训练卷 高中数学卷（A）
20、平面解析几何综合
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线与平行，则为（ ）
A．2 B．2或 C． D．
2．已知双曲线的一条渐近线的方程是，它的一个焦点落在抛物线的准线上，则双曲线的方程的（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆经过点，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．圆心为的圆与圆相外切，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．若直线是圆的一条对称轴，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为（ ）
A．3 B．10 C．11或21 D．3或13
7．若二次函数的图象与坐标轴的交点是椭圆：的顶点或焦点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，分别为双曲线的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于，两点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．已知双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，且为抛物线的准线与轴的交点，为抛物线上的一点，且满足，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知点是抛物线上的一点，是其焦点，定点，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．圆关于直线对称的圆的标准方程为__________．
14．抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为____________
15．已知圆经过坐标原点和点，若直线与圆相切，则圆的方程是__________．
16．已知双曲线，过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段，两条垂线段的和为，则双曲线的离心率为__________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知中，，，．
（1）求边上的高所在直线方程的一般式；
（2）求的面积．
18．（12分）已知圆的圆心为点，直线经过点．
（1）若直线与圆相切，求的方程;
（2）若直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，求直线的斜率．
19．（12分）已知直线与相交于点，直线．
（1）若点在直线上，求的值；
（2）若直线交直线，分别为点和点，且点的坐标为，求的外接圆的标准方程．
20．（12分）已知直线：与直线关于轴对称．
（1）若直线与圆相切于点，求的值和点的坐标；
（2）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点， 求的值．
21．（12分）已知动点与，两点连线的斜率之积为，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点．
（1）求曲线的方程；
（2）若直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．
22．（12分）设椭圆的离心率为，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为．
（1）求的方程；
（2）过的左焦点作直线与交于，两点，过右焦点作直线与交于，两点，且，以，，，为顶点的四边形的面积，求与的方程．
训练卷 高中数学卷答案（A）
20、平面解析几何综合
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】B
【解析】由直线与平行，可得，解得，故选B．
2．【答案】C
【解析】双曲线的一条渐近线的方程是，可得，
它的一个焦点落在抛物线的准线上，可得，即，，．
所求的双曲线方程为：．故选C．
3．【答案】A
【解析】由椭圆，经过点，，
可得，，所以，其离心率，故选A．
4．【答案】D
【解析】圆，即．圆心为，半径为3
设圆的半径为．由两圆外切知，圆心距为．
所以．的方程为，展开得：．故选D．
5．【答案】B
【解析】圆的方程可化为，
可得圆的圆心坐标为，半径为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以，圆心在直线上，
可得，，即的值为，故选B．
6．【答案】D
【解析】圆的方程整理为标准方程即：，
作于点，由圆的性质可知为等腰三角形，其中，
则，即圆心到直线的距离为，
据此可得：，即，解得：或．本题选择D选项．
7．【答案】B
【解析】由题意得，椭圆的一个焦点为，长轴的一个端点为，
所以，，由是椭圆的一个顶点，
得或，所以．本题选择B选项．
8．【答案】A
【解析】连接，可得，，
由焦距的意义可知，，由勾股定理可知，由双曲线的定义可知，即，变形可得双曲线的离心率，故选A．
9．【答案】B
【解析】由于双曲线焦点到渐近线的距离为，故，，，根据面积公式有，，而，，解得，，，故实轴长，选B．
10．【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为，则，解得，则抛物线方程为，准线方程为，
由点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则由抛物线的定义，可得，
从而可以得到，从而得到，
所以有点到直线的距离为，故选D．
11．【答案】C
【解析】若直线与圆相交，则，解得或，
又，∴所求概率，故选C．
12．【答案】B
【解析】将点坐标代入抛物线方程，得，解得，
