第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时 正弦
知识点1 正弦的概念
1在Rt△ABC中,∠C=90°,那么锐角A的正弦等于( )
A. B.
C. D.
2在△ABC中,AC≠BC,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,则下列比值中不等于sin A的是( )
A. B. C. D.
知识点2 计算角的正弦值
3[教材再开发·P64第1题变式]如图,在△ABC中,∠A=90°,若AB=8,AC=6,则sin C的值为( )
A. B. C. D.
4在Rt△ABC中,∠C=90°,AC∶BC=1∶2,则∠A的正弦值为( )
A. B. C.2 D.
5如图的网格中每个小正方形的边长均相等(边长为1),点A,B,C都在格点上,则sin∠ABC的值为( )
A. B. C. D.
6在△ABC中,已知D为AB中点,∠ACB=135°,AC⊥CD,求sin A的值.
知识点3 根据正弦值求边长
7在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,sin A=,则AB的值为( )
A.8 B.9 C.10 D.7.5
8如图,△ABC底边BC上的高为h1,△PQR底边QR上的高为h2,则有( )
A.h1=h2 B.h1C.h1>h2 D.以上都有可能
练易错 忽略求锐角的正弦值在直角三角形中这一前提
9如图,☉O是正方形ABCD的内切圆,切点分别为E,F,G,H,ED与☉O相交于点M,则sin∠MFG的值为 .
10把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A'B'C',对应锐角A,A'的正弦值的关系为( )
A.sin A=3sin A' B.sin A=sin A'
C.3sin A=sin A' D.不能确定
11如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,若BD=2,sin C=,则线段 AB 的长为( )
A.10 B.4 C.4 D.2
12在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,AB=13,则△ABC的面积为 .
13(2024·扬州中考)如图,已知两条平行线l1,l2,点A是l1上的定点,AB⊥l2于点B,点C,D分别是l1,l2上的动点,且满足AC=BD,连接CD交线段AB于点E,BH⊥CD于点H,则当∠BAH最大时,sin∠BAH的值为 .
14 新中考·阅读理解 阅读下列材料:在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,求证:=.
证明:如图1,过点C作CD⊥AB于点D,则:
在Rt△BCD中,CD=asin B,
在Rt△ACD中,CD=bsin A,
∴asin B=bsin A,∴=,
根据上面的材料解决下列问题:
(1)如图2,在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,求证:=;
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会,张家界市积极优化旅游环境.如图3,规划中的一片三角形区域需美化,已知∠A=67°,∠B=53°,AC=80 m,求这片区域的面积.(结果保留根号.参考数据:sin 53°≈0.8,sin 67°≈0.9)第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时 正弦
知识点1 正弦的概念
1在Rt△ABC中,∠C=90°,那么锐角A的正弦等于(B)
A. B.
C. D.
2在△ABC中,AC≠BC,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,则下列比值中不等于sin A的是(D)
A. B. C. D.
知识点2 计算角的正弦值
3[教材再开发·P64第1题变式]如图,在△ABC中,∠A=90°,若AB=8,AC=6,则sin C的值为(D)
A. B. C. D.
4在Rt△ABC中,∠C=90°,AC∶BC=1∶2,则∠A的正弦值为(B)
A. B. C.2 D.
5如图的网格中每个小正方形的边长均相等(边长为1),点A,B,C都在格点上,则sin∠ABC的值为(C)
A. B. C. D.
6在△ABC中,已知D为AB中点,∠ACB=135°,AC⊥CD,求sin A的值.
解:过点D作DE⊥CD,交BC边于点E.
∵∠ACB=135°,AC⊥CD,
∴∠DCE=∠DEC=45°,DC=DE,
∵DE⊥CD,AC⊥CD ,
∴AC∥DE,
∴△BED∽△BCA,∴=.
∵D为AB中点,∴==.
设ED=x,则CD=x,AC=2x.
在Rt△ACD中,AD==x,
∴sin A===.
知识点3 根据正弦值求边长
7在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,sin A=,则AB的值为(C)
A.8 B.9 C.10 D.7.5
8如图,△ABC底边BC上的高为h1,△PQR底边QR上的高为h2,则有(A)
A.h1=h2 B.h1C.h1>h2 D.以上都有可能
练易错 忽略求锐角的正弦值在直角三角形中这一前提
9如图,☉O是正方形ABCD的内切圆,切点分别为E,F,G,H,ED与☉O相交于点M,则sin∠MFG的值为 .
10把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A'B'C',对应锐角A,A'的正弦值的关系为(B)
A.sin A=3sin A' B.sin A=sin A'
C.3sin A=sin A' D.不能确定
11如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,若BD=2,sin C=,则线段 AB 的长为(D)
A.10 B.4 C.4 D.2
12在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,AB=13,则△ABC的面积为 30 .
13(2024·扬州中考)如图,已知两条平行线l1,l2,点A是l1上的定点,AB⊥l2于点B,点C,D分别是l1,l2上的动点,且满足AC=BD,连接CD交线段AB于点E,BH⊥CD于点H,则当∠BAH最大时,sin∠BAH的值为 .
14 新中考·阅读理解 阅读下列材料:在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,求证:=.
证明:如图1,过点C作CD⊥AB于点D,则:
在Rt△BCD中,CD=asin B,
在Rt△ACD中,CD=bsin A,
∴asin B=bsin A,∴=,
根据上面的材料解决下列问题:
(1)如图2,在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,求证:=;
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会,张家界市积极优化旅游环境.如图3,规划中的一片三角形区域需美化,已知∠A=67°,∠B=53°,AC=80 m,求这片区域的面积.(结果保留根号.参考数据:sin 53°≈0.8,sin 67°≈0.9)
解:(1)如图2,过点A作AD⊥BC于点D,
在Rt△ABD中,AD=csin B,
在Rt△ACD中,AD=bsin C,
∴csin B=bsin C,∴=;
(2)如图3,过点A作AE⊥BC于点E,
∵∠BAC=67°,∠B=53°,
∴∠C=60°,
在Rt△ACE中,AE=AC·sin 60°
=80×=40(m),
又∵=,
即=,∴BC=90 m,
∴S△ABC=×90×40=1 800(m2).
