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【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第三章：圆
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图形即为瓷器上的纹饰，该图形既为中心对称图形，又为轴对称图形，该图形对称轴有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
2．下面哪个图形绕旋转中心旋转60°能和原图形重合（ ）
A．正六边形 B．正方形 C．等边三角形 D．正八边形
3．在平面直角坐标系中，把点P（-3,2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P的坐标为（ ）
A．（3，-2） B．（2，-3） C．（-3，-2） D．（3,2）
4．下列命题中正确的是（ ）
A．1的平方根等于它本身
B．一元二次方程无解
C．任意多边形的外角和是360°
D．如果两个圆周角相等 ，那么它们所对的弧长一定相等
5．若点P关于原点对称的点为，点P关于x轴对称的点为，则的值为（ ）
A．8 B． C．2 D．
6．如图，A、B的坐标分别为（﹣2，1）、（0，﹣2）．若将线段AB平移至A1B1，A1、B1的坐标分别为（a，4）、（3，b），则a+b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，四边形内接于，，，，C为的中点，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
8．如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动．若⊙O的面积为，，则周长的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，已知上的两条弦和互相垂直于点C，点D在弦上，点E在弦上，且，连接和，点P为中点，点Q为中点，射线与线段交于点N，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．平面直角坐标系内一点，关于原点对称的点的坐标为 ．
12．如图，的顶点A的坐标是，将先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移之后点A的对应点坐标为 ．
13．如图：，，把绕点按顺时针方向旋转到，使点在的延长线上，则旋转了 度．
14．已知圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥侧面积是 .
15．如图，在平行四边形ABCD中，AD=8，AB=4，∠BAD=60°，E为AD上一点，以点E为圆心，以ED的长为半径作弧与BC相切于点H，点F为线段AB中点，则阴影部分面积为 ．
三、解答题：（共55分）
16．（6分）如图，是的直径，与相切于点，过点作的平行线交于点，与的延长线相交于点． 试探究与的位置关系，并说明理由；
已知，，，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算的半径的一种方案：①你选用的已知数是________；②写出求解过程．（结果用字母表示）
17．（7分）图1是“沙漠第一泉”鸣沙山月牙泉，位于甘肃省敦煌市，因形状酷似一弯新月而得名．假期期间，小明一家到月牙泉旅游，小明想知道月牙泉最宽处有多少米，测量过程如下：如图2，月牙泉的一边可以看作一段圆弧，另一边可以近似看作线段，小明绕着月牙泉行走，测得米，在上的点P处测得，请根据以上数据，计算月牙泉最宽处有多少米．（结果保留整数．参考数据：）
18．（8分）如图，先将三角形向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到三角形．
(1)请写出A、B、C的坐标；
(2)皮克定理：数学上把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，s表示多边形的面积．若用皮克定理求三角形的面积，则___________，___________，___________；
(3)将直线以每秒1个单位长度的速度向下平移，平移______秒时该直线恰好经过点．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上．
(1)先将△ABC向左平移2个单位，再作与所得三角形关于原点成中心对称的图形，得到，请在图中画出．
(2)△ABC边上有一点，经上述变换后所得的对应点为，则点的坐标为________（用含a，b的代数式表示）．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．
（1）若∠C=64°，则∠AED= （度）；
（2）连接AD，设AB交DE于点G，当E是的中点时，证明：△EDA∽△EAG．
21．（9分）已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．
（1）求证：ED=EC；
（2）若CD=3，EC=2，求AB的长．
22．（9分）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与该抛物线交于E，F两点．
(1)求点C坐标及抛物线的解析式．
(2)P是直线下方抛物线上的一个动点，作于点H，求的最大值．
(3)以点C为圆心，1为半径作圆，过点B作的切线切点为点D，求切点D的坐标．
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【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第三章：圆
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图形即为瓷器上的纹饰，该图形既为中心对称图形，又为轴对称图形，该图形对称轴有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
解：如图所示，该图形的对称轴有条．
故选：A．
2．下面哪个图形绕旋转中心旋转60°能和原图形重合（ ）
A．正六边形 B．正方形 C．等边三角形 D．正八边形
解：A选项，正六边形旋转的最小角度为，故A正确；
B选项，正方形旋转的最小角度为，故B错误；
C选项，等边三角形旋转的最小角度为，故C错误；
D选项，正八边形旋转的最小角度为，故D错误.