∴点，据题设分析知，，，
又为外接球半径），∴，∴，
∴外接圆面积，故选B．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】圆的圆心坐标为，它关于直线的对称点坐标为，
即所求圆的圆心坐标为，所以所求圆的标准方程为．
14．【答案】13
【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于这点到准线的距离，
即．所以周长，填13．
15．【答案】
【解析】设圆的圆心坐标，半径为，
因为圆C经过坐标原点和点，且与直线相切，
所以，解得，，，
所求圆的方程为：．故答案为：．
16．【答案】
【解析】令双曲线的焦点为，渐近线为，即，
垂线段的长度即焦点到准线的距离即，故由题意可得，
所以双曲线的离心率满足，即，故答案为．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）；（2）3．
【解析】（1）因为，所以边上的高所在直线斜率．
所以所在直线方程为．即．
（2）的直线方程为：．
点到直线的距离为．，
∴的面积为3．
18．【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1），所以点的坐标为，
设直线，
当直线斜率不存在时，满足题意，所以的方程为或．
（2）由题意有：，，作，则，
．
19．【答案】（1）2；（2）．
【解析】（1），
又在直线上，，，
（2）在上，，，
联立，得：，
设的外接圆方程为，
把，，代入得：解得，
∴的外接圆方程为，即．
20．【答案】（1）当时，当时；（2）8．
【解析】（1）由点到直线的距离公式：解的或，
当时，当时．
（2）∵直线的方程为，∴的方程为，焦点，
将直线代入抛物线，得整理
，，
21．【答案】（1）；（2）是，．
【解析】（1）设点，由题知，，
整理，得曲线：，即为所求．
（2）由题意，知直线的斜率不为0，故可设：，，，
设直线的斜率为，由题知，，，
由，消去，得，所以，
所以．
又因为点在椭圆上，所以，所以，为定值．
22．【答案】（1）；（2），或，．
【解析】（1）由已知得，，解得，，
∴椭圆的方程为．
（2）设，代入得，
设，，则，．
．
设的方程为，则与之间的距离为．
由对称性可知，四边形为平行四边形，
∴．
令，则，∴，即，
解得或(舍），∴．
故所求方程为，或，．训练卷 高中数学卷（B）
20 平面解析几何综合
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．0或1
2．已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与`双曲线的右支有且只有一个交点，
则此直线斜率的取值范围是( )
A． B． C． D．
3．经过抛物线的焦点，倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则线段的长为（ ）
A．2 B． C． D．16
4．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，
则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
5．设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于( )
A． B．2 C． D．3
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，
两点，若的最大值为5，则的值是( )
A．1 B． C． D．
7．已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．过椭圆内一点，且被这点平分的弦所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点作直线，，分别交椭圆于，两点，且斜率分别为，，若点，关于原点对称，则的值为( )
A． B． C． D．
10．已知，为抛物线上的不同两点，为抛物线的焦点，若，
则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
11．双曲线的左、右焦点分别、，为双曲线右支上的点，的内切圆与
轴相切于点，则圆心到轴的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．抛物线上两点、关于直线对称，且，则
等于（ ）
A．2 B．1 C． D．3
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分． 请把答案填在题中横线上）
13．已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，
为的准线上一点，则的面积为 ．
14．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为 ．
15．已知焦点在轴上椭圆，点在椭圆上，过点作两条直线与椭圆分别交于，两点，若椭圆的右焦点恰是的重心，则直线的方程为 ．
16．过点作抛物线的两条切线，(，为切点)，若，则的值为 ．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的，两点．
（1）如果直线过抛物线的焦点，求的值；
（2）如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点．
18．(12分)已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点．过椭圆外一点，作倾斜角为的直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若右焦点在以线段为直径的圆的内部，求的取值范围．
19．（12分）如图所示，已知圆，定点，为圆上一动点，点在上，
