第3课时 相似三角形的判定定理(二)
知识点1 利用两组角判定两个三角形相似
1如图,在△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,AE⊥AD交CB的延长线于点E,下列结论正确的是( )
A.△AED∽△ACB B.△AEB∽△ACD
C.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC
2已知等腰△ABC的底角为75°,则下列三角形一定与△ABC相似的是( )
A.顶角为30°的等腰三角形
B.顶角为40°的等腰三角形
C.等边三角形
D.顶角为75°的等腰三角形
3如图,∠DAB=∠EAC,请补充一个条件: ,使△ADE∽△ABC(只写一个答案即可).
4如图,在△ABC中,AB=AC,请你利用尺规作图,在BC上求作一点D,使△ABC∽
△DAC.(不写作法,保留作图痕迹)
知识点2 直角三角形相似的判定
5[教材再开发·P36练习T2改编]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中相似三角形共有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
6 新中考·实践探究 在综合与实践课上,老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片ABCD如图所示,点N在边AD上,现将矩形折叠,折痕为BN,点A对应的点记为点M,若点M恰好落在边DC上,则图中与△NDM一定相似的三角形是 .
7如图,∠ACB=∠D=90°,且AB=,BC=5,BD=3,求证:△ABC∽△CBD.
8(2023·湘潭中考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高.
(1)证明:△ABD∽△CBA;
(2)若AB=6,BC=10,求BD的长.
9如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
10如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且∠BEF=90°,则三角形Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ中一定相似的是( )
A.Ⅰ和Ⅲ B.Ⅲ和Ⅳ
C.Ⅰ和Ⅳ D.Ⅱ和Ⅳ
11如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且∠BCE+∠BDE=180°.
(1)求证:△ADE∽△ACB;
(2)连接BE,CD,求证:△AEB∽△ADC.
12(2024·贵州一模)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB=AC,连接AO,延长AO交BC于点D,交☉O于点E.
(1)∠ACE的度数为_______度,写出图中一对全等的三角形_______.
(2)求证:△ADB∽△BDE;
(3)若OD=DE,试求∠BAC的度数.第3课时 相似三角形的判定定理(二)
知识点1 利用两组角判定两个三角形相似
1如图,在△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,AE⊥AD交CB的延长线于点E,下列结论正确的是(C)
A.△AED∽△ACB B.△AEB∽△ACD
C.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC
2已知等腰△ABC的底角为75°,则下列三角形一定与△ABC相似的是(A)
A.顶角为30°的等腰三角形
B.顶角为40°的等腰三角形
C.等边三角形
D.顶角为75°的等腰三角形
3如图,∠DAB=∠EAC,请补充一个条件: ∠D=∠B(或∠AED=∠C或=) ,使△ADE∽△ABC(只写一个答案即可).
4如图,在△ABC中,AB=AC,请你利用尺规作图,在BC上求作一点D,使△ABC∽
△DAC.(不写作法,保留作图痕迹)
解: 如图,点D即为所求.
理由:由作图可知,DA=DC,
∴∠C=∠DAC,
∵AB=AC,∴∠B=∠C=∠DAC,
∴△ABC∽△DAC.
知识点2 直角三角形相似的判定
5[教材再开发·P36练习T2改编]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中相似三角形共有(C)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
6 新中考·实践探究 在综合与实践课上,老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片ABCD如图所示,点N在边AD上,现将矩形折叠,折痕为BN,点A对应的点记为点M,若点M恰好落在边DC上,则图中与△NDM一定相似的三角形是 △MCB .
7如图,∠ACB=∠D=90°,且AB=,BC=5,BD=3,求证:△ABC∽△CBD.
证明:∵∠ACB=90°,且AB=,BC=5,
∴AC==,
∵∠D=90°,且BC=5,BD=3,
∴CD==4,
∵==,=,∴=,
又∵∠ACB=∠D=90°,
∴△ABC∽△CBD.
8(2023·湘潭中考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高.
(1)证明:△ABD∽△CBA;
(2)若AB=6,BC=10,求BD的长.
解:(1)∵AD是斜边BC上的高,
∴∠BDA=90°,
∵∠BAC=90°,∴∠BDA=∠BAC,
又∵∠B为公共角,∴△ABD∽△CBA;
(2)由(1)知△ABD∽△CBA,
∴=,∴=,∴BD=3.6.
