辽宁省协作体2024-2025学年高二（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

辽宁省协作体 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量 ( , 2)，若其对应的正态密度函数 ( )满足 (2 ) = ( )，且 ( ≤ 0) = 0.1，则
(1 ≤ ≤ 2) =( )
A. 0.8 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.1

2.已知直线 : + 2 + 3 = 0的倾斜角为 ，若 ∈ (0, ]，则实数 的取值范围是( )
3
A. (0,2√ 3] B. [0,2√ 3] C. [ 2√ 3, 0) D. [ 2√ 3, 0]
3.( + 1)8的展开式中，含 4的项的系数为( )
A. 240 B. 280 C. 560 D. 360
4.如图，正方形 1 1 1 1的棱长为4, , 分别是 1, 的中点， 是四边形 1 1 内一动点， =
3 ，若直线 与平面 没有公共点，则线段 的最小值为( )
4
4√ 35
A. √ 35 B. 4√ 7 C. 5√ 5 D.
5
5.某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中(1)班有2个志愿者队长，本次志
愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有( )种分配方
法．
A. 90 B. 60 C. 126 D. 120
6.已知菱形 的边长为2√ 3, ∠ = 60 ，以 为折痕把 折起，使点 到达点 ′的位置，且平面
′ ⊥平面 .若点 ′, , , 都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. 16 B. 20 C. 24 D. 28
2 2 | |
7.已知椭圆 : + = 1的左、右焦点分别为 1, 2，点 是直线 = 2上与点 (2,0)不重合的动点，则
1
4 3 sin∠ 2 1
的最小值为( )
√ 3 √ 3
A. B. C. 2√ 3 D. 4
3 2
第 1 页，共 13 页
8.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办
公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那
1 2
么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为 ，不下雨的概率均为 ，且与过去情况相互独立.现在
3 3
两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为( )
16 20 8 28
A. B. C. D.
81 81 27 81
二、多选题：本题共 2 小题，共 12 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 2
9.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1、 2.过 2的直线 交双曲线 的右支于 、
两点，其中点 在第一象限． 1 2的内心为 1， 1与 轴的交点为 ，记 1 2的内切圆 1的半径为 1，
1 2的内切圆 2的半径为 2，则下列说法正确的有( )
2√ 3
A. 若双曲线渐近线的夹角为60 ，则双曲线的离心率为2或
3
√ 10
B. 若 1 ⊥ 2，且| 1| | 1| = 2 ，则双曲线的离心率为 2
C. 若 = 1， = √ 3，则 1 2的取值范围是( √ 3,√ 3)
5
D. 若直线 的斜率为√ 3， 1 = 2 1 ，则双曲线的离心率为 4
10.在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， 为棱 的中点， 为线段 上的动点(含端点)，则下列选
项正确的有( )
2
A. 若直线 1 与直线 所成角为 ，则cos 的最大值为 ． 3
2√ 3+4√ 2
B. 若点 到平面 1 1的距离为 ，则 + 的最小值为 ． 5
1
C. 若在该正方体内放入一个半径为 的小球，则小球在正方体内不能达到的空间体积是2 ．
2 2
D. 点 从 点出发匀速朝 1移动，点 从 点出发匀速朝 1移动．现 , 同时出发，当 到达 1时， 恰好在 1
2√ 6
的中点处．则在此过程中， , 两点的最近距离为 ．
3
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
第 2 页，共 13 页
1 4
11.已知 (4, 52)，且 ( ≤ 3) = ( ≥ + 1)，则 + (0 < < )的最小值为 ．

12.已知两条互相垂直的直线 1， 2分别经过点 ( 4,0)， (2,2)，公共点为 ， (0,0)，则当| |取最小值时，
△ = ．
1 5
13.已知 1 , 2 是空间单位向量， 1 2 = .若空间向量 满足 1 = 2, 2 2 = ，且对于任意 , ∈2
, | ( 1 + 2 )| ≥ | ( 0 1 + 0 2 )| = 1( 0, 0 ∈ )，则 0 = ，| | = ．
14.数学家莱布尼兹是世界上首个提出二进制计数法的人，任意一个十进制正整数均可以用二进制数表示.若
正整数 = 2 0 + 1 2
1 + + 1 1 2 + ，其中 0 = 1, = 0或1( = 1,2, , )，则 可以用( + 1)
位二进制数( 0 1 2 1 )2表示.记 的二进制各个位数和为 ( )，则 ( ) = 0 + 1 + + 1 + .例
如5 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = (101)2，因此 (5) = 1 + 0 + 1 = 2.已知正整数 ≤ 1024且 ( ) = 2，则
这样的 有 个；3 (1) + 3 (2) + 3 (3) + + 3 (62) + 3 (63) = ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设(3 1)7 = 20 + 1 + 2 +
3 + 4 5 6 73 4 + 5 + 6 + 7 ，求：
(1) 2 + 4 + 6；
(2)| 0| + | 1| + | 2| + | 3| + | 4| + | 5| + | 6| + | 7|．
16.(本小题12分)
已知圆 的圆心在直线 = 3 + 1上，且点 (1,2)， ( 1,4)在 上.
(1)求圆 的标准方程；

