四川省凉山州宁南中学2024-2025学年高一上学期期末模拟考数学试卷（一）（PDF版，含答案）

四川省凉山州宁南中学 2024-2025 学年高一上学期期末模拟考数学试
卷（一）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 3 < < 0}， = { | 1 ≤ ≤ 1}，则图中阴影部分表
示的集合为( )
A. [ 1,1) B. ( 3, 1)
C. ( ∞, 3] ∪ [ 1, +∞) D. ( 3,1]
1
2.设 = ( ) 0.9， = 40.8

， = 4(sin )，则 ， ， 的大小关系为( ) 4 2
A. > > B. > > C. > > D. > >
√ 3
3.“ = 2 + ( ∈ )”是“ = ”的( )
3 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3
4.设函数 ( ) = 2─2，用二分法求 ( ) = 0的一个近似解时，第1步确定了一个区间为(1, )，到第3步时，
2
求得的近似解所在的区间应该是( )
3 5 3 11 3 11 23
A. (1, ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )
2 4 2 8 2 8 16
5.若关于 不等式 2 + + ≥ 0的解集为[ 2,3]，则关于 不等式 2 + + ≥ 0的解集为( )
1 1 1 1
A. [ , ] B. [ , ]
2 3 3 2
1 1 1 1
C. ( ∞, ] ∪ [ , +∞) D. ( ∞, ] ∪ [ , +∞)
2 3 3 2

6.已知函数 ( ) = 2 6 + 3( > 0且 ≠ 1)的图像经过定点 ，且点 在角 的终边上，则 =( )
sin +cos
1 1
A. B. 0 C. 7 D.
7 7
2 3
7.已知函数 ( ) = 2 ，则其图象大致是( ) 1
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A. B.
C. D.
8.为了抗击新型冠状病毒肺炎，保障师生安全，学校决定每天对教室进行
消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量 ( / 3)与时间
1
( )成正比(0 < < )；药物释放完毕后， 与 的函数关系式为 =
4
1
( )
1
( 为常数， ≥ )，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到
4 4
0.5( / 3)以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前
( )分钟进行消毒工作
A. 25 B. 30 C. 45 D. 60
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
3
A. ( ) = √ 3与 ( ) = 是同一函数
B. 已知 ( + 1) = 2 + ，则 (1) + ( 1) = 0
C. 对于任何一个函数，如果因变量 的值不同，则自变量 的值一定不同
1
D. 函数 ( ) = 在其定义域内是单调递减函数

10.设正实数 、 满足 + = 2，则下列说法正确的是( )
2
A. + 的最小值为3 B. 的最大值为1

C. √ + √ 的最小值为2 D. 2 + 2的最小值为2
11.如图， ， 是单位圆上的两个质点，点 的坐标为(1,0)，∠ = 60°，质
点 以1 / 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点 以2 / 的角速
度按顺时针方向在单位圆上运动，则( )
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A. 经过1 后，∠ 的弧度数为 + 3
3
7
B. 经过 后，扇形 的弧长为
12 12

C. 经过 后，扇形 的面积为
6 3
5
D. 经过 后， ， 在单位圆上第一次相遇
9
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生
动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形 截去同心扇形
所得图形，已知 = 0.1 ， = 0.4 ，∠ = 125°，则该扇环形
砖雕的面积为______ 2．

+ , < 0
13.已知函数 ( ) = { 2 在 上单调递增，则实数 的取值范围为______．
, ≥ 0
14.已知关于 的方程 2 ( + 1) + 4 2 = 0的两根分别在区间(0,1)，(1,2)内，则实数 的取值范围为
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { | + 1 ≤ ≤ 2 + 1}，函数 = 3(
2 3 10)的定义域为 ．
(1)若集合 = ，求集合 ；
(2)在(1)条件下，若 = 3，求( ) ∩ ；
(3)在(1)条件下，若“ ∈ ”是“ ∈ ”充分不必要条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
cos( + )
已知 ( ) = ．
sin(2 + )
31
(1)化简 ( )并求 ( )的值；
3
1
(2)若 ∈ (0, )且 ( ) + ( ) = ，求sin2 cos2 的值；
2 5
√ 3
(3)已知 ( ) = ，求sin( + )的值．
6 3 3
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17.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = 1 的图象关于原点对称，其中 为常数．
1
2
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)当 ∈ [2, +∞)时， ( ) > 1( + )恒成立，求实数 的取值范围．
2
18.(本小题12分)
已知 ( )， ( )分别为定义在 上的偶函数和奇函数，且 ( ) + ( ) = 2 ．
(1)求 ( )和 ( )的解析式；
(2)利用函数单调性的定义证明 ( )在区间[0, ∞)上是增函数；
(3)已知 ( ) = 4 2( ) 4 ( ) + 9，其中 是大于1的实数，当 ∈ [0, log2 ]时， ( ) ≥ 0，求实数 的
取值范围．
19.(本小题12分)
已知定义域为 = ( ∞, 0) ∪ (0, +∞)的函数 ( )满足对任意 1， 2 ∈ ( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，都有 ( 1 2) =
1 ( 2) + 2 ( 1).
(1)求证： ( )是奇函数；
( )
(2)设 ( ) = ，且 > 1时 ( ) < 0，