9如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)
10如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且∠BEF=90°,则三角形Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ中一定相似的是(A)
A.Ⅰ和Ⅲ B.Ⅲ和Ⅳ
C.Ⅰ和Ⅳ D.Ⅱ和Ⅳ
11如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且∠BCE+∠BDE=180°.
(1)求证:△ADE∽△ACB;
(2)连接BE,CD,求证:△AEB∽△ADC.
证明:(1)∵∠BCE+∠BDE=180°,∠ADE+∠BDE=180°,
∴∠BCE=∠ADE,
∵∠DAE=∠CAB,∴△ADE∽△ACB;
(2)∵△ADE∽△ACB,
∴AD∶AE=AC∶AB,
又∵∠EAB=∠DAC,
∴△AEB∽△ADC.
12(2024·贵州一模)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB=AC,连接AO,延长AO交BC于点D,交☉O于点E.
(1)∠ACE的度数为_______度,写出图中一对全等的三角形_______.
(2)求证:△ADB∽△BDE;
(3)若OD=DE,试求∠BAC的度数.
解:(1) 由题意可得:AE为☉O的直径,
∴∠ACE=∠ABE=90°,
∵AB=AC,
∴在Rt△ABE和Rt△ACE中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△ACE(HL);
答案:90 Rt△ABE≌Rt△ACE
(2) 由(1)可得:△ABE≌△ACE,
∴=,
∴∠EBC=∠BAE,
又∵=,
∴∠ABC=∠AEB,
∴△ADB∽△BDE;
(3)连接OC,如图所示:
∵AB=AC,BE=EC,
∴AE是BC的垂直平分线,
∴∠ODC=90°,
∵OD=DE=OE,OE=OC,
∴OD=OC,
∵在Rt△ODC中,OD=OC,
∴∠OCD=30°,
∴∠DOC=90°-∠OCD=90°-30°=60°,
∵=,
∴∠CAE=∠DOC=×60°=30°,
∵=,
∴∠BAE=∠CAE,
∴∠BAC=2∠CAE=2×30°=60°.27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例
知识点1 相似三角形
1要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的边长分别为8 cm,10 cm和12 cm,另一个三角形的最短边长为2 cm,则它的最长边长为( )
A.3 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm
2如图,已知D,E分别在△ABC的AB,AC边上,△ABC∽△AED,则下列各式成立的是( )
A.= B.AB·AD=AE·AC
C.= D.AD·DE=AE·EC
练易错 两条直角边对应关系没有明确时,忽略分类讨论.
3如图,线段AB=9,AC⊥AB于点A,BD⊥AB于点B,AC=2,BD=4,点P为线段AB上一动点,且以A,C,P为顶点的三角形与以B,D,P为顶点的三角形相似,则AP的长为 .
知识点2 平行线分线段成比例
4(2023·吉林中考)如图,在△ABC中,点D在边AB上,过点D作DE∥BC,交AC于点E.若AD=2,BD=3,则的值是( )
A. B. C. D.
5[教材再开发·P31练习T1拓展](2023·北京中考)如图,直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD,若AO=2,OF=1,FD=2,则的值为 .
6如图,已知直线l1,l2,l3分别交直线l4于点A,B,C,交直线l5于点D,E,F,且l1∥l2∥l3,AB=6,BC=4,DF=15,那么线段DE的长等于 .
知识点3 利用平行判定三角形相似
7如图,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连接AM交DE于点N,则( )
A.= B.=
C.= D.=
8下列三角形不一定相似的是( )
A.两个等边三角形
B.两个等腰直角三角形
C.各有一个角是100°的两个等腰三角形
D.各有一个角是45°的两个等腰三角形
9如图,D,E分别为AB,AC上的两点,DE∥BC,AE=2CE,AB=9,则AD的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
10[数学与生活]如图是一架梯子的示意图,其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1,且AB=BC=CD,为了使其更加稳固,在A,D1间加绑一条安全绳(线段AD1),量得AE=0.4 m,则AD1的长为( )
A.1.2 m B.1 m C.0.8 m D.0.6 m
11(2024·天津一模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以A,C为圆心,大于AC长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于P,Q两点,直线PQ分别交AB,AC于点D,E,连接CD,则下列结论一定正确的是( )
A.DE=AE B.DE=BC
C.AB=2BC D.AC=2CD
12如图,AD是△ABC的中线,点E在AC上,BE交AD于点F.若AD=3AF,则= .