故选：A.
3．在平面直角坐标系中，把点P（-3,2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P的坐标为（ ）
A．（3，-2） B．（2，-3） C．（-3，-2） D．（3,2）
解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，
∵P点坐标为（-3，2），
∴点P′的坐标（3，-2）．
故选：D．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．1的平方根等于它本身
B．一元二次方程无解
C．任意多边形的外角和是360°
D．如果两个圆周角相等 ，那么它们所对的弧长一定相等
解：A． 1的平方根是±1，故本选项错误；
B．
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；
C． 任意多边形的外角和是360°，故本选项正确；
D． 如果两个圆周角相等 ，但它们在半径不相等的两个圆中，那么它们所对的弧长不相等，故本选项错误；
故选C．
5．若点P关于原点对称的点为，点P关于x轴对称的点为，则的值为（ ）
A．8 B． C．2 D．
解：根据题意得：，
点P关于x轴对称的点为，
，
，
，
故选：C．
6．如图，A、B的坐标分别为（﹣2，1）、（0，﹣2）．若将线段AB平移至A1B1，A1、B1的坐标分别为（a，4）、（3，b），则a+b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解∵点A、B的坐标分别为(﹣2，1)、(0，﹣2)，
若将线段AB平移至A1B1的位置，
A1、B1的坐标分别为(a，4)、(3，b)，
∴线段AB向右平移了3个单位长度，向上平移了3个单位长度，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
7．如图，四边形内接于，，，，C为的中点，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
解：∵四边形内接于，，
∴是直径，则，
∵C为的中点，
∴，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
故选：D．
8．如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：如图，连接、，作交于，则，
,
是的切线，
，
，
当时，最小，也取得最小值，
为等边三角形，，边长为4，
，，
，
的最小值为：，故选：C．
9．如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动．若⊙O的面积为，，则周长的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
解：连接AC，
⊙O的面积为6π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，BD⊥AC，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
∴CA′⊥AC，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝＝5，
则△AMN的周长的最小值为5+1＝6，
故选：C．
10．如图，已知上的两条弦和互相垂直于点C，点D在弦上，点E在弦上，且，连接和，点P为中点，点Q为中点，射线与线段交于点N，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
解：连接，，，
，
，
为直径，
P为的中点，Q为的中点，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点Q作交于M，
则为等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
故选：D．
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．平面直角坐标系内一点，关于原点对称的点的坐标为 ．
解：关于原点对称的点的坐标横、纵坐标均互为相反数，所以P（5，-3）关于原点对称点的坐标是（-5，3）．故答案为（-5，3）．
12．如图，的顶点A的坐标是，将先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移之后点A的对应点坐标为 ．
解∵的顶点A的坐标是，将先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，
∴平移之后点A的对应点坐标为，即．
故答案为：．
13．如图：，，把绕点按顺时针方向旋转到，使点在的延长线上，则旋转了 度．
解：因为∠A=40°，∠B=24°，点在AC的延长线上所以∠BC=∠A+∠B=64°，所以答案为64.
14．已知圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥侧面积是 .
