直线的方程．
21．（12分）如图，过抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点．
（1）用表示；
（2）若求这个抛物线的方程．
22．（12分）已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为，（为原点）
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线：与双曲线恒有两个不同的交点和，且，求的取值范围．
训练卷 高中数学卷答案（A）
19 圆锥曲线
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】B
【解析】因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，
因为，，所以焦点坐标为，选B．
2．【答案】A
【解析】双曲线的焦距等于离心率．可得：，
即，解得．故选A．
3．【答案】C
【解析】由双曲线的方程，可得一条渐近线的方程为，
所以，解得，所以双曲线的实轴长为，故选C．
4．【答案】C
【解析】设椭圆的右焦点为连接，，
因为，，所以四边形是平行四边形．
所以，所以，故选C．
5．【答案】A
【解析】由题意，椭圆满足，，
由椭圆的定义可得，，解得，，
又，解得，所以椭圆的短轴为，故选A．
6．【答案】C
【解析】由题意得，∴，
又双曲线的渐近线方程为，
∴双曲线的渐近线方程是，即，故选C．
7．【答案】A
【解析】由抛物线的方程，可得，，准线方程为，
设，则，即，不妨设在第一象限，则，
所以，故选A．
8．【答案】D
【解析】∵双曲线的离心率为，其左焦点为，
∴，，∴，∵，∴，
∴双曲线的标准方程为，故选D．
9．【答案】C
【解析】由双曲线的方程，渐近线方程可得，
因为，所以，所以，
由双曲线的定义可得，所以或，故选C．
10．【答案】D
【解析】因为，，所以，故，即，
由，所以，即，故，，双曲线的实轴长为2．故选D．
11．【答案】C
【解析】由抛物线定义可知：，，设，
∵，∴，作交于，则
在中，，∴直线的倾斜角为，故选C．
12．【答案】C
【解析】设，的坐标为，，，，
，的方程为，
由，，可得，
切线，都过点，，，
故可知过，两点的直线方程为，
当时，，直线恒过定点，故选C．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】根据题意，抛物线的标准方程为，
其焦点坐标为，准线方程为，
则其焦点到准线的距离为，故答案为．
14．【答案】
【解析】双曲线可化为，
∴一个焦点为，一条渐近线方程为，
∴点到的一条渐近线的距离为．故答案为．
15．【答案】
【解析】由题意知抛物线的焦点为，∴，∵，∴，
∴，∴椭圆的方程为．故答案为．
16．【答案】
【解析】直线方程为，代入抛物线方程并整理得，
设，，则，又，∴，，
∴抛物线方程为，故答案为．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵不等式恒成立，∴，，
∴当时，为真命题．
（2）因为方程表示焦点在轴上的双曲线．∴，得；
∴当时，为真命题．∵是的充分条件，∴，∴
综上，的取值范围是．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为焦距为2，所以，即．
又因为的周长为，结合椭圆定义可得，所以．
所以，于是椭圆的方程．
（2）因为，所以直线的斜率，所以直线的方程为，
联立，消去y可得．设，，则，，
所以．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）抛物线，焦点，由得．
∴抛物线得方程为．
（2）依题意，可设过点的直线的方程为，
由得，设，，则，
∴，∴．
20．【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）设，由定义知，所以，，所以，
所以，抛物线方程为；
（2）设，，由（1）知；若直线的斜率不存在，则方程为，此时，所以的面积为，不满足，所以直线的斜率存在；
设直线的方程为，带入抛物线方程得：
，所以，，，所以，
点到直线的距离为，所以，，得：．
所以，直线的方程为或．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线方程为，
设，，由得，
∴，，∴
（2）由（1）知，，
∴，
∴，解得，∴
∴这个抛物线的方程为．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设双曲线方程为，
由已知得，，再由，得，所以双曲线的方程为．
（2）将代入得．
由直线与双曲线交于不同的两点得，
即且．①
设、，则，，
由得，
而
．于是，即．解此不等式得，②由①②得
故的取值范围为．
