第2课时 平面直角坐标系中的位似
知识点1 平面直角坐标系中的位似
1如图,若△ABC与△A1B1C1是位似图形,则位似中心的坐标是(C)
A.(-1,0) B.(1,0)
C.(0,-1) D.(0,1)
2如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的,得到△COD,则CD的长度是(B)
A.1 B.2 C.2 D.
3(2023·嘉兴、舟山中考)如图,在直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2),现以原点O为位似中心,在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A'B'C',则顶点C'的坐标是(C)
A.(2,4) B.(4,2) C.(6,4) D.(5,4)
4如图,矩形OEFG的两边OE和OG都在坐标轴上,以y轴上一点为位似中心作这个矩形的位似图形ABCD,且对应点C和F的坐标分别为(-4,4),(2,1).则位似中心的坐标是(A)
A.(0,2) B.(0,2.5)
C.(0,3) D.(0,4)
练易错 以原点为位似中心时,忽略对对应点的位置分类讨论而漏解.
5在平面直角坐标系中,已知点A(0,1),B(4,2),以原点O为位似中心,把△OAB按相似比1∶2缩小,则点B的对应点B'的坐标是(D)
A.(2,1) B.(-2,1)
C.(2,1)或(-2,1) D.(2,1)或(-2,-1)
知识点2 平面直角坐标系中的位似作图
6如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点均在网格格点上,且A(2,8),B(4,4),C(8,4).
(1)以原点O为位似中心,在第一象限画出△A1B1C1,使得△A1B1C1与△ABC位似,且相似比为1∶2;
(2)在(1)的条件下,写出△A1B1C1与△ABC的面积比.
解:(1)△A1B1C1如图所示.
(2)△A1B1C1与△ABC的面积比为1∶4.
7已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是_________;
(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且相似比为2∶1,点C2的坐标是_________;
(3)△A2B2C2的面积是_________平方单位.
解:(1)如图所示,C1(2,-2).
答案:(2,-2)
(2)如图所示,C2(1,0).
答案:(1,0)
(3)∵A2=20,B2=20, A2=40,
∴△A2B2C2是等腰直角三角形,
∴△A2B2C2的面积是×20=10平方单位.
答案:10
知识点3 图形的变换
8视力表用来测量一个人的视力.如图是视力表的一部分,其中开口向下的两个“E”之间的变换是(D)
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似
9对于平面图形上的任意两点P,Q,如果经过某种变换得到新图形上的对应点P',Q',保持PQ=P'Q',我们把这种变换称为“等距变换”,下列变换中不一定是等距变换的是(D)
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似
10如图,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是.以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,记所得的图形是△A'B'C.设点B的对应点B'的横坐标是a,则点B的横坐标是(D)
A.a B.-
C. D.-
11△ABC顶点的坐标分别为A(1,-1),B(4,-1),C(3,-4),以坐标原点O为位似中心,画出放大的△A1B1C1,使得它与△ABC的相似比等于2∶1,则点C的对应点C1坐标为 (6,-8)或(-6,8) .
12在平面直角坐标系中,将一块直角三角板如图放置,直角顶点与原点O重合,顶点A,B恰好分别落在函数y=-,y=的图象上,则的值为 .
13如图,△AOC中三个顶点的坐标分别为(4,0),(0,0),(4,3),AP为△AOC中线,以O为位似中心,把△AOP每条边扩大到原来的2倍,得到△A'OP',则PP'的长为 或 .
14在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)以点C为位似中心,作出△ABC的位似图形△A1B1C,使其相似比为2∶1,并写出点A1的坐标;
(2)作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C;
(3)在(2)的条件下,求出线段CB所扫过的面积.
解:(1)如图,△A1B1C即为所作,点A1的坐标为;
(2)如图,△A2B2C为所作;
(3)CB==,
∴线段CB所扫过的面积:=π.
15[拓展培优]如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,-2).
(1)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出△OAB的一个位似图形△OA1B1,使它与△OAB的相似比为2∶1;
(2)画出将△OAB向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2;
(3)判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗 若是,请在图中标出位似中心点M,并写出点M的坐标.
解:(1)如图,△OA1B1即为所作图形;
(2)如图,△O2A2B2即为所作图形;
(3)△OA1B1和△O2A2B2是位似图形,如图,点M为所求位似中心,点M的坐标为(-4,2).27.3 位似
第1课时 位似图形的概念及性质
知识点1 位似图形的概念
1如图是与△ABC位似的三角形的几种画法,其中正确的有(D)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2[教材再开发·P51第1题变式]如图,在4×8的方格中,点A,B,C,D在格点上,线段CD是由线段AB位似放大得到,则它们的位似中心是(A)
A.点P1 B.点P2 C.点P3 D.点P4
练易错 因错误判断为位似图形而致错.
