第2课时 测量距离、宽度
知识点 测量距离、宽度
1如图,某零件的外径为10 cm,用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC=OB∶OD=3,且量得CD=3 cm,则零件的厚度x为( )
A.0.3 cm B.0.5 cm C.0.7 cm D.1 cm
2如图,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12 m,由此他就知道了A,B间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是( )
A.AB=24 m B.MN∥AB
C.△CMN∽△CAB D.CM∶MA=1∶2
3如图1所示的是用杠杆撬石头的示意图,当用力压杠杆时,杠杆绕着支点转动,另一端会向上翘起,石头就被撬动了.在图2中,杠杆的D端被向上撬起BD=9 cm,动力臂OA与阻力臂OB满足AO=3OB(AB与CD相交于点O),要把这块石头撬至B点,至少要将杠杆的C点向下压( )
A.3 cm B.9 cm C.15 cm D.27 cm
4 新课标·中华优秀传统文化 土圭之法是在平台中央竖立一根八尺长的杆子,观察杆子的日影长度.古代的人们发现,夏至日影最短,冬至日影最长,这样通过日影的长度得到夏至和冬至,确定了四季.如图,利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长,发现第一时刻光线与杆的夹角∠BAC和第二时刻光线与地面的夹角∠ADB相等,测得第一时刻的影长为1.6尺,则第二时刻的影长为 尺.
5已知不等臂跷跷板AB长为3米,当AB的一端点A碰到地面时,(如图1)点B离地高1.5米;当AB的另一端点B碰到地面时,(如图2)点A离地高1米,求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米.
6《九章算术》中,有一数学史上有名的测量问题:“今有邑,东西七里,南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木 ”今译如下:如图,在矩形ABCD中,东边城墙AB长9里,南边城墙AD长7里,东门点E,南门点F分别位于AB,AD的中点,EG⊥AB,FH⊥AD,EG=15里,HG经过A点,则FH的长为( )
A.0.95里 B.1.05里
C.2.05里 D.2.15里
7一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米,木工要以一根长为60厘米的木条为一边,做一个与模型三角形相似的三角形,那么另两条边的木条长度不符合条件的是( )
A.30厘米、45厘米
B.40厘米、80厘米
C.80厘米、120厘米
D.90厘米、120厘米
8如图,为了确定一条河的宽度,测量人员观察到在对岸岸边P点处有一根柱子,再在他们所在的这一侧岸上选点A和点B,使得B,A,P在同一条直线上,且与河岸垂直,随后确定点C,点D,使AC⊥BP,BD⊥BP,由观测可以确定AC与DP的交点C.他们测得AB=20 m,AC=40 m,BD=50 m,从而确定河宽PA为 m.
9[学科融合]如图1,在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内;反射光线和入射光线分别位于法线两侧;反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.
【同题解决】如图2.小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验,地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜,手电筒的灯泡在点G处,手电筒的光从平面镜上点B处反射后,恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处,点E到地面的高度DE=3.5 m,点F到地面的高度CF=1.5 m,灯泡到木板的水平距离AC=5.4 m,木板到墙的水平距离CD=4 m.图中点A,B,C,D在同一条直线上.
(1)求BC的长;
(2)求灯泡到地面的高度AG.27.2.3 相似三角形应用举例
第1课时 测量高度
知识点 利用影长、标杆、平面镜测高度
1如图,为测量楼高AB,在适当位置竖立一根高2 m的标杆MN,并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长AC=20 m,MP=2.5 m,则楼高AB为(B)
A.15 m B.16 m C.18 m D.20 m
2《孙子算经》是中国古代经典的数学著作,其中有道题目:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何 其大意是,有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为 四丈五尺 .
