2025年高考数学三轮冲刺-“8+3+3”小题速练(10) （含解析）

2025高考数学三轮冲刺-“8+3+3”小题速练(10)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）．
A 5，7 B. 6，7 C. 8，5 D. 8，7
2．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
3．记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A. 20 B. 16 C. 14 D. 12
4．如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为，每个四棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
5．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6．如图，在边长为2的菱形中，，点E，F分别在边，上，且，若，则（ ）
A. B. C. 1 D.
7．如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，若，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8．方程所有正根的和为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减
10．已知复数满足，则（ ）
A. 的实部为
B. 的虚部为
C. 满足：的复数对应的点所在区域的面积为
D. 对应的向量与轴正方向所在向量夹角的正切值为
11．在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ）
A. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为
B. 已知点，圆上的动点，则的最小值为
C. 过点作圆的一条切线，切点为可以为
D. 过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．的展开式中的系数为__________．（用数字作答）
13.如图，圆锥底面半径为，母线PA＝2，点B为PA的中点，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，其最短路线长度为________，其中下坡路段长为________．
设严格递增的整数数列，，…，满足，.设为，，…，这19个数中被3整除的项的个数，则的最大值为________，使得取到最大值的数列的个数为________
参考答案与详细解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，
因此，这组数据的众数为8，中位数为7．
故选：D．
2．【答案】A
【解析】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，
则圆的方程为，又点在圆上，
所以，解得，
所以所求圆的方程为．
故选：A
3．【答案】D
【解析】∵是等差数列，
∴，，所以，
∴公差，
∴，
∴，
故选：D．
4．【答案】C
【解析】设每个直三棱柱高为，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为，
设正四棱台的高为，因为每个直三棱柱的体积为，每个四棱锥的体积为，
则，可得，可得，
所以，该正四棱台的体积为.
故选：C.
5．【答案】B
【解析】由题可知，，即，是以为顶角的等腰三角形，
则有：，，，
所以，又因为，即，，
可得：，解得，故离心率为．
故选：B．
6．【答案】C
【解析】设，可得，
有，，
故，
又由，有，解得，（舍），
故为边，的中点，所以为等边三角形，故．
故选：C．
7．【答案】A
【解析】若，则为中点，为等腰直角三角形，外接圆半径为，三棱锥外接球的球心到平面的距离为，则外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，A选项正确；
故选：A
8．【答案】C
【解析】，
令，则，即，
所以或，
当时，即，
所以，
因为，所以，
当时，即，
则，
因为是奇数，所以也是奇数，不成立；
所以方程所有正根的和为：,
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．【答案】ABD
【解析】函数，当，
此时，，
因为，所以，所以，故A正确；
，所以关于点对称，故B正确；
函数图象向左平移个单位长度后得到，
，当时，，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
，当时，，
所以函数在上单调递减，故D正确.
故选：ABD
10．【答案】AC
【解析】由，
则，
所以的实部为，虚部为，故A正确，B错误；
因为，
则，设，
则，即，
所以复数对应的点所在区域是以原点为圆心，1为半径的圆内的区域（包括圆），
则所在区域的面积为，故C正确；
如图，对应的向量为，
则向量与轴正方向所在向量夹角的正切值为，故D错误.
故选：AC.
11．【答案】ABD
【解析】选项A，由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为，
由，
如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交，有两个公共点，
另一条直线与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线的距离为，故A正确；
选项B，设点关于直线的对称点，
则，解得，即，
则，
即的最小值为，故B正确；
选项C，由切点为，则在中，，
当最小时，取最大值，最大，
过点作，垂足为，此时最小，最小值为，
即最大值为，最大为，不可能为，故C错误；
选项D，设点，切点，
可得切线方程为，由点在切线上，得，
同理可得，
故点都在直线上，
即直线的方程为，
又由点在直线上，则，
代入直线方程整理得，
由解得，即直线恒过定点，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．【答案】
【解析】的通项公式为，
令得，，此时，
令得，，此时，
故的系数为
故答案为：
13.【答案】 ①. ②.
【解析】如图，将圆锥侧面沿母线PA剪开并展开成扇形，
易知该扇形半径为2，弧长为，故圆心角∠APB＝，
最短路线即为扇形中的直线段AB，由余弦定理易知
AB＝＝，
cos∠PBA＝＝；
过P作AB的垂线，垂足为M，
当蚂蚁从A点爬行到M点的过程中，它与点P的距离越来越小，故AM为上坡路段，
当蚂蚁从M点爬行到B点的过程中，它与点P的距离越来越大，故MB为下坡路段，
下坡路段长MB＝PB cos∠PBA＝．
故答案为：，.
14.【答案】 ①. 18 ②. 25270
【解析】第一个空，设某个数除以余数为，则称该数模余(，均为整数，且)，
为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，这样它们之和才会被3整除.
而，均为模3余1，则不可能有19组上述组别，最多出现18组上述组别，
例如严格递增数列1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40，满足题意，
所以的最大值为18.
第二个空，因为1-40这40个数中，共有27个数符合模3余1或模3余2，则要从这27个数中选出满足要求的20个数.
第一步，在到这20个数中删去一个数（后面再加回来），使得剩下的19个数满足任意两个相邻数一个模3余1，一个模3余2，这样就形成了18组，即使得的最大值为18.
第二步，将这27个数从小到大排列，需要删去8个数得到目标19个数的数列.它们中任意相邻两数一个模3余1，一个模3余2，因此，需要删去的8个数应该为4组相邻的数.
第三步，利用捆绑思想，从27个数中删去4组相邻的数等价于从23个数中删去4个数.有三种情况：
①两端均删去，这种情况不满足要求.因为若两端均删去，那么1和40必定被删去，在下一步加出来时也最多加回1或40中的一个，而1和40必定在数列中，因此不满足.
②两端均不删去，从中间21个数中选4个数删去，有种，再从删去的8个数中拿一个加回原来的19个数中，由种，共有种.
③两端中有一个被删去，其余3个数从中间21个数里选，有种，此时加回来的数必定是删去的两端之一中的1或40，有1种选法，共种.
第四步，删去的四组相邻数中有一组中有一个数被加回来，即未被删去，被删去的是这一组中的另一个数，而对于删去的数，假设为，它旁边两个数分别为，即排列为，在第三步捆绑时，可能捆绑的组合为，然后删去，再补回；或者为，然后删去，再补回，这两种删去方式结果相同.
综上，共有种.
故答案为：18；25270