28.2.2 应用举例
第1课时 视角问题
知识点1 解直角三角形的简单应用
1西周时期,丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器,称为圭表.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表,其中,立柱AC高为a.已知,冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°,则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为( )
A. B.asin 26.5°
C.acos 26.5° D.
2(2023·广东中考)2023年5月30日,神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功,3名航天员顺利进驻中国空间站.如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂AC=BC=10 m,两臂夹角∠ACB=100°时,求A,B两点间的距离.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 50°≈0.766,cos 50°≈0.643,tan 50°≈1.192)
知识点2 应用解直角三角形解决仰角、俯角问题
3(2024·深圳质检)图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别),图2为其示意图,摄像头A的仰角、俯角均为15°,高度OA为165 cm.人笔直站在离摄像头水平距离100 cm的点B处,若此人要能被摄像头识别,其身高不能超过( )
(参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27)
A.165 cm B.184 cm C.192 cm D.219 cm
4[教材再开发·P75例4补充]如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为100 m,那么该建筑物的高度BC约为 m.
5如图,某中学九年级(2)班的同学用自己制作的测倾器测量该校旗杆的高度,已知测倾器CD的高度为1.54米,测点D到旗杆的水平距离BD=20米,测得旗杆顶A的仰角α=35°,则旗杆AB的高度为 米(tan 35°≈0.700 2,sin 35°≈0.573 6,
cos 35°≈0.819 2,精确到0.01米).
6如图,已知点B,D,C在同一直线的水平地面上,在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α,在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β,若CD=a,则建筑物AB的高度为( )
A. B.
C. D.
7如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°,已知乙楼的高CD是50 m,则甲楼的高AB是
m.(结果保留根号)
8(2024·武汉中考)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点,享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中,某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度.具体过程如下:如图,将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处,测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°,底端B的俯角为63°,则测得黄鹤楼的高度是 m.(参考数据:
tan 63°≈2)
9某“综合与实践”小组开展了测量本校对面山上一座古塔高度的实践活动,他们制订了方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该山脚的一块平地上,选择两个不同测点,分别测量山顶和塔顶的仰角,以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了三次并取它们的平均值为测量结果,测量数据如下表(不完整).
课题 测量山上塔的高度
测量 工具 测量角度的仪器,皮尺等
测量 示意 图 说明:线段CD表示山高,CB表示塔的高,测量角度的仪器的高度AA1=EE1=1.5 m,端点B,C,D,A,E在同一竖直平面内,点D,C,B共线,点D,A,E共线.
测量 数据 测量项目 第一次 第二次 第三次 平均值
∠BAD的 度数 63.6° 63.3° 63.3° 63.4°
∠CED的 度数 29.9° 29.8° 30.3° 30°
∠BED的 度数 44.9° 45.3° 44.8°
A,E之间 的距离 50.1 m 49.8 m 50.1 m
… …
任务一:三次测量∠BED的度数平均值是______;A,E之间的距离的平均值是______m.
任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出塔BC的高度.
(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 63.4°≈0.89,cos 63.4°≈0.45,tan 63.4°≈2.00,
≈1.73,≈1.41)28.2.2 应用举例
第1课时 视角问题
知识点1 解直角三角形的简单应用
1西周时期,丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器,称为圭表.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表,其中,立柱AC高为a.已知,冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°,则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为(A)
A. B.asin 26.5°
C.acos 26.5° D.
2(2023·广东中考)2023年5月30日,神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功,3名航天员顺利进驻中国空间站.如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂AC=BC=10 m,两臂夹角∠ACB=100°时,求A,B两点间的距离.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 50°≈0.766,cos 50°≈0.643,tan 50°≈1.192)
解:连接AB,取AB中点D,连接CD,如图,
∵AC=BC,点D为AB中点,
∴中线CD为等腰三角形的角平分线(三线合一),AD=BD=AB,
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=50°,
在Rt△ACD中,sin∠ACD=,
∴sin 50°=,∴AD=10×sin 50°≈7.66(m),
∴AB=2AD=2×7.66=15.32≈15.3(m).
答:A,B两点间的距离大约是15.3 m.
知识点2 应用解直角三角形解决仰角、俯角问题
3(2024·深圳质检)图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别),图2为其示意图,摄像头A的仰角、俯角均为15°,高度OA为165 cm.人笔直站在离摄像头水平距离100 cm的点B处,若此人要能被摄像头识别,其身高不能超过(C)
(参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27)
A.165 cm B.184 cm C.192 cm D.219 cm
4[教材再开发·P75例4补充]如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为100 m,那么该建筑物的高度BC约为 (100+100) m.
5如图,某中学九年级(2)班的同学用自己制作的测倾器测量该校旗杆的高度,已知测倾器CD的高度为1.54米,测点D到旗杆的水平距离BD=20米,测得旗杆顶A的仰角α=35°,则旗杆AB的高度为 15.54 米(tan 35°≈0.700 2,sin 35°≈0.573 6,
cos 35°≈0.819 2,精确到0.01米).
6如图,已知点B,D,C在同一直线的水平地面上,在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α,在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β,若CD=a,则建筑物AB的高度为(D)
A. B.
C. D.
7如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°,已知乙楼的高CD是50 m,则甲楼的高AB是
50 m.(结果保留根号)
8(2024·武汉中考)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点,享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中,某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度.具体过程如下:如图,将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处,测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°,底端B的俯角为63°,则测得黄鹤楼的高度是 51 m.(参考数据:
tan 63°≈2)
9某“综合与实践”小组开展了测量本校对面山上一座古塔高度的实践活动,他们制订了方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该山脚的一块平地上,选择两个不同测点,分别测量山顶和塔顶的仰角,以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了三次并取它们的平均值为测量结果,测量数据如下表(不完整).
课题 测量山上塔的高度
测量 工具 测量角度的仪器,皮尺等
测量 示意 图 说明:线段CD表示山高,CB表示塔的高,测量角度的仪器的高度AA1=EE1=1.5 m,端点B,C,D,A,E在同一竖直平面内,点D,C,B共线,点D,A,E共线.
测量 数据 测量项目 第一次 第二次 第三次 平均值
∠BAD的 度数 63.6° 63.3° 63.3° 63.4°
∠CED的 度数 29.9° 29.8° 30.3° 30°
∠BED的 度数 44.9° 45.3° 44.8°
A,E之间 的距离 50.1 m 49.8 m 50.1 m
… …
任务一:三次测量∠BED的度数平均值是______;A,E之间的距离的平均值是______m.
任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出塔BC的高度.
(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 63.4°≈0.89,cos 63.4°≈0.45,tan 63.4°≈2.00,
≈1.73,≈1.41)
解:任务一:∠BED的度数平均值=×(44.9°+45.3°+44.8°)=45°,A,E之间的距离的平均值=×(50.1+49.8+50.1)=50(m).
答案:45° 50
任务二:∵在Rt△BED中,∠BED=45°,
∴BC+CD=EA+AD,
∴BD=50+AD①.
∵在Rt△BAD中,∠BAD=63.4°,
∴tan 63.4°=,BD=2AD②,
由①与②得50+AD=2AD,AD=50 m,
∴ED=BD=100 m,
∵在Rt△ECD中,∠CED=30°,
∴tan ∠CED=tan 30°==,
∴CD=DE=.
BC=BD-CD=100-≈42.3(m).
∴BC≈42.3(m).
答:塔BC的高度约为42.3 m.