3[跨学科·物理]据《墨经》记载,在两千多年前,我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验,阐释了光的直线传播原理,如图(1)所示.如图(2)所示的小孔成像实验中可简化为数学问题:AC与BD交于点O,AB∥CD.若点O到AB的距离为10 cm,点O到CD的距离为15 cm,蜡烛火焰倒立的像的高度CD是6 cm,则蜡烛火焰的高度AB是 4 cm.
4(2024·宁波质检)在上完相似三角形一课后,小方设计了一个实验来测量学校教学楼的高度.如图,在距离教学楼MN为18米的点B处竖立一个长度为2.8米的直杆,小方调整自己的位置,使得他直立时眼睛所在位置点C,直杆顶点A和教学楼顶点M三点共线.测得人与直杆的距离DB为2米,人眼高度CD为1.6米,则教学楼的高度MN为 13.6 米.
5如图,强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度,先在操场上点A处放一面平面镜,从点A处后退1 m到点B处,恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像;再将平面镜向后移动3 m(即AC=4 m)放在C处,从点C处向后退1.5 m到点D处,恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像,测得强强的眼睛距地面的高度FB,GD都为1.5 m,已知点O,A,B,C,D在同一水平线上,且GD⊥OD,FB⊥OD,EO⊥OD.求大树OE的高度.(平面镜的大小忽略不计)
解:由已知得,AB=1 m,CD=1.5 m,AC=4 m,FB=GD=1.5 m,∠AOE=∠ABF=
∠CDG=90°,∠BAF=∠OAE,∠DCG=∠OCE,
∵∠BAF=∠OAE,∠ABF=∠AOE,
∴△BAF∽△OAE,∴FB∶AB=OE∶OA,
即1.5∶1=OE∶OA,∴OE=1.5OA,
∵∠DCG=∠OCE,∠CDG=∠COE,
∴△GDC∽△EOC,∴GD∶CD=OE∶OC,即1.5∶1.5=OE∶(OA+4), ∴OE=
OA+4,
∵OE=1.5OA,∴1.5OA=OA+4,
∴OA=8 m,OE=12 m,
答:大树OE的高度为12 m.
6(2024·南京质检)如图,在A,B两处竖立两根相同高度的路灯.某人从A处出发,沿直线AB走到B处,在整个行走过程中,他在A,B两盏灯下形成的两段影子长度之和(A)
A.一直不变 B.逐渐变长
C.逐渐变短 D.先变短后变长
7如图,放映幻灯片时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上,若光源到幻灯片的距离为20 cm,到屏幕的距离为60 cm,且幻灯片中的图形的高度为6 cm,则屏幕上图形的高度为(B)
A.20 cm B.18 cm C.15 cm D.16 cm
8如图,小明利用光沿直线传播的知识,在A时测得某树的影长为3 m,B时又测得该树的影长为2 m.若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为(B)
A.2 m B. m C.6 m D. m
9如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40 cm,EF=20 cm,测得边DF离地面的高度AC=150 cm,CD=800 cm,则树高AB等于(A)
A.550 cm B.400 cm
C.300 cm D.200 cm
10晚上,李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立时身高AM与其影长AE正好相等;接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,测得AB=1.2 m.已知李明直立时的身高为1.6 m,求路灯CD的高度.
解:设路灯CD的高度为xm,
∵AM⊥EC,CD⊥EC,EA=MA,∴MA∥CD∥BN,且△AME为等腰直角三角形,
∴∠E=45°,∴△ECD为等腰直角三角形,∴EC=CD=xm,AC=EC-AE=EC-AM
=m,
∵BN∥CD,∴∠ANB=∠ADC,∠ABN=∠ACD=90°,∴△ABN∽△ACD,∴=,∴=,解得x=6.4,
∴路灯CD的高度为6.4m.
11如图,要测量某建筑物的高度AH,立两根高为2 m的标杆BC和DE,两标杆相距BD=38 m,D,B,H三点共线,从BC退行3 m,到达点F,从点F看点A,A,C,F三点共线,从DE退行5 m到达点G,从点G看点A,A,E,G三点也共线,试算出建筑物的高度AH及HB的长度.