13已知MN∥EF∥BC,点A,D为直线MN上的两动点,AD=a,BC=b,AE∶BE=m∶n.
(1)当点A,D重合,即a=0时(如图(1)所示),试求EF;(用含m,n,b的代数式表示)
(2)请直接应用(1)的结论解决下面问题:当A,D不重合,即a≠0时.
①如图(2)所示的这种情况,试求EF;(用含a,b,m,n的代数式表示)
②如图(3)所示的这种情况,试猜想EF与a,b之间有何种数量关系 并证明你的猜想.第2课时 相似三角形的判定定理(一)
知识点1 利用三边判定三角形相似
1下列四个选项中的三角形,与图中的三角形相似的是( )
2已知△ABC的三边长分别为,,2,△A'B'C'的两边长分别是1和,如果△ABC与△A'B'C'相似,那么△A'B'C'的第三边应该是( )
A. B. C. D.
3如图,在△ABC中,D,E,F分别为AB,AC,BC的中点.
求证:△FED∽△ABC.
知识点2 利用两边和夹角判定三角形相似
4[教材再开发·P34练习T2变式]已知△ABC如图所示,则下列4个三角形中,与△ABC相似的是( )
5如图,△ACD和△ABC相似需具备的条件是( )
A.= B.=
C.AC2=AD·AB D.CD2=AD·BD
6如图,D是△ABC的边BC上的一点,AB=2,BD=1,DC=3,求证:△ABD∽△CBA.
练易错 忽视对应边的不同漏解.
7如图,在△ABC中,AB=8 cm,BC=16 cm,动点P从点A开始沿AB边运动,速度为
2 cm/s;动点Q从点B开始沿BC边运动,速度为4 cm/s;如果P,Q两动点同时运动,那么经过________s时△QBP与△ABC相似.( )
A.2 B.4
C.2或0.8 D.2或4
8如图,在三角形纸片ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是( )
9如图,在正方形网格上有6个三角形:
①△ABC;②△BCD;③△BDE;④△BFG;
⑤△FGH;⑥△EFK.其中②~⑥中与①相似的是( )
A.②③④ B.③④⑤
C.④⑤⑥ D.②③⑥
10如图,AB是☉O的直径,BE是☉O的切线,△ACD内接于☉O,连接AE,若
∠ADC=125°,AB2=AE·AC,则∠E的度数为 .
11如图,已知正方形ABCD的边长是1,P是CD边的中点,点Q在线段BC上,当BQ= 时,△ADP与△QCP相似.
12将三角形纸片ABC按如图的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B',折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B',F,C为顶点的三角形与△ABC相似,求BF的长.第2课时 相似三角形的判定定理(一)
知识点1 利用三边判定三角形相似
1下列四个选项中的三角形,与图中的三角形相似的是(B)
2已知△ABC的三边长分别为,,2,△A'B'C'的两边长分别是1和,如果△ABC与△A'B'C'相似,那么△A'B'C'的第三边应该是(A)
A. B. C. D.
3如图,在△ABC中,D,E,F分别为AB,AC,BC的中点.
求证:△FED∽△ABC.
证明:∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=BC,∴=,同理==,∴==,
∴△FED∽△ABC.
知识点2 利用两边和夹角判定三角形相似
4[教材再开发·P34练习T2变式]已知△ABC如图所示,则下列4个三角形中,与△ABC相似的是(C)
5如图,△ACD和△ABC相似需具备的条件是(C)
A.= B.=
C.AC2=AD·AB D.CD2=AD·BD
6如图,D是△ABC的边BC上的一点,AB=2,BD=1,DC=3,求证:△ABD∽△CBA.
证明:∵BD=1,DC=3,
∴BC=BD+CD=1+3=4,
∵=,
∴=,
∵∠B为公共角,
∴△ABD∽△CBA.
练易错 忽视对应边的不同漏解.
7如图,在△ABC中,AB=8 cm,BC=16 cm,动点P从点A开始沿AB边运动,速度为
2 cm/s;动点Q从点B开始沿BC边运动,速度为4 cm/s;如果P,Q两动点同时运动,那么经过________s时△QBP与△ABC相似.(C)
A.2 B.4
C.2或0.8 D.2或4
8如图,在三角形纸片ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是(B)
9如图,在正方形网格上有6个三角形:
①△ABC;②△BCD;③△BDE;④△BFG;
⑤△FGH;⑥△EFK.其中②~⑥中与①相似的是(B)
A.②③④ B.③④⑤
C.④⑤⑥ D.②③⑥
10如图,AB是☉O的直径,BE是☉O的切线,△ACD内接于☉O,连接AE,若
∠ADC=125°,AB2=AE·AC,则∠E的度数为 55° .
