2024-2025学年江苏省无锡市怀仁中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡市怀仁中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“直线：与直线：平行”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
4.以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
5.如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则( )
A. B.
C. D.
6.已知直线：与圆：交于，两点，若，则( )
A. B. C. D.
7.椭圆的焦距是，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
8.已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆：，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是( )
A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
10.下列说法正确的是( )
A. ，
B. 若，则
C. 若，，则的最小值为
D. 若是关于的方程的根，则
11.设，，是空间的一个基底，则下列说法不正确的是( )
A. 则，，两两共面，但，，不可能共面
B. 若，，则
C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D. ，，不一定能构成空间的一个基底
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数满足，则的共轭复数为______．
13.已知、是椭圆的左右焦点，若直线过焦点，且与椭圆交于、，则的周长为______．
14.直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于．
求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
记中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程．
16.本小题分
已知椭圆：，点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线不与轴重合交于，两点．
求椭圆的标准方程；
若，求的面积；
是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
17.本小题分
如图，已知四棱锥的底面为正方形，平面，，，分别为线段，中点．
证明：共面；
求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
如图，，，是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，，到，的距离分别为，，以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示．
求两个军事基地的长；
若要塞正北方向距离要塞处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为参数为大于零的常数，爆炸波开始生成时，一飞行器以的速度自基地开往基地，问参数控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，分别为，的中点，为正三角形，平面平面．
求点到平面的距离；
在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
参考答案
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14.相切
15.解：由题意可知，，整理，得，
故点点轨迹方程为，其轨迹为以原点为圆心， 为半径的圆．
由题意可知
当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，满足弦长为．
当直线的斜率存在时，不妨设为，
则直线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
因为直线被所截得的线段的长为，
所以，所以，解得，
所以直线方程为．
综上，满足条件的直线的方程为或．
16.解：由、得：分
椭圆的标准方程为：； 分
因为，，
所以过、的直线的方程为：，
即，分
解方程组，得，分
；分
结论：不存在直线使得点在以为直径的圆上．
理由如下：
设，则．
假设点在以线段为直径的圆上，
则，即，
因为，，
所以
，分
解得：或，分
又因为，所以点不在以为直径的圆上，
即不存在直线，使得点在以为直径的圆上． 分
17.解：证明：由题意可得
，
则由共面向量定理知，共面；
由平面，知为平面的法向量，
又平面，
所以，
由知：，
可得，
设直线与平面所成角为
，
所以，直线与平面所成角大小为．
18.解：由题设得：，直线的方程为，
，
，，
，即，
直线的方程为，即，
联立，解得，即，
，
故基地的长为；
设爆炸产生的爆炸波圆，
由题意可得，生成小时，飞行器在线段上的点处，
则，，
，
爆炸波不会波及飞行器的通行，即，对恒成立．
，即，，
当时，上式恒成立，
当时，即时，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
在时，恒成立，亦即爆炸波不会波及飞行器的通行，
故当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行．
19.解：连接，为正三角形，为中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，且，平面，，，
，，分别为，的中点，，，
，
如图，以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
，则，，，，，
设平面的法向量为，，
则，，，取，则，，
又，则点到平面的距离为：；
由可知为平面的一个法向量，
由题可设，且，则，
，
设平面的法向量为，且，
则，，，取，则，
，整理得，解得或舍，
故存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时为中点．
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