2024-2025学年湖北省孝感市一般高中协作体高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省孝感市一般高中协作体高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一支田径队有男运动员人，女运动员人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了男运动员人，则女运动员被抽取的人数为( )
A. B. C. D.
2.已知：，：，若，则实数( )
A. 或 B. C. D. 或
3.袋中装有个白球，只黄球，个红球，从中任取球，抽到的不是白球的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知圆的方程是，则下列直线中通过圆心的是( )
A. B. C. D.
5.两条平行直线和间的距离为，则，分别为( )
A. B. C. D.
6.，则( )
A. B. C. D.
7.甲乙两人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否为加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知圆和圆外切其中，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是( )
A. 点与点关于轴对称
B. 点与点关于轴对称
C. 点与点关于平面对称
D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件为“第一次的点数是”，事件为“第二次的点数大于”，事件为“两次点数之和为奇数”，则( )
A. B. 事件与事件互斥
C. 事件与相互独立 D.
11.已知直线：，圆：，以下正确的是( )
A. 与圆不一定存在公共点
B. 圆心到的最大距离为
C. 当与圆相交时，
D. 当时，圆上仅有一个点到的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将个数据按照从小到大的顺序排列如下：，，，，，，，，，，则该组数据的分位数为______．
13.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球，个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球______个
14.棱长为的正方体中，，分别是平面和平面内动点，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求满足下列条件的直线方程：
过点，且与直线平行的直线方程；
过点，且与直线垂直的直线方程；
过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
16.本小题分
如图，平行六面体中，与相交于，设，，．
用表示；
若该平行六面体所有棱长均为，且，，求．
17.本小题分
已知动点到定点的距离与它到定点的距离之比为．
求动点的轨迹的方程；
若圆：与轨迹相交于，两点，线段的长．
18.本小题分
为推动孝感市乡村旅游发展提质增效，更好满足人民群众旅游消费升级需求，助力乡村全面振兴，孝感市实施精品示范工程打造“和美休闲旅游乡村”行动方案，实施“微创意、微改造”，促进“精提升”，建设“和美”乡村新风景，打造全国知名的乡村旅游目的地某学校兴趣小组同学利用暑假时间，在全市范围内调查了个休闲旅游乡村，并从环境风貌、资源价值、基础设施等方面进行综合评分，将评分按照，，，，分组，得到如图所示频率分布直方图．
求的值，并求这个休闲旅游乡村评分的平均分；
若评分在分及以上的乡村称为“值得推荐的旅游乡村”，其中评分在为“推荐指数四颗星”，评分在为“推荐指数五颗星”兴趣小组同学用分层抽样的方法在“值得推荐的旅游乡村”中抽取个乡村进行第一批次的校内宣传，并从这个乡村中随机抽取个乡村在校园内做展板宣传，求这个乡村正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，，，，．
证明：平面平面；
若点是的中点，点是的中点，求点到平面的距离．
点是线段上的动点，上是否存在点，使平面，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：设与直线平行的直线方程为，，
由于过点，代入，
解得，可得，
所以所求的方程为；
设与直线垂直的直线方程为；
由于过点，代入，解得，
可得，
所以所求的直线方程为；
当直线不过原点时，设直线方程为，
代入点，则，可得，
当直线过原点时，设直线方程为，
代入点，即，可得，
综上，所求直线方程为或．
16.解：．
由题意：，，，；
，
所以．
17.解：动点到定点的距离与它到定点的距离之比为，
设动点的坐标为，
可得，
即，
化为，
故动点的轨迹的方程为；
圆：，
可得圆心的坐标为，半径，
轨迹的方程可化为，
所以轨迹为以点为圆心，为半径的圆，
圆与圆的圆心距为，又，
所以圆与圆相交，
由圆方程和方程，相减可得，
所以直线的方程为，
圆心到直线距离，
所以弦的长为．
18.解：根据题意可得，解得；
平均分估计为：分；
“推荐指数四颗星”乡村数为个；
“推荐指数五颗星”乡村数为个；
按照分层抽样，可知“推荐指数四颗星”乡村抽取个，
“推荐指数五颗星”乡村抽取个，
从这个乡村中随机抽取个乡村在校园内做展板宣传，
则这个乡村正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率为．
19.证明：由平面，与底面所成角为，即，
所以，又，所以；
因为四边形是梯形，，，可得；
又，可得，
因此满足，可得；
由平面，平面，可得，
易知，，平面，
可得平面，又平面，
因此平面平面；
解：根据题意以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
易知，，，，，
由点是的中点，点是的中点，，
即，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，可得，，则，
而，所以点到平面的距离为，
即点到平面的距离为．
解：由点是线段上的动点，可设，
即，所以，
因此，
设，又，因此可得，
又，
若平面，可得，即，
解得；
可得，
即存在点，当时，满足平面．
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