解:设BH=x m,AH=y m,根据题意可得:
BC∥AH,DE∥AH,
则△FCB∽△FAH,△EDG∽△AHG,故=,=,
即=,=,
则=,
解得:x=57,故=,解得:y=40,
∴AH=40 m,HB=57 m.
答:建筑物的高度AH为40 m,HB的长度为57 m.27.2.3 相似三角形应用举例
第1课时 测量高度
知识点 利用影长、标杆、平面镜测高度
1如图,为测量楼高AB,在适当位置竖立一根高2 m的标杆MN,并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长AC=20 m,MP=2.5 m,则楼高AB为( )
A.15 m B.16 m C.18 m D.20 m
2《孙子算经》是中国古代经典的数学著作,其中有道题目:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何 其大意是,有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为 .
3[跨学科·物理]据《墨经》记载,在两千多年前,我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验,阐释了光的直线传播原理,如图(1)所示.如图(2)所示的小孔成像实验中可简化为数学问题:AC与BD交于点O,AB∥CD.若点O到AB的距离为10 cm,点O到CD的距离为15 cm,蜡烛火焰倒立的像的高度CD是6 cm,则蜡烛火焰的高度AB是 cm.
4(2024·宁波质检)在上完相似三角形一课后,小方设计了一个实验来测量学校教学楼的高度.如图,在距离教学楼MN为18米的点B处竖立一个长度为2.8米的直杆,小方调整自己的位置,使得他直立时眼睛所在位置点C,直杆顶点A和教学楼顶点M三点共线.测得人与直杆的距离DB为2米,人眼高度CD为1.6米,则教学楼的高度MN为 米.
5如图,强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度,先在操场上点A处放一面平面镜,从点A处后退1 m到点B处,恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像;再将平面镜向后移动3 m(即AC=4 m)放在C处,从点C处向后退1.5 m到点D处,恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像,测得强强的眼睛距地面的高度FB,GD都为1.5 m,已知点O,A,B,C,D在同一水平线上,且GD⊥OD,FB⊥OD,EO⊥OD.求大树OE的高度.(平面镜的大小忽略不计)
6(2024·南京质检)如图,在A,B两处竖立两根相同高度的路灯.某人从A处出发,沿直线AB走到B处,在整个行走过程中,他在A,B两盏灯下形成的两段影子长度之和( )
A.一直不变 B.逐渐变长
C.逐渐变短 D.先变短后变长
7如图,放映幻灯片时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上,若光源到幻灯片的距离为20 cm,到屏幕的距离为60 cm,且幻灯片中的图形的高度为6 cm,则屏幕上图形的高度为( )
A.20 cm B.18 cm C.15 cm D.16 cm
8如图,小明利用光沿直线传播的知识,在A时测得某树的影长为3 m,B时又测得该树的影长为2 m.若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为( )
A.2 m B. m C.6 m D. m
9如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40 cm,EF=20 cm,测得边DF离地面的高度AC=150 cm,CD=800 cm,则树高AB等于( )
A.550 cm B.400 cm
C.300 cm D.200 cm
10晚上,李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立时身高AM与其影长AE正好相等;接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,测得AB=1.2 m.已知李明直立时的身高为1.6 m,求路灯CD的高度.
