27.2.2 相似三角形的性质
知识点1 相似三角形对应线段的比等于相似比
1如果两个相似三角形对应中线的比是9∶16,那么它们对应周长的比是( )
A.3∶4 B.4∶3 C.9∶16 D.16∶9
2(2023·重庆中考B卷)如图,已知△ABC∽△EDC,AC∶EC=2∶3,若AB的长度为6,则DE的长度为( )
A.4 B.9 C.12 D.13.5
3[教材再开发·P39练习T2变式]两个相似三角形的相似比为1∶4,那么它们的对应边上的高的比为( )
A.1∶4
B.1∶2
C.1∶16
D.不同的对应边上的高的比不同
4(2024·内江中考)已知△ABC与△DEF相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长之比是( )
A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9
练易错 两个共角三角形相似,忽略对夹这个角的两边分情况讨论而漏解.
5如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,D是AC上一点,AD=4,在AB上取一点E,使A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则AE的长为 .
6如图,在△ABC中,AD是角平分线,点E在AC上,且∠EAD=∠ADE.
(1)求证:△DCE∽△BCA;
(2)若AB=3,AC=4.求DE的长.
知识点2 相似三角形面积的比等于相似比的平方
7(2024·重庆中考A卷)若两个相似三角形的相似比是1∶3,则这两个相似三角形的面积比是( )
A.1∶3 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶9
8若△ABC∽△DEF,且AB∶DE=2∶3,△DEF的面积为9,则△ABC的面积为 .
9如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,BC∥AD,对角线AC⊥CD.
(1)求证:△CBA∽△ACD.
(2)若AB=2,CD=3,求△ABC与△DCA的面积比.
10若△ABC∽△A'B'C',且面积比为4∶9,则其对应边上的高的比为( )
A. B. C. D.
11(2024·苏州一模)如图,游戏板正五边形ABCDE中,点F,G,H,K,L分别是OA,OB,OC,OD,OE的中点,假设飞镖击中游戏板中的每一处是等可能的,任意投掷飞镖一次(击中阴影部分边界或没有击中游戏板,则重投一次),飞镖击中阴影部分的概率是( )
A. B. C. D.
12如图,在正方形ABCD中,F是CD边上的一点,连接AF并延长与BC的延长线相交于点E.若DF=CE,则的值为( )
A. B. C. D.
13(2023·成都中考)如图,在△ABC中,D是边AB上一点,按以下步骤作图:
①以点A为圆心,以适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;
②以点D为圆心,以AM长为半径作弧,交DB于点M';
③以点M'为圆心,以MN长为半径作弧,在∠BAC内部交前面的弧于点N';
④过点N'作射线DN'交BC于点E.
若△BDE与四边形ACED的面积比为4∶21,则的值为 .
14(2024·常州质检)如图,Rt△ABC的两个顶点A,B都在反比例函数y=的图象上,AB经过原点O.斜边AC垂直于x轴,垂足为D.已知点A的坐标为.
(1)求直线AB和反比例函数的解析式;
(2)求Rt△ABC的面积.
15如图,已知在△ABC中,BC>AB,BD平分∠ABC,交边AC于点D,E是BC边上一点,且BE=BA,过点A作AG∥DE,分别交BD,BC于点F,G,连接FE.
(1)求证:四边形AFED是菱形;
(2)求证:AB2=BG·BC;
(3)若AB=AC,BG=CE,连接AE,求的值.27.2.2 相似三角形的性质
知识点1 相似三角形对应线段的比等于相似比
1如果两个相似三角形对应中线的比是9∶16,那么它们对应周长的比是(C)
A.3∶4 B.4∶3 C.9∶16 D.16∶9
2(2023·重庆中考B卷)如图,已知△ABC∽△EDC,AC∶EC=2∶3,若AB的长度为6,则DE的长度为(B)
A.4 B.9 C.12 D.13.5
3[教材再开发·P39练习T2变式]两个相似三角形的相似比为1∶4,那么它们的对应边上的高的比为(A)
A.1∶4
B.1∶2
C.1∶16
D.不同的对应边上的高的比不同
4(2024·内江中考)已知△ABC与△DEF相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长之比是(B)
A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9
练易错 两个共角三角形相似,忽略对夹这个角的两边分情况讨论而漏解.
5如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,D是AC上一点,AD=4,在AB上取一点E,使A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则AE的长为 或3 .
6如图,在△ABC中,AD是角平分线,点E在AC上,且∠EAD=∠ADE.
(1)求证:△DCE∽△BCA;
(2)若AB=3,AC=4.求DE的长.
解:(1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠EAD,∵∠EAD=∠ADE,∴∠BAD=∠ADE,∴AB∥DE,∴△DCE∽△BCA;
(2)∵∠EAD=∠ADE,∴AE=DE,设DE=x,∴CE=AC-AE=AC-DE=4-x,
∵△DCE∽△BCA,∴DE∶AB=CE∶AC,即x∶3=(4-x)∶4,解得x=,∴DE的长是.
