28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
知识点1 已知两边解直角三角形
1如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则tan∠ABC=( )
A. B. C. D.
2如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边的中点,连接CD,若BC=4,CD=3,则cos∠DCB的值为 .
3在Rt△ABC中,∠C=90°,a=10,c=10,则∠A= ,∠B= ,b= .
4根据下列条件解直角三角形:
在Rt△ABC中,∠C=90°,c=8,a=12.
知识点2 已知一边、一角解直角三角形
5如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则BC的长度为( )
A.2 B.8 C.4 D.4
6在△ABC中,∠C=90°,sin A=,AC=4,则BC= .
7已知:如图,在△ABC中,∠C=45°,AB=,AC=2,AD是BC边上的高,则BC的长度是 .
8[教材再开发·P73例2变式]已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AB=6,解这个直角三角形.
9如图,在锐角三角形ABC中,AB=4,BC=3,∠B=60°,求△ABC的面积.
10如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=45°,∠DCB=30°,AB长8 m,则CD的长为( )
A.6 m B.8 m
C.4 m D.8 m
11如图,在△ABC中,∠A=75°,∠ABC=60°,AB=4,BD平分∠ABC交AC于点D,过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E,则BC的长为( )
A.4 B.4
C.2+2 D.2+4
12如图,为安全起见,萌萌拟加长滑梯,将其倾斜角由45°降至30°.已知滑梯AB的长为3 m,点D,B,C在同一水平地面上,那么加长后的滑梯AD的长是( )
A.2 m B.2 m C.3 m D.3 m
13(2024·惠州质检)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°.
(1)尺规作图:作线段BC的垂直平分线MN,交AC于点D,交BC于点F;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,∠C=30°,AB=3,求CD的长.
14综合与实践:在学习《解直角三角形》一章时,小邕同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣,并进行研究.
【初步尝试】我们知道:tan 60°=________,tan 30°=________.
发现:tan A________2tan( ) (填“=”或“≠”).
【实践探究】在解决“如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,求tan( )的值”这一问题时,小邕想构造包含A的直角三角形,延长CA到点D,使DA=AB,连接BD,所以可得∠D=∠BAC,问题即转化为求∠D的正切值,请按小邕的思路求tan( )的值.
【拓展延伸】如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,tan A=.请模仿小邕的思路或者用你的新思路,试着求一求tan2A的值.28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
知识点1 已知两边解直角三角形
1如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则tan∠ABC=(C)
A. B. C. D.
2如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边的中点,连接CD,若BC=4,CD=3,则cos∠DCB的值为 .
3在Rt△ABC中,∠C=90°,a=10,c=10,则∠A= 45° ,∠B= 45° ,b= 10 .
4根据下列条件解直角三角形:
在Rt△ABC中,∠C=90°,c=8,a=12.
解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∴b===4,∵sin A==,∴∠A=60°,∴∠B=90°-60°=30°.
知识点2 已知一边、一角解直角三角形
5如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则BC的长度为(A)
A.2 B.8 C.4 D.4
6在△ABC中,∠C=90°,sin A=,AC=4,则BC= 4 .
7已知:如图,在△ABC中,∠C=45°,AB=,AC=2,AD是BC边上的高,则BC的长度是 3 .
8[教材再开发·P73例2变式]已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AB=6,解这个直角三角形.
解:在Rt△ABC中,
∵∠C=90°,∠B=60°,AB=6,
∴∠A=90°-60°=30°,
∴BC=AB=3,
∴AC== =3.
9如图,在锐角三角形ABC中,AB=4,BC=3,∠B=60°,求△ABC的面积.
解:作AD⊥BC于点D,
在Rt△ABD中,sin B=,
∴AD=AB·sin B=4×=2,
∴△ABC的面积=×BC×AD=×3×2=9.
10如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=45°,∠DCB=30°,AB长8 m,则CD的长为(B)
A.6 m B.8 m
C.4 m D.8 m
11如图,在△ABC中,∠A=75°,∠ABC=60°,AB=4,BD平分∠ABC交AC于点D,过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E,则BC的长为(C)
A.4 B.4
C.2+2 D.2+4
12如图,为安全起见,萌萌拟加长滑梯,将其倾斜角由45°降至30°.已知滑梯AB的长为3 m,点D,B,C在同一水平地面上,那么加长后的滑梯AD的长是(C)
A.2 m B.2 m C.3 m D.3 m
13(2024·惠州质检)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°.
(1)尺规作图:作线段BC的垂直平分线MN,交AC于点D,交BC于点F;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,∠C=30°,AB=3,求CD的长.
解:(1)如图所示,直线MN是BC的垂直平分线;
(2)在Rt△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AB=3,∴BC=2AB=6,
∵DF是BC的垂直平分线,
∴CF=BC=×6=3,∠CFD=90°,
在Rt△CDF中,cos C=,
∴CD====2.
14综合与实践:在学习《解直角三角形》一章时,小邕同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣,并进行研究.
【初步尝试】我们知道:tan 60°=________,tan 30°=________.
发现:tan A________2tan(A) (填“=”或“≠”).
【实践探究】在解决“如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,求tan(A)的值”这一问题时,小邕想构造包含A的直角三角形,延长CA到点D,使DA=AB,连接BD,所以可得∠D=∠BAC,问题即转化为求∠D的正切值,请按小邕的思路求tan(A)的值.
【拓展延伸】如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,tan A=.请模仿小邕的思路或者用你的新思路,试着求一求tan2A的值.
解:【初步尝试】我们知道:tan 60°=,tan 30°=,
发现结论:tan A≠2tan(A).
答案: ≠
【实践探究】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,
∴AB===,
如图1,延长CA至D,使得DA=AB,
∴AD=AB=,∴∠D=∠ABD,
∴∠BAC=2∠D,CD=AC+AD=2+,
∴tan(A)=tan D==-2;
【拓展延伸】如图2,作AB的垂直平分线交AC于E,连接BE,
则∠BEC=2∠A,AE=BE,∠A=∠ABE,
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,tan A=.∴BC=1,AB==,
设AE=x,则EC=3-x,
在Rt△EBC中,x2=(3-x)2+1,解得x=,即AE=BE=,EC=,
∴tan 2A=tan∠BEC==.