3 (2023·绍兴期末)两个大小不一的五边形ABCDE和五边形FBCHG如图所示放置,点F在线段AB上,点H在线段CD上,对应连接并延长AF,EG,DH刚好交于一点O,则这两个五边形的关系是(C)
A.一定相似 B.一定不相似
C.不一定相似 D.不能确定
知识点2 位似图形的性质
4(2024·绥化中考)如图,矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2),以原点O为位似中心,将这个矩形按相似比缩小,则顶点B在第一象限对应点的坐标是(D)
A.(9,4) B.(4,9)
C. (1,) D. (1,)
5如图△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形,若C1为OC的中点,△A1B1C1面积是5,则△ABC的面积为(B)
A.10 B.20 C.25 D.50
6如图,在6×8的网格中,每个小正方形的边长均为1,点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.
(1)在图中△ABC的内部作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC位似,且位似中心为点O,相似比为1∶2;
(2)连接(1)中的AA',则线段AA'的长度是_______.
解:(1)如图所示,△A'B'C'即为所求;
(2)如图所示,连接OA,由位似图形的性质可知O,A,A'三点共线,
由勾股定理得OA==2,
∵△A'B'C'和△ABC位似,且位似中心为点O,相似比为1∶2,
∴OA'∶OA=1∶2,
∴OA'=,
∴AA'=OA-OA'=.
答案:
7如图,已知△ABC,任取一点O,连AO,BO,CO,分别取点D,E,F,使OD=AO,OE=BO,OF=CO,得△DEF.下列说法中,错误的是(D)
A.△DEF与△ABC是位似三角形
B.△OAC与△ODF是位似三角形
C.△DEF与△ABC周长的比是1∶3
D.图中位似的两个三角形面积比是1∶9
8如图,已知△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC的面积等于△DEF面积的,则AO∶AD的值为(B)
A.2∶3 B.2∶5 C.4∶9 D.4∶13
9如图,已知 ABCD,以B为位似中心,作 ABCD的位似图形 EBFG,位似图形与原图形的相似比为,连接CG,DG.若 ABCD的面积为30,则△CDG的面积为(C)
A.3 B.4 C.5 D.6
10(2024·长春质检)如图,点A在反比例函数y=的图象上,过点A作AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,以点O为位似中心把四边形OBAC放大得到四边形OB'A'C',且相似比为2∶3,则经过点A'的反比例函数解析式为(C)
A.y= B.y=-
C.y= D.y=-
11图①,图②,图③都是6×6的网格,每个小正方形的顶点称为格点.△ABC的顶点A,B,C均在格点上.在图①,图②,图③给定的网格中按要求作图,并保留作图痕迹.
(1)在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD;
(2)在图②中△ABC的AB边上确定一点E,使AE=2BE;
(3)在图③中画出△BMN,使得△BMN与△BAC是位似图形,且点B为位似中心,点M,N分别在AB,BC边上,相似比为.
解:(1)如图①所示,AD即为所求;
(2)如图②所示,点E即为所求;
(3)如图③所示,△BMN即为所求.27.3 位似
第1课时 位似图形的概念及性质
知识点1 位似图形的概念
1如图是与△ABC位似的三角形的几种画法,其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2[教材再开发·P51第1题变式]如图,在4×8的方格中,点A,B,C,D在格点上,线段CD是由线段AB位似放大得到,则它们的位似中心是( )
A.点P1 B.点P2 C.点P3 D.点P4
练易错 因错误判断为位似图形而致错.
3 (2023·绍兴期末)两个大小不一的五边形ABCDE和五边形FBCHG如图所示放置,点F在线段AB上,点H在线段CD上,对应连接并延长AF,EG,DH刚好交于一点O,则这两个五边形的关系是( )
A.一定相似 B.一定不相似
C.不一定相似 D.不能确定
知识点2 位似图形的性质
4(2024·绥化中考)如图,矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2),以原点O为位似中心,将这个矩形按相似比缩小,则顶点B在第一象限对应点的坐标是( )
A.(9,4) B.(4,9)
C. (1,) D. (1,)
5如图△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形,若C1为OC的中点,△A1B1C1面积是5,则△ABC的面积为( )
A.10 B.20 C.25 D.50
6如图,在6×8的网格中,每个小正方形的边长均为1,点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.
(1)在图中△ABC的内部作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC位似,且位似中心为点O,相似比为1∶2;
(2)连接(1)中的AA',则线段AA'的长度是_______.