知识点2 相似三角形面积的比等于相似比的平方
7(2024·重庆中考A卷)若两个相似三角形的相似比是1∶3,则这两个相似三角形的面积比是(D)
A.1∶3 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶9
8若△ABC∽△DEF,且AB∶DE=2∶3,△DEF的面积为9,则△ABC的面积为 4 .
9如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,BC∥AD,对角线AC⊥CD.
(1)求证:△CBA∽△ACD.
(2)若AB=2,CD=3,求△ABC与△DCA的面积比.
解:(1)∵AC⊥CD, ∠B=90°,
∴∠ACD=90°,即∠ACD=∠B,
又∵BC∥AD,∴∠BCA=∠CAD,
∴△CBA∽△ACD;
(2)∵△CBA∽△ACD,∴相似比为=,∵相似三角形的面积比等于相似比的平方,∴S△ABC∶S△DCA==.
10若△ABC∽△A'B'C',且面积比为4∶9,则其对应边上的高的比为(C)
A. B. C. D.
11(2024·苏州一模)如图,游戏板正五边形ABCDE中,点F,G,H,K,L分别是OA,OB,OC,OD,OE的中点,假设飞镖击中游戏板中的每一处是等可能的,任意投掷飞镖一次(击中阴影部分边界或没有击中游戏板,则重投一次),飞镖击中阴影部分的概率是(C)
A. B. C. D.
12如图,在正方形ABCD中,F是CD边上的一点,连接AF并延长与BC的延长线相交于点E.若DF=CE,则的值为(B)
A. B. C. D.
13(2023·成都中考)如图,在△ABC中,D是边AB上一点,按以下步骤作图:
①以点A为圆心,以适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;
②以点D为圆心,以AM长为半径作弧,交DB于点M';
③以点M'为圆心,以MN长为半径作弧,在∠BAC内部交前面的弧于点N';
④过点N'作射线DN'交BC于点E.
若△BDE与四边形ACED的面积比为4∶21,则的值为 .
14(2024·常州质检)如图,Rt△ABC的两个顶点A,B都在反比例函数y=的图象上,AB经过原点O.斜边AC垂直于x轴,垂足为D.已知点A的坐标为.
(1)求直线AB和反比例函数的解析式;
(2)求Rt△ABC的面积.
解:(1)将点A的坐标代入反比例函数y=,得k=2,
∴反比例函数的解析式为y=,
∵AB经过原点O,
设直线AB的解析式为y=mx,
将点A的坐标代入直线方程中,得m=2,
∴直线AB的解析式为y=2x.
(2)∵AC垂直于x轴,
∴∠ADO=∠ABC=90°,
∵∠OAD=∠CAB,
∴△OAD∽△CAB,
∵点A的坐标为,
∴OD=1,AD=2,
∴ 在Rt△AOD中,利用勾股定理得:OA===,
∴AB=2OA=2,
∵△OAD∽△CAB,
∴=,即=,∴BC=,
∴S△ABC=AB·BC=×2×=5.
15如图,已知在△ABC中,BC>AB,BD平分∠ABC,交边AC于点D,E是BC边上一点,且BE=BA,过点A作AG∥DE,分别交BD,BC于点F,G,连接FE.
(1)求证:四边形AFED是菱形;
(2)求证:AB2=BG·BC;
(3)若AB=AC,BG=CE,连接AE,求的值.
解:(1)如题干图,∵BD平分∠ABC,
∴∠ABF=∠EBF,
∵BA=BE,BF=BF,
∴△ABF≌△EBF(SAS),
∴AF=EF,
同理可得△ABD≌△EBD(SAS),
∴AD=ED,∠ADB=∠EDB,
∵AG∥DE,∴∠AFD=∠EDF,
∴∠AFD=∠ADF,
∴AF=AD,∴AF=FE=ED=DA,
∴四边形AFED是菱形.
(2)由(1)得△ABF≌△EBF,
∴∠BAG=∠BEF,
∵四边形AFED是菱形,
∴AD∥FE,∴∠BEF=∠C,
∴∠BAG=∠C,∵∠ABG=∠CBA,
∴△ABG∽△CBA,
∴=,即AB2=BG·BC.
(3)由(2)得,△ABG∽△CBA,AB=AC,
∴AG=BG,∴∠GAB=∠GBA,
∴∠AGC=2∠GAB,
∵BG=CE,∴BE=CG,∴CG=CA,
∴∠CAG=∠CGA,
∵∠CAG=2∠DAE,∴∠DAE=∠ABC,
∴∠DEA=∠ACB,∴△DAE∽△ABC,
∴=,
∵AB2=BG·BC,AB=BE,BG=EC,
∴BE2=EC·BC,
∴点E是BC的黄金分割点,
∴=,∴=,
∵∠EAC=∠C,∴CE=AE,
∴=,∴=.
