2024-2025学年甘肃省兰州市兰州五十一中高一（上）摸底数学试卷（含答案）

2024-2025学年甘肃省兰州五十一中高一（上）摸底数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.“函数在上有最大值”是“函数在上单调”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设函数的零点为，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升已知溶液中氢离子的浓度是摩尔升，则溶液的值约为参考数据：，( )
A. B. C. D.
7.已知函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若函数有零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中既是奇函数，又在上为增函数的是( )
A. B. C. D.
10.下列命题中正确的是( )
A. 化成弧度是
B. 终边在直线上的角的取值集合可表示为
C. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角
D. 若一扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为
11.已知函数，，则下列说法正确的是( )
A. 关于的不等式的解集为
B. 当时，函数的单调递增区间为
C. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是
D. 若，为方程的两根，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.的值为______．
13.若函数且的图象恒过点，则 ______，函数的值域为______．
14.若函数在上是严格减函数，且在上函数值不恒为负，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知正数满足，求下列各式的值：
求值：．
16.本小题分
若角的终边过点．
求的值．
试判断的符号．
17.本小题分
已知幂函数为偶函数．
求的解析式；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求实数的值；
设函数，求的零点；
当时，求函数的值域．
19.本小题分
若函数的定义域为集合，若在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数．
已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由；
已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值；
如果的图像关于原点对称，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：因为正数满足，所以；
，又，所以．
．
16.解：角的终边过点，
则，，，
当时，，，
当时，，；
当时，，
则，
，，
故，
同理可得，当时，，
综上所述，当时，的符号为负，
当时，的符号为正．
17.解：因为为幂函数，
所以，解得或，
当时，为偶函数，符合题意，
当时，为奇函数，不符合题意，
所以；
因为为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，
由得，且，，
解得或且，
所以实数的取值范围为，，．
18.解：根据题意知，代入函数得：，
所以，
经检验，当时函数为奇函数．
函数，
令，得：，，
综上所述，函数的零点为
函数，
设，函数，
结合二次函数性质，对称轴，
当时，，
当，，
综上所述，函数值域为．
19.解：是区间上的增长函数，理由如下：
因为，；
不是区间上的增长函数，理由如下：
反例：当时，．
由题意得，对于恒成立，
等价于，即对恒成立，
令，因为，所以是区间上单调递增的一次函数，
要保证对恒成立，则，
即，解得，
所以满足题意的最小正整数为．
根据题意，当时，，当时，，
因为的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示：
所以，
若是上的增长函数，则对任意的，都有，
因为是将向左平移四个单位得到，如下图所示，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
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