(2)若倾斜角为 的直线 经过点 (0,4)，且 与圆 相交于 ， 两点，求| |．
4
17.(本小题12分)
1
如图1，在直角梯形 中，已知 // ， = = = 1，将△ 沿 翻折，使平面 ⊥平
2
面 .如图2， 的中点为 ．
第 3 页，共 13 页
(1)求证： ⊥平面 ;
3√ 14
(2)若 的中点为 ，在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 若存在，
14
求出点 的位置;若不存在，请说明理由．
18.(本小题12分)
| + + |
对于形如“| + + | = ”的绝对值方程，我们可以考虑将其与点到直线的距离公式： = 相
√ 2+ 2
关联．
(1)设集合 = {( , ) ∣ 2 + 2 ≠ 0, ∈ , ∈ }，点 的坐标为( , )，满足“存在( , ) ∈ ，使得
| + | + | | ≤ 4√ 2 + 2”的点 构成的图形为 ，求证： 的面积大于32；
(2)已知平面内的点 异于原点，且点 的坐标( , )满足关系式|4 + + 1| = | 3 + 1| = √ 2 + 2.若
这样的点 恰有三个，求实数 的值．
19.(本小题12分)
某校举行围棋比赛，甲 乙 丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为 1，甲与丙
比赛时，甲获胜的概率为 2，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为 3．
(1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲 乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜
利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场
比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设 1 = 2 = 3 = 0.6，且每局
比赛相互独立．
( )求乙连胜两局获得最终胜利的概率；
( )求比赛结束时乙获胜的概率；
(2)若 1 + 3 < 1，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析
乙的最优指定策略．
20.(本小题12分)
如图1，在抛物线 = 2( > 0)上任选一动点 ( 0, 0)，可认为其纵坐标 0 =
2
0为以 0为边长的正方形
1
′ 的面积，由此将抛物线 = 2下阴影部分的面积转化为四棱锥 ′ 的体积，得 = 3阴影 ，称3 0
其为抛物线的“三分之一”原则．
第 4 页，共 13 页
1
(1)如图3，在拟柱体 中，底面 为矩形， = 2 = 4, = ，点 到底面 的距离为
2
2，试利用抛物线的“三分之一”原则求拟柱体 的体积 ；
(2)已知类似于圆锥的空间几何体 具有圆锥的一切对称性，且其顶点为 ，底面为 ，高为 ，将 置于空间
直角坐标系 中，使其顶点与坐标原点重合， 与平面 平行且 上任意一点坐标均可表示为( 0, 0, ).
若用任一平行于平面 的平面 ′截 所得的截面的面积与 ′到平面 的距离 有关系： = 4 , ∈
[0, ].设 被平面 所截得曲线为 ，
( )求 的体积 关于 的表达式及 在平面 中的方程；
( )在平面 中，过点 ( 2,1)作两条互相垂直的弦 , ，分别交 于 , 两点， , 都在第一象限内且
在 的右侧， , 分别交 = 2于 , 两点.设 的面积为 1, 的面积为 2，当 点的横坐标 ∈
2
[ , 2)时，求 1的最大值．
5 2
第 5 页，共 13 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
9
11.【答案】
4
12.【答案】4√ 5
13.【答案】2；2√ 2
14.【答案】45；4095
15.【答案】(1)
由条件，取 = 0，得到 0 = 1；
取 = 1，得到 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = (3 1)
7 = 27
取 = 1，得到 70 1 + 2 3 + 4 5 + 6 7 = ( 3 1) = 4
7
27 47
两式相加得到 0 + 2 + 4 + 6 = = 8128， 2
所以 2 + 4 + 6 = 8127．
(2)
根据(1)知： 1 + 3 + 5 +
7
7 = 2 ( 0 + 2 + 4 + 6) = 128 + 8128 = 8256.
(3 1)7展开式的通项为： +1 =