11如图,要测量某建筑物的高度AH,立两根高为2 m的标杆BC和DE,两标杆相距BD=38 m,D,B,H三点共线,从BC退行3 m,到达点F,从点F看点A,A,C,F三点共线,从DE退行5 m到达点G,从点G看点A,A,E,G三点也共线,试算出建筑物的高度AH及HB的长度.第2课时 测量距离、宽度
知识点 测量距离、宽度
1如图,某零件的外径为10 cm,用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC=OB∶OD=3,且量得CD=3 cm,则零件的厚度x为(B)
A.0.3 cm B.0.5 cm C.0.7 cm D.1 cm
2如图,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12 m,由此他就知道了A,B间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是(D)
A.AB=24 m B.MN∥AB
C.△CMN∽△CAB D.CM∶MA=1∶2
3如图1所示的是用杠杆撬石头的示意图,当用力压杠杆时,杠杆绕着支点转动,另一端会向上翘起,石头就被撬动了.在图2中,杠杆的D端被向上撬起BD=9 cm,动力臂OA与阻力臂OB满足AO=3OB(AB与CD相交于点O),要把这块石头撬至B点,至少要将杠杆的C点向下压(D)
A.3 cm B.9 cm C.15 cm D.27 cm
4 新课标·中华优秀传统文化 土圭之法是在平台中央竖立一根八尺长的杆子,观察杆子的日影长度.古代的人们发现,夏至日影最短,冬至日影最长,这样通过日影的长度得到夏至和冬至,确定了四季.如图,利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长,发现第一时刻光线与杆的夹角∠BAC和第二时刻光线与地面的夹角∠ADB相等,测得第一时刻的影长为1.6尺,则第二时刻的影长为 40 尺.
5已知不等臂跷跷板AB长为3米,当AB的一端点A碰到地面时,(如图1)点B离地高1.5米;当AB的另一端点B碰到地面时,(如图2)点A离地高1米,求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米.
解:如图所示,过点B作BN⊥AH于点N,
过点A作AM⊥BH于点M,可得HO∥BN,则△AOH∽△ABN,故=,∵AB长为3米,BN长为1.5米,∴=,∴2OH=OA,同理可得:△BOH∽△BAM,则=,∵AB长为3米,AM长为1米,∴=,即=,∴OH=0.6(米).
答:跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为0.6米.
6《九章算术》中,有一数学史上有名的测量问题:“今有邑,东西七里,南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木 ”今译如下:如图,在矩形ABCD中,东边城墙AB长9里,南边城墙AD长7里,东门点E,南门点F分别位于AB,AD的中点,EG⊥AB,FH⊥AD,EG=15里,HG经过A点,则FH的长为(B)
A.0.95里 B.1.05里
C.2.05里 D.2.15里
7一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米,木工要以一根长为60厘米的木条为一边,做一个与模型三角形相似的三角形,那么另两条边的木条长度不符合条件的是(C)
A.30厘米、45厘米
B.40厘米、80厘米
C.80厘米、120厘米
D.90厘米、120厘米
8如图,为了确定一条河的宽度,测量人员观察到在对岸岸边P点处有一根柱子,再在他们所在的这一侧岸上选点A和点B,使得B,A,P在同一条直线上,且与河岸垂直,随后确定点C,点D,使AC⊥BP,BD⊥BP,由观测可以确定AC与DP的交点C.他们测得AB=20 m,AC=40 m,BD=50 m,从而确定河宽PA为 80 m.
9[学科融合]如图1,在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内;反射光线和入射光线分别位于法线两侧;反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.
【同题解决】如图2.小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验,地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜,手电筒的灯泡在点G处,手电筒的光从平面镜上点B处反射后,恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处,点E到地面的高度DE=3.5 m,点F到地面的高度CF=1.5 m,灯泡到木板的水平距离AC=5.4 m,木板到墙的水平距离CD=4 m.图中点A,B,C,D在同一条直线上.
(1)求BC的长;
(2)求灯泡到地面的高度AG.
解:(1)由题意可得FC∥DE,
则△BFC∽△BED,∴=,
即=,解得BC=3,
答:BC的长为3 m;
(2)∵AC=5.4 m,
∴AB=5.4-3=2.4(m),
∵光在镜面反射中的反射角等于入射角,
∴∠FBC=∠GBA,
又∵∠FCB=∠GAB,
∴△BGA∽△BFC,∴=,
∴=,解得AG=1.2,
答:灯泡到地面的高度AG为1.2 m.