7如图,已知△ABC,任取一点O,连AO,BO,CO,分别取点D,E,F,使OD=AO,OE=BO,OF=CO,得△DEF.下列说法中,错误的是( )
A.△DEF与△ABC是位似三角形
B.△OAC与△ODF是位似三角形
C.△DEF与△ABC周长的比是1∶3
D.图中位似的两个三角形面积比是1∶9
8如图,已知△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC的面积等于△DEF面积的,则AO∶AD的值为( )
A.2∶3 B.2∶5 C.4∶9 D.4∶13
9如图,已知 ABCD,以B为位似中心,作 ABCD的位似图形 EBFG,位似图形与原图形的相似比为,连接CG,DG.若 ABCD的面积为30,则△CDG的面积为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
10(2024·长春质检)如图,点A在反比例函数y=的图象上,过点A作AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,以点O为位似中心把四边形OBAC放大得到四边形OB'A'C',且相似比为2∶3,则经过点A'的反比例函数解析式为( )
A.y= B.y=-
C.y= D.y=-
11图①,图②,图③都是6×6的网格,每个小正方形的顶点称为格点.△ABC的顶点A,B,C均在格点上.在图①,图②,图③给定的网格中按要求作图,并保留作图痕迹.
(1)在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD;
(2)在图②中△ABC的AB边上确定一点E,使AE=2BE;
(3)在图③中画出△BMN,使得△BMN与△BAC是位似图形,且点B为位似中心,点M,N分别在AB,BC边上,相似比为.第2课时 平面直角坐标系中的位似
知识点1 平面直角坐标系中的位似
1如图,若△ABC与△A1B1C1是位似图形,则位似中心的坐标是( )
A.(-1,0) B.(1,0)
C.(0,-1) D.(0,1)
2如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的,得到△COD,则CD的长度是( )
A.1 B.2 C.2 D.
3(2023·嘉兴、舟山中考)如图,在直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2),现以原点O为位似中心,在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A'B'C',则顶点C'的坐标是( )
A.(2,4) B.(4,2) C.(6,4) D.(5,4)
4如图,矩形OEFG的两边OE和OG都在坐标轴上,以y轴上一点为位似中心作这个矩形的位似图形ABCD,且对应点C和F的坐标分别为(-4,4),(2,1).则位似中心的坐标是( )
A.(0,2) B.(0,2.5)
C.(0,3) D.(0,4)
练易错 以原点为位似中心时,忽略对对应点的位置分类讨论而漏解.
5在平面直角坐标系中,已知点A(0,1),B(4,2),以原点O为位似中心,把△OAB按相似比1∶2缩小,则点B的对应点B'的坐标是( )
A.(2,1) B.(-2,1)
C.(2,1)或(-2,1) D.(2,1)或(-2,-1)
知识点2 平面直角坐标系中的位似作图
6如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点均在网格格点上,且A(2,8),B(4,4),C(8,4).
(1)以原点O为位似中心,在第一象限画出△A1B1C1,使得△A1B1C1与△ABC位似,且相似比为1∶2;
(2)在(1)的条件下,写出△A1B1C1与△ABC的面积比.
7已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是_________;
(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且相似比为2∶1,点C2的坐标是_________;
(3)△A2B2C2的面积是_________平方单位.
知识点3 图形的变换
8视力表用来测量一个人的视力.如图是视力表的一部分,其中开口向下的两个“E”之间的变换是( )
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似
9对于平面图形上的任意两点P,Q,如果经过某种变换得到新图形上的对应点P',Q',保持PQ=P'Q',我们把这种变换称为“等距变换”,下列变换中不一定是等距变换的是( )
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似
10如图,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是.以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,记所得的图形是△A'B'C.设点B的对应点B'的横坐标是a,则点B的横坐标是( )
A.a B.-
C. D.-
11△ABC顶点的坐标分别为A(1,-1),B(4,-1),C(3,-4),以坐标原点O为位似中心,画出放大的△A1B1C1,使得它与△ABC的相似比等于2∶1,则点C的对应点C1坐标为 .
12在平面直角坐标系中,将一块直角三角板如图放置,直角顶点与原点O重合,顶点A,B恰好分别落在函数y=-,y=的图象上,则的值为 .
13如图,△AOC中三个顶点的坐标分别为(4,0),(0,0),(4,3),AP为△AOC中线,以O为位似中心,把△AOP每条边扩大到原来的2倍,得到△A'OP',则PP'的长为 .
14在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)以点C为位似中心,作出△ABC的位似图形△A1B1C,使其相似比为2∶1,并写出点A1的坐标;
(2)作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C;
(3)在(2)的条件下,求出线段CB所扫过的面积.
15[拓展培优]如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,-2).
(1)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出△OAB的一个位似图形△OA1B1,使它与△OAB的相似比为2∶1;
(2)画出将△OAB向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2;
(3)判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗 若是,请在图中标出位似中心点M,并写出点M的坐标.