7 (3 )
7 ( 1) ，
故当 为偶数时，对应系数为正；当 为奇数时，对应系数为负，
故| 0| + | 1| + | 2| + | 3| + | 4| + | 5| + | 6| + | 7|
= ( 1 + 3 + 5 + 7) ( 0 + 2 + 4 + 6)
= 8256 ( 8128) = 16384．
第 6 页，共 13 页
16.【答案】(1)
设线段 的中点为 ，则 (0,3)，
4 2
因为直线 的斜率为 = 1，
1 1
所以线段 的垂直平分线的斜率为1，
所以线段 的垂直平分线所在的直线方程为 = + 3，
= + 3 = 1
由{ 得{ ,
= 3 + 1 = 4
所以圆心 (1,4)，半径为| | = 2，
所以圆 的标准方程为( 1)2 + ( 4)2 = 4；
(2)

因为直线 的倾斜角为 ，所以直线 的斜率为1，
4
又直线 经过点 (0,4)，所以直线 的方程为 = + 4，
即 + 4 = 0，
|1 4+4| √ 2
所以点 到直线 的距离为 = ，
√ 2 2
2
√ 2
所以| | = 2√ 22 ( ) = √ 14．
2
17.【答案】解：(1)证明：因为 = ， 的中点为 ，所以 ⊥ ，
又因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
根据面面垂直的性质可得 ⊥平面 ；
(2)取 的中点为 ，连接 ，则 // ，由图1直角梯形可知， 为正方形，
= = 1， = = √ 2， = 2，∴ ⊥ ， ⊥ ．
由(1) ⊥平面 ，可知 ， ， 两两互相垂直，
分别以 ， ， 为 ， ， 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
第 7 页，共 13 页
则 (0,0,0)
√ 2 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2
， ( , 0, )， ( , 0,0)， ( ,√ 2, 0)， (0,0, )，
4 4 2 2 2
设 √ 2 √ 2 √ 2 = (0 ≤ ≤ 1)，∴ ( , √ 2 , + )
2 2 2
√ 2 √ 2 √ 2 √ 2 = ( ,√ 2 , + )，
3 1
= ( √ 2, 0, √ 2)
2 4 2 4 4 4
设平面 的法向量为 = ( , , )，
3√ 2 √ 2

· = = 0
4 4
√ 2 √ 2 √ 2 √ 2
· = ( ) + √ 2 + ( + ) = 0
{ 2 4 2 4
1 1
取 = 1，则 = (1, , 3)，即平面 的法向量为 = (1, , 3)，

由 ⊥平面 ，取平面 的法向量 = (0,0,1)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
| | | 3| 3
则cos = |cos < ， > | = = = √ 14| | | |
√ 1 2 2
14
1+( ) +( 3)

