2024-2025学年重庆市渝北区松树桥中学高二（上）第三次段考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年重庆市渝北区松树桥中学高二（上）第三次段考
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知椭圆的一个焦点，则( )
A. B. C. 或 D.
2.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知数列满足，，，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知空间向量，则下列结论正确的是( )
A. 向量在向量上的投影向量是 B.
C. D.
5.周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊垫、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，立竿测影，得其最短日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为尺，春分日影长为尺，则这十二个节气中后六个春分至若种日影长之和为( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
6.已知双曲线与直线相交于、两点，若弦的中点的横坐标为，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.如图，在棱长为的正方体中，，分别是线段，的中点，则直线与平面间的距离是( )
A. B.
C. D.
8.点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，
两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，，，则( )
A. 是递增数列 B. 的前项和中最小
C. D. 数列的前项和为
10.已知点为坐标原点，直线与抛物线：相交于、两点，焦点为，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D. 线段的中点到轴的距离为
11.在棱长为的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有( )
A. 与所成角的余弦值为
B. 过，，三点的正方体的截面面积为
C. 当在线段上运动时，的最小值为
D. 若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，，则 ______；通项公式 ______．
13.过点向圆：作切线，切点为，则 ______．
14.如图，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．如图，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，已知与的离心率之比为：现一光线从右焦点发出，依次经与的反射，又回到了点，历时秒．将装置中的去掉，如图，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点坐标分别为，，．
求边的垂直平分线的方程；
求三角形的外接圆方程．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点．
证明：平面；
求平面和平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知正项数列的前项和为，且和满足：．
求证：数列是等差数列；
设，记，求和之值．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，四边形是边长为的菱形，，是等腰直角三角形，，平面上平面，点，分别是，的中点．
证明：；
设平面与棱的延长线交于点，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知点，点是圆：上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为，．
Ⅰ求曲线的方程；
Ⅱ求的取值范围；
Ⅲ已知点，若直线与直线的斜率分别为，，求的值．
参考答案
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15.解：因为，，可得的中点，
，由点法式方程可得的中垂线的方程为：，
整理可得：；
的中点，，
由点法式方程可得的中垂线方程为，
整理可得：，
联立，解得，，
即的外接圆的圆心为，
半径，
所以原点方程为：．
16.解：证明：取中点，连接，，
在中，，分别为，的中点，则，，
因为，，则，，
可知四边形为平行四边形，则，
且平面，平面，
所以平面．
因为平面，，平面，
则，，且，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
取的中点，连接，
因为，，则，，
又因为，所以四边形为矩形，
且，可知四边形是以边长为的正方形，
则，，，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
所以平面的一个法向量为，
易知为平面的一个法向量，
所以，
所以平面和平面夹角的余弦值为．
17.解：证明：正项数列的前项和为，且和满足：，
可得，解得；
当时，由，可得，
相减可得，即为，
化为，
由，可得，则数列是首项为，公差为的等差数列；
，
当时，，；
当时，，
，
则，
．
18.证明：连接，四边形是边长为的菱形，，
是等边三角形．
取的中点，连接，，则，
又平面平面，平面平面，
平面．
又平面，．
，分别为，的中点，，．
，．
又，平面．
平面，．
延长与相交于点，则点即为平面与棱的延长线的交点．点是的中点，
≌，则．
如图，连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，，
．
设平面的法向量为，
则取，得，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：Ⅰ连接，
此时，
设，
因为圆的圆心，半径为，
所以，，
因为，
所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，长轴长，焦距，
解得，，
则，
故曲线的方程为；
Ⅱ当直线的斜率不存在时，
因为，
设，，
此时；
当直线斜率存在时，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
所以
，
因为，
所以，
则，
综上所述，的取值范围为；
Ⅲ若直线与轴重合，
此时直线与直线关于轴对称，
所以；
若直线不与轴重合，
由知，设直线的方程为，，，
此时
．
综上所述：．
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