11如图,已知正方形ABCD的边长是1,P是CD边的中点,点Q在线段BC上,当BQ= 0或 时,△ADP与△QCP相似.
12将三角形纸片ABC按如图的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B',折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B',F,C为顶点的三角形与△ABC相似,求BF的长.
解: 根据△B'FC与△ABC相似时的对应关系,有两种情况:
①△B'FC∽△ABC时,
=,
又∵AB=AC=3,BC=4,B'F=BF,
∴=,
解得BF=;
②△B'CF∽△BCA时,
=,
AB=AC=3,BC=4,B'F=CF,BF=B'F,
而BF+FC=4,即2BF=4,
解得BF=2.
故BF的长度是2或.27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例
知识点1 相似三角形
1要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的边长分别为8 cm,10 cm和12 cm,另一个三角形的最短边长为2 cm,则它的最长边长为(A)
A.3 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm
2如图,已知D,E分别在△ABC的AB,AC边上,△ABC∽△AED,则下列各式成立的是(B)
A.= B.AB·AD=AE·AC
C.= D.AD·DE=AE·EC
练易错 两条直角边对应关系没有明确时,忽略分类讨论.
3如图,线段AB=9,AC⊥AB于点A,BD⊥AB于点B,AC=2,BD=4,点P为线段AB上一动点,且以A,C,P为顶点的三角形与以B,D,P为顶点的三角形相似,则AP的长为 1或3或8 .
知识点2 平行线分线段成比例
4(2023·吉林中考)如图,在△ABC中,点D在边AB上,过点D作DE∥BC,交AC于点E.若AD=2,BD=3,则的值是(A)
A. B. C. D.
5[教材再开发·P31练习T1拓展](2023·北京中考)如图,直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD,若AO=2,OF=1,FD=2,则的值为 .
6如图,已知直线l1,l2,l3分别交直线l4于点A,B,C,交直线l5于点D,E,F,且l1∥l2∥l3,AB=6,BC=4,DF=15,那么线段DE的长等于 9 .
知识点3 利用平行判定三角形相似
7如图,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连接AM交DE于点N,则(C)
A.= B.=
C.= D.=
8下列三角形不一定相似的是(D)
A.两个等边三角形
B.两个等腰直角三角形
C.各有一个角是100°的两个等腰三角形
D.各有一个角是45°的两个等腰三角形
9如图,D,E分别为AB,AC上的两点,DE∥BC,AE=2CE,AB=9,则AD的长为(A)
A.6 B.5 C.4 D.3
10[数学与生活]如图是一架梯子的示意图,其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1,且AB=BC=CD,为了使其更加稳固,在A,D1间加绑一条安全绳(线段AD1),量得AE=0.4 m,则AD1的长为(A)
A.1.2 m B.1 m C.0.8 m D.0.6 m
11(2024·天津一模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以A,C为圆心,大于AC长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于P,Q两点,直线PQ分别交AB,AC于点D,E,连接CD,则下列结论一定正确的是(B)
A.DE=AE B.DE=BC
C.AB=2BC D.AC=2CD
12如图,AD是△ABC的中线,点E在AC上,BE交AD于点F.若AD=3AF,则= .
13已知MN∥EF∥BC,点A,D为直线MN上的两动点,AD=a,BC=b,AE∶BE=m∶n.
(1)当点A,D重合,即a=0时(如图(1)所示),试求EF;(用含m,n,b的代数式表示)
(2)请直接应用(1)的结论解决下面问题:当A,D不重合,即a≠0时.
①如图(2)所示的这种情况,试求EF;(用含a,b,m,n的代数式表示)
②如图(3)所示的这种情况,试猜想EF与a,b之间有何种数量关系 并证明你的猜想.
解:(1)∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,∴=,
∵=,∴=,
又BC=b,∴=,∴EF=;
(2)①如图2,连接BD,与EF交于点H,
由(1)知,HF=,EH=,
∵EF=EH+HF,∴EF=;
②猜想:EF=,
证明:如图3中,连接DE,并延长DE交BC于点G,由已知得:BG=,EF=,
∵GC=BC-BG,∴EF=(BC-BG)=(b-)=.
