湖北省武汉市华中科技大学附属中学2024-2025学年高三上学期1月调考数学预测试卷（含答案）

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2024~2025学年度高三元月调考预测试卷
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
2.复数的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
3.在三角形中，，，，则（ ）
A．10 B．12 C． D．
4.已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.已知数列满足：，且数列为等差数列，则（ ）
A．10 B．40 C．100 D．103
6. 中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（ ）
A． B． C． D．6
7. 已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8.已知的内角A，，对边分别为，，，满足，若，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
9. 如图，已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，，则（ ）
A．无论取何值，三棱锥的体积始终为
B．若，则
C．点到平面的距离为
D．若异面直线与所成的角的余弦值为．则
10.已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（ ）
A．圆上恰有一个点到的距离为 B．直线恒过点
C．的最小值是 D．四边形面积的最小值为
11.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．时，取得最大值 D．时，取得最小值
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某小组5位同学各拋掷一枚正方体骰子，将正面向上的点数按从小到大的顺序记录下来，得到一组统计数据．已知这组数据的平均数为整数，最大值为6，中位数为3，方差为1.6，则这组数据的众数为 ．
13. 已知函数满足恒成立，且在区间上无最小值，则 ．
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过原点的直线与交于两点．若，且的面积为2，则的焦距为 ．
四．解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13分）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中.
(1)求A；
(2)已知直线为的平分线，且与BC交于点M，若求的周长.
16. （15分）一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为.
(1)已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在处的概率；
(2)记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为，求的分布列与期望.
17. （15分）已知首项为1的等差数列满足：成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前项和.
18.（17分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
19. （17分）若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”.
(1)证明：椭圆为“质朴椭圆”.
(2)是否存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
(3)设斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与交于，两点，，试问是否为“质朴椭圆”，说明你的理由.
2024~2025学年度高三元月调考预测试卷（答案）
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A
2.B
3.A
4.B
5.D
6.A
7.D
8.C
二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
9.AB
10.BCD
11.AB
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 3.
13./
14.
四．解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.
【解】（1）根据题意可得，
由正弦定理得，
又，
故，
又，所以，则，
因为，所以.
（2）因为，
所以，
又平分，所以，
所以，
则，即
由余弦定理得，即，
所以，解得（负值舍去），
故的周长为.
16.
【解】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件，记2秒后这只蚂蚁在处的概率为事件，
则
故所求的概率为.
（2）由题意知可能的取值为，
则，
则的分布列为
0 2 4
17. 已
【解】（1）设公差为d，又成等比数列，
所以，
又，即，解得或，
而时，不满足成等比数列，所以，
所以.
（2）令，
所以，
两式相减有：，
所以数列的前项和为，即，
又，所以，
所以.
18.已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
18.
【解】（1）函数的定义域为
，
记，则，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
所以，
所以函数在上单调递增；
（2）原不等式为，即，
即证在上恒成立，
设，则，
所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
令，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，所以，
且在上有，所以可得到，即，
所以在时，有成立.
19.
【解】（1）由已知椭圆，
即，，
则，
所以焦距，离心率，即，
所以该椭圆的焦距为质数，离心率的倒数也为质数，
即椭圆为“质朴椭圆”；
（2）椭圆的焦距为，离心率，
若存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”，
则，均为质数，
又，所以，，，，，
即，，，，，
则，，，，，这些数都不是质数，
所以不存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”；
（3）设的右焦点为，
则直线方程为，
设直线与椭圆的交点为，，
联立，
得，，
则，，
，
解得，
则的焦距为为质数，
离心率，其倒数为质数，
所以为“质朴椭圆”.
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