2023-2024学年江西省宜春市丰城九中高一（上）期末数学试卷（A卷）（含答案）

2023-2024学年江西省宜春市丰城九中高一（上）期末数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则的子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.若是第一象限角，则下列各角中第四象限的角是( )
A. B. C. D.
3.已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数为，则扇形的弧长为( )
A. B. C. D.
4.“函数在区间上单调递增”的充要条件是( )
A. B. C. D.
5.若幂函数的图像经过点，则函数的最小值为( )
A. B. C. D.
6.某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间小时满足函数关系式其中，为非零常数，若经过小时该药物的分解率为，经过小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过参考数据：
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
7.已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若，则零点的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为调研某地空气质量，测得该地连续天是衡量空气质量的重要指标，单位：的日均值，依次为，，，，，，，，，，则( )
A. 中位数为或 B. 第百分位数与众数相同
C. 前天的极差大于后天的极差 D. 前天的方差小于后天的方差
10.下列说法正确的是( )
A. 与的终边相同
B. 若为第二象限角，则为第一象限角
C. 终边经过点的角的集合是
D. 若一扇形的圆心角为，圆心角所对应的弦长为，则此扇形的面积为
11.已知命题：函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
12.已知实数，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算结果是______．
14.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为______．
15.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______．
16.已知函数，，则函数的值域为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数的定义域为．
求；
设集合，若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，为正实数，函数．
Ⅰ若，求的最小值；
Ⅱ若，求不等式的解集用表示．
19.本小题分
从某学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人．
求第七组的频率；
估计该校的名男生的身高的平均数和中位数；
若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，，事件，求．
20.本小题分
已知函数．
若，求的取值范围；
若，且，求实数的取值范围．
21.本小题分
随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品已知生产该产品的年固定成本为万元，最大产能为台每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
写出年利润万元关于年产量台的函数解析式利润销售收入成本；
当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
22.本小题分
已知函数且．
若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的取值范围；
是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
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17.解：函数的定义域为，
．
集合，
，
，解得．
实数的取值范围是．
18.解：Ⅰ，，
，，，
当且仅当取“”，
的最小值为；
Ⅱ由，得，，
，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为
19.解：第六组的频率为，
第七组的频率为．
由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
设这所学校的名男生的身高中位数为，则，
由得，
所以这所学校的名男生的身高的中位数为，
平均数为．
第六组的抽取人数为，设所抽取的人为，，，，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为，，
则从中随机抽取两名男生有，，，，，，，，，，，，，，共种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，
所以事件包含的基本事件为，，，，，，共种情况．
所以．
20.解：当，令，所以，
则在上单调递减，
所以，，
故的取值范围为；
设，，因为，所以，即，
则的两根为，，整理得，
，，
所以，，所以，则，
所以，
则，
即实数的取值范围为．
21.解：由题意知，当时，，
当时，，
所以年利润为．
当时，，
所以时，年利润取得最大值为万元；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
此时年利润的最大值为万元．
综上知，该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，最大利润是万元．
22.解：由，得或．
的定义域为；
令，任取，，，
则，
，，，
，
即函数在上单调递增；
又，
在上单调递减，
且当趋于，趋于；趋于，趋于；
函数在有且只有一个零点，
即在有且只有一个解，
函数在的值域为，
的取值范围是．
假设存在这样的实数，使得当的定义域为时，值域为，
由且，可得．
又由在上为增函数，在上为减函数．
则在上为减函数，
得．
即在上有两个互异实根，
由，得，
即有两个大于的相异零点．
由，函数开口向上，且对称轴为，
则，解得．
故存在这样的实数符合题意．
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