点在上，且满足，，点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点且倾斜角是的直线交曲线于两点,，求．
20．(12分)已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
（1）求椭圆的方程；
（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．
21．(12分)如图，椭圆长轴端点为，，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
22．(12分)设椭圆的焦点分别为，，点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点(如图所示)，试求四边形面积的最大值和最小值．
训练卷 高中数学卷答案（B）
20平面解析几何综合
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】C
【解析】∵直线与圆没有交点，∴，∴，
∴，∴点在椭圆内，故选C．
2．【答案】B
【解析】由题意知，焦点为，双曲线的两条渐近线方程为．
当过点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，
数形结合可知应选B．
3．【答案】D
【解析】设，，由题意知的方程为，由，
得，，，∴
，故选D．
4．【答案】C
【解析】由椭圆的方程得，，设，为椭圆上任意一点，则，当且仅当时，
取得最大值6，故选C．
5．【答案】D
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，由方程组，消去，
得有唯一解，所以，所以，，故选D．
6．【答案】C
【解析】由椭圆的方程可知，由椭圆的定义可知，，
所以，由椭圆的性质可知，过椭圆焦点的弦中通径最短，且，
∴，，故选C．
7．【答案】A
【解析】如图，
∵点在抛物线的内部，由抛物线的定义，等于点到准线的距离，
过作的垂线交抛物线于点，则点为取最小值时所求的点．当时，
由得，所以点的坐标为，故选A．
8．【答案】A
【解析】设直线与椭圆交于，两点，由于，两点均在椭圆上，
故，，两式相减得，
∵，，∴，∴直线的方程为，即，故选A．
9．【答案】D
【解析】设点，，，∴
，∴的值为，故选D．
10．【答案】C
【解析】∵，∴，∴，设，则，设点，
在抛物线准线上的射影分别为，，过作的垂线，交线段的延长线于点，
则，，
∴，∴，由对称性可得直线的斜率为，故选C．
11．【答案】D
【解析】根据圆外一点到圆的切线长相等得，又，
∴，∴．∵轴，∴轴，∴圆心到轴的距离为4．
故选D．
12．【答案】C
【解析】∵，又，∴，
由于在直线上，即，，
∵，，∴，即，∵，，∴，．故选C．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分． 请把答案填在题中横线上）
13．【答案】9
【解析】设抛物线的方程为，则，∴，∴．
14．【答案】
【解析】由双曲线知，它的渐近线方程为，
∵一条渐近线与直线平行，∴，则，∴双曲线方程为，
则，，，∴．
15．【答案】
【解析】将点代人椭圆的方程可得，所以椭圆的方程为，椭圆的焦点，，，，设，，直线的斜率为，
由，
代人椭圆的方程可得，
∴的中点坐标为，所求的直线方程为．
16．【答案】
【解析】设切线方程为，由，联立并化简得，由题意，，即，
又两切线垂直，∴，∴．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）由题意知，抛物线焦点为，设，代入抛物线，
消去得．
设，，则，，
∴
．
（2）设，代入抛物线，消去得，
设，，则，，
∴
，∴．∴直线过定点．
∴若，则直线必过一定点．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵圆经过点，，∴，，
∴，，∴，椭圆的方程为．
（2）由题意知直线的方程为，，
由消去，整理得．
由，解得，
∵，∴．
设，，则，，
∴．
∴
．
∵点在圆内部，∴，即，解得．
又，∴，故的取值范围是．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，∴为的垂直平分线，∴，
又，，
∴动点的轨迹是以点，为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为，
焦距，，，．∴曲线的方程为．
（2）直线的斜率，∴直线的方程为，
由，消去得．
设，，则，，
∴．
20．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）设随圆半焦距为，圆心到的距离，则直线被圆截得弦长为，所以．由题意得，又，∴，．
∴椭圆的方程为．
（2）设点，过点的椭圆的切线的方程为，联立直线与椭圆
的方程得：消去并整理得：，
∵与椭圆相切．∴，
整理得：，
设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为，，则，
∵点在圆上，∴，∴．
∴两条切线斜率之积为常数．
21．【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】（1）如图建系，设椭圆方程为，则，
又∵，即，
∴．故椭圆方程为．
（2）假设存在直线交椭圆于，两点，且恰为的垂心，
则设，，∵，，故，
于是设直线为，由，得，
∵，又，
得，
即，
由韦达定理得，
解得或(舍去)，经检验符合条件．∴直线的方程为．
22．【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为．
【解析】（1）由题意，，∵，∴为的中点．
∴，，所以椭圆方程为．
（2）当直线与轴垂直时，，此时，
四边形的面积．
同理当与轴垂直时，也有四边形的面积．
当直线，均与轴不垂直时，
设，代入消去得，
设，，则，
所以，
所以，
同理，
所以四边形的面积，
，
令，则，
∵，，
∴为上的增函数，
当，即时，，∴，
综上可知，．故四边形面积的最大值为，最小值为．
