人教版（2024）八年级上册 13.3.2等边三角形 学案（无答案）

第13章 轴对称
13.3.2等边三角形
【学习目标】
1.探索并证明含30°锐角的直角三角形的性质．
2.能运用含30°角的直角三角形的性质解决简单的实际问题.
【学习重难点】
探索并证明含30°锐角的直角三角形的性质．
【教学过程】
预习
【温故习新】
新课导入：如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°，立柱 BC，DE 的长是多少？
知识点:含 30° 角的直角三角形的性质
活动一 剪一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？
活动二 剪下这个直角三角形，探究它的性质.
追问：你能类比探究等边三角形的性质探究它吗？
动手实践：在 Rt△ABC 中，已知 ∠C = 90°，∠A = 30°.证明：BC = AB.
含30°的直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.　
这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
【研讨拓展】
例1 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°，立柱 BC，DE 的长是多少？
对应练习：1.如图，在Rt△ABC 中，∠A = 30°，线段 AB 的垂直平分线分别交 AC、AB 于点 D、E，连接 BD，则 CD =1，则 AD 的长为_____.
2.如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
例2.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝6，则AD＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
对应练习：如图，在四边形ABCD中，AD＝8，BC＝2，∠B＝90°，∠A＝30°，∠ADC＝120°，则CD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
例3如图所示，为了躲避海盗，一轮船由西向东航行，早上8点，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，以每小时20海里的速度继续向东航行，10点到达B处，并测得小岛P在北偏东60°的方向上，已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险？
【反馈提炼】
如图，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 60°，AC =2cm，CD⊥AB，垂足为 D，那么 ∠ACD = _____°，AD = cm，AB = ___cm.
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3.如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC＝4，则BE+CF＝　 　．
4.如图，∠BAD = ∠DCB = 90°，AD = CB，AB = 3cm，∠2 = 15°.
(1) 求证△BED 是等腰三角形；
(2) 求△BED 的面积.
5.如图，在等边三角形 ABC 中，点 D、E 分别在边 AC、BC 上，将 △CED 沿着 DE 折叠，使点 C 落在边 AB 上的点 F 处，且 DF⊥AB，求证：BF = 2BE.
6 .如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？
【课堂小结】
本节课的思维导图：
(学生根据自己的理解和掌握情况自己绘制)