解：根据圆锥的侧面积公式：
底面半径是2cm，母线长是3cm的圆锥侧面积为
故答案是：
15．如图，在平行四边形ABCD中，AD=8，AB=4，∠BAD=60°，E为AD上一点，以点E为圆心，以ED的长为半径作弧与BC相切于点H，点F为线段AB中点，则阴影部分面积为 ．
解：过点BG⊥AD于G，连接EH、BD，如图
∵在直角△ABG中，AB=4，∠BAD=60°，
∴，，
∵点H为切点，
∴EH⊥BC，
∴四边形BGEH是矩形，
∴ED=EH=BG，
∴，
∵，，
∴△ABD是直角三角形，即AB⊥BD，
∴，
∵点F为线段AB中点，
∴；
∵，
∴
；
故答案为：．
三、解答题：（共55分）
16．（6分）如图，是的直径，与相切于点，过点作的平行线交于点，与的延长线相交于点．
试探究与的位置关系，并说明理由；
已知，，，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算的半径的一种方案：①你选用的已知数是________；②写出求解过程．（结果用字母表示）
解（1）与相切．
理由：连接，
∵，
∴，．
又∵，
∴，
∴．
∵，，，
∴．
∴．
∵与相切，
∴．
∴
∴与相切．
①选择、、，或其中个．
②解答举例：
若选择、、
方法一：由，，得．
方法二：在中，由勾股定理，
得．
方法三：由，，得．
若选择、
方法一：在中，由勾股定理：，得；
方法二：连接，由，得．
若选择、；需综合运用以上多种方法，得．
17．（7分）图1是“沙漠第一泉”鸣沙山月牙泉，位于甘肃省敦煌市，因形状酷似一弯新月而得名．假期期间，小明一家到月牙泉旅游，小明想知道月牙泉最宽处有多少米，测量过程如下：如图2，月牙泉的一边可以看作一段圆弧，另一边可以近似看作线段，小明绕着月牙泉行走，测得米，在上的点P处测得，请根据以上数据，计算月牙泉最宽处有多少米．（结果保留整数．参考数据：）
解：取的中点，连接，过点作，垂足为，如图所示．
此时点到的距离最大，的长即为月牙泉最宽处的长度．
，
．
是的中点，
．
．
，
．
在中，，
（米）；
月牙泉最宽处约有54米．
18．（8分）如图，先将三角形向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到三角形．
(1)请写出A、B、C的坐标；
(2)皮克定理：数学上把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，s表示多边形的面积．若用皮克定理求三角形的面积，则___________，___________，___________；
(3)将直线以每秒1个单位长度的速度向下平移，平移______秒时该直线恰好经过点．
（1）解：，，，三角形向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形．
；；；
（2）解：由题意，，，．
故答案为：，，．
（3）解：如下图：
将直线以每秒1个单位长度的速度向下平移，平移到第四象限如图所示位置时，
该直线恰好经过点，
此时向下平移了7个单位，
故平移7秒时，该直线恰好经过点，
故答案为：7．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上．
(1)先将向左平移2个单位，再作与所得三角形关于原点成中心对称的图形，得到，请在图中画出．
(2)边上有一点，经上述变换后所得的对应点为，则点的坐标为________（用含a，b的代数式表示）．
（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：点向左平移2个单位后坐标为，
点关于原点对称点的坐标为．
故答案为：.
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．
（1）若∠C=64°，则∠AED= （度）；
（2）连接AD，设AB交DE于点G，当E是的中点时，证明：△EDA∽△EAG．
解（1）连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵DB=DC，
∴AC=AB，
∴∠C=∠ABC=64°，
∴∠AED=∠ABD=64°，
故答案为64．
（2）∵=，
∴∠EAG=∠ADE，
∵∠AEG=∠DEA，
∴△EDA∽△EAG．
21．（9分）已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．
（1）求证：ED=EC；
（2）若CD=3，EC=2，求AB的长．
（1）证明：
又∵
∴
∴
∴
（2）连接
∵AB是直径,
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
22．（9分）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与该抛物线交于E，F两点．
(1)求点C坐标及抛物线的解析式．
(2)P是直线下方抛物线上的一个动点，作于点H，求的最大值．
(3)以点C为圆心，1为半径作圆，过点B作的切线切点为点D，求切点D的坐标．
（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴，
令，得，
∴；
（2）解：过点P作轴交直线于点M，
设点，点，
∵轴，
∴轴，，
∴，，
∵，
∴，
当时，的最大值为；
（3）解：如图，①点D在的右侧，连接、，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，
②点D在的左侧时，交y轴于点F，
∵、是的切线，
又∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
过作轴于点M，
∴轴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，∴，
综上所述，点D的坐标为或．
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