1
解得 = 或 = 1(舍)
3
3
所以，线段 上存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 √ 14．
14
点 位于线段 靠近 的三等分点处．
18.【答案】(1)
因为 = {( , ) ∣ 2 + 2 ≠ 0, ∈ , ∈ }，表示除原点外的平面内的所有点．
| + | | |
| + | + | | ≤ 4√ 2 + 2 + ≤ 4，
√ 2 2 2 + √ 2+
所以 ( , )的轨迹为到直线 + = 0和 = 0的距离之和不大于4的点的集合．
如图：
第 8 页，共 13 页
因为 × + × ( ) = 0，
所以直线 + = 0和 = 0垂直，
不妨设 , 分别为点 在直线 + = 0, = 0上的投影，
则存在( , ) ∈ ，满足| | + | | ≤ 4, | |2 =| |2 + | |2．
对| | + | | = 4，| | + | | < 4分类讨论，
当| | + | | = 4时，| |2 =| |2 + (4 | |)2 = 2[(| | 2)2 + 4]．
因为0 ≤ | | ≤ 4，所以8 ≤ | |2 ≤ 16 2√ 2 ≤ | | ≤ 4．
当0 < | | + | | < 4时，| |2 =| |2 + | |2 ≥ 2| || |，
因为集合 表示除原点外平面内的点，所以 不能在原点，
所以| | ≥ 0，| | ≥ 0，所以| || | ≥ 0，但| |，| |不能同时等于0，
所以| |2 =| |2 + | |2 ≥ 2| || | ≥ 0但等号不能同时成立，所以| |2 > 0，
所以 点的轨迹 是以原点为圆心，半径在(0,4]范围内的圆形的内部区域(原点除外)，
故 的面积为 42 = 16 > 32，证毕．
(2)
|4 + +1| | 3 +1|
由已知得 > 0，整理得 = = ，
√ 2+ 2 √ 2+ 2
问题可看成有且仅有三条直线满足 (4,1)和 (1, 3)到直线 : + + 1 = 0(不过原点)的距离 相等，
又| | = √ (1 4)2 + ( 3 1)2 = 5，
| | 5 5
①当 = = ，此时易得符合题意的直线 为线段 的垂直平分线以及与直线 平行的且距离为 的两条
2 2 2
直线，符合题意；
第 9 页，共 13 页
| | 5
②当 < = 时，有4条直线 会使得点 (4,1)和 (1, 3)到它们的距离相等，
2 2
注意到 不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去．
设点 到 的距离为 ，
5 13 5
( )作为增根被舍去的直线 ，过原点和 , 的中点 ( , 1)，其方程为2 + 5 = 0，此时 = = < ，
2 √ 29 2
符合；
( )作为增根被舍去的直线 ，过原点且与 平行，
13 5
其方程为4 3 = 0，此时 = = > ，不符合；
5 2
| | 5
③当 > = ，只有两条直线使得点 (4,1)和 (1, 3)到它们的距离相等，不符合题意；
2 2
13√ 29 5
综上， 可取 和 ．
29 2
19.【答案】(1)
( ) = (1 0.6) × 0.6 = 0.24．
( ) = (1 1) 3 + (1 1)(1 3) 2(1 1) + 1(1 2) 3(1 1)
= 0.4 × 0.6 + 0.4 × 0.4 × 0.6 × 0.4 + 0.6 × 0.4 × 0.6 × 0.4 = 0.336，
(2)
设事件 为“第一局乙对丙最终乙获胜”， 为“第一局乙对甲最终乙获胜”，
第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜；
第 10 页，共 13 页
第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜；
第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜，
故 ( ) = 3(1 1) + 3 1(1 2) 3 + (1 3) 2(1 1) 3；
同理可得 ( ) = (1 1) 3 + (1 1)(1 3) 2(1 1) + 1(1 2) 3(1 1)；
( ) ( )
= [ 3 1(1 2) 3 1(1 2) 3(1 1)] + [(1 3) 2(1 1) 3 (1 1)(1 3) 2(1 1)]
= ( 1 + 3 1) 1(1 2) 3 + ( 1 + 3 1)(1 3) 2(1 1)
= ( 1 + 3 1)[ 1(1 2) 3 + (1 3) 2(1 1)]，
由于 1 + 3 < 1，故 ( ) ( ) < 0，
所以 ( ) > ( )，故乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲．
20.【答案】(1)
如图，用平行于底面的平面 截拟柱体 得矩形 ′ ′ ′ ′，设点 到 的距离为 ，
由相似的基本定理得矩形 ′ ′ ′ ′面积 = ( + 2)，
建立如图的平面直角坐标系 ，
由主题干信息得，拟柱体 的体积 即函数 = ( + 2)
与 轴正半轴所围成的阴影部分面积，由抛物线的“三分之一”
1 1 20
原则： 阴影 = 3 3 = ， 3
20
即拟柱体 的体积 = ；
3
(2)
(2)( )由主题干信息得，类锥体 的体积即底面 的面积 与 轴正半轴所围成的阴影部分面积，
第 11 页，共 13 页
又 与 有关系 = 4 ，
2
1 4
所以 = = ；
2 2
因为 具有圆锥的一切对称性，
所以其底面 为圆，
又 = 4 ,
得其半径 = 2√ ，
由几何体的空间位置，可建立 与 得关系： 2 = 4 ，
即 在平面 中的方程为： 2 = 4 ；
设 ( , ), ( , ), : = + ，
1 1
由 ⊥ 得 = 1①
+2 +2
2 4 4 = 0
联立直线与抛物线{
2
②
(2 + 4 2) + 2 = 0
由①，②得( 3)2 = (2 2)2，
即 = 2 + 1(舍)或 = 4 2 ，
所以 恒过定点(2,5)，
改写 为( + ) = 4 + ，
代入(2,5)得2( + ) = 20 + ，
20 2
即 = ③ 2
8
1 = | || |易得{ ,④
1 | |
2 = | 2
| = | 8
|
第 12 页，共 13 页
1 64所以 =
22 ( )
1 64由③，④得 =
2
，
2 (10 )(2 )
2
8
令 = 2 , ∈ (0, ], 5
64
则有 1 = ，
2 (2 )(8+ )
2
(2 )

(2 )(8+ ) 16
其中2 = 2( 6)，

16 8
对于函数 ( ) = ，当 ∈ (0, ]时，有如下图像：
5
(2 )(8+ ) 24
所以2 ≥ ，
5
1 64 25所以 = 2 ≤ ， 2 (2 )(8+ ) 9(2 )


即 1
25
的最大值为 ．
2 9
第 13 页，共 13 页