①求证： ( )在(0, +∞)上是减函数；
②求不等式 (2 1) > (3 )的解集．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】

12.【答案】
12
13.【答案】(1,2]
1
14.【答案】(0, )
4
15.【答案】解：(1)由函数 = 3(
2 3 10)的定义域为 ，可得 2 3 10 > 0，
即( + 2)( 5) > 0，解得 < 2或 > 5，所以集合 = { | < 2或 > 5}，
所以 = = { | 2 ≤ ≤ 5}．
(2)当 = 3时，集合 = { |4 ≤ ≤ 7}，可得 = { | < 4或 > 7}，
因为 = { | 2 ≤ ≤ 5}，所以( ) ∩ = { | 2 ≤ < 4}．
(3)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，所以 是 的真子集，
当 + 1 > 2 + 1时，即 < 0时，此时 = ，满足 是 的真子集；
2 + 1 ≥ + 1
当 ≠ 时，则满足{2 + 1 ≤ 5 且不能同时取等号，解得0 ≤ ≤ 2，
+ 1 ≥ 2
综上，实数 的取值范围为( ∞, 2]．

16.【答案】解：(1)由诱导公式可知 ( ) = = ，
sin
31 31 1
则 ( ) = cos( ) = cos = ；
3 3 3 2
1
(2)由(1)得 ( ) + ( ) = cos( ) = = ，
2 2 5
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1
可得 + = ，
5
2 1则( + ) = 1 + 2 = ，
25
12
解得 = ，
25
又 ∈ (0, )，则 > 0， < 0，
49
所以( )2 = sin2 + cos2 2 = ，
25
7
可得 = ，
5
7
所以sin2 cos2 = ( + )( ) = ；
25
(3)由已知(1)得 ( ) = ，
√ 3 √ 3
所以 ( ) = cos( ) = ，可得cos( ) = ，
6 6 3 6 3
√ 3
所以sin( + ) = sin[ ( )] = cos( ) = ．
3 2 6 6 3
1
17.【答案】解：( ) ∵函数 ( ) = 1 的图象关于原点对称，故 ( )为奇函数，
1
2
1+ 1 1
∴ ( ) = ( )，∴ 1 = 1 = 1 ，
1 1 1
2 2 2
1+ 1
∴ = ，∴ 1 2 2 = ( 1)( 1)，即(1 2) 2 = 0，
1 1
∴ 2 = 1，∴ = 1(函数无意义，舍去)，或 = 1．
( )当 ∈ [2, +∞)时， ( ) > 1( + )恒成立，
2
+1 +1 +1
即 1 > 1( + ) 恒成立，∴ < + > 恒成立，
1 1 1
2 2
2
即 > + 1，在 ∈ [2, +∞)恒成立．
1
2
令 ( ) = + 1，可得 ( )在[2, +∞)单调递减，
1
∴ > ( ) ，∴ > (2) = 1，
∴ ∈ (1, +∞)．
18.【答案】解：(1) ( )， ( )分别为定义在 上的偶函数和奇函数，
所以 ( ) = ( )， ( ) = ( )，
( ) + ( ) = 2 ①，
( ) + ( ) = ( ) ( ) = 2 ②，
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1 1
由①②可知， ( ) = (2 + 2 )， ( ) = (2 2 )；
2 2
1 1
(2)证明：取 1 > 2 ≥ 0， ( 1) (
1 1 2 2
2) = (2 + 2 ) (2 + 2 ) 2 2
2 2 2
1
2
1 2
1 2 2+2 1 2 2 2 2 + + 2 12 1 2 2
2 1
= = = (1 + )， 2 2 2 2 1 2
1
因为 1 > 2 ≥ 0，所以2
1 2 2 > 0，2 1+ 2 > 1，1 + > 0， 2 1 2
所以 ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)， ( )在区间[0, ∞)上是增函数，得证；
(3)由已知 ( ) = 4 2( ) 4 ( ) + 9，
2 +2 2 +2
( ) = 4 ( )2 4 ( ) + 9 = (2 + 2 )2 2 (2 + 2 ) + 9，
2 2
由(2)得 ( )在[0, log2 ]上单调递增，
1
+
∴ > 1， ( ) ∈ [1, ]，
2
1
设 = 2 + 2 = 2 ( ) ∈ [2, + ]，

令 ( ) = 2 2 + 9 ≥ 0，
1 9 1
∵ > 0，∴ ≤ ( + )， ∈ [2, + ]，
2
1 9
而函数 = ( + )，在 ∈ [2,3]上递减，在 ∈ [3, +∞]递增，
2
1 3+√ 5 1 9 1 9
①当 + ≤ 3时，1 < ≤ < 3， ( + ) ≥ √ × = 3，显然成立，
2 2 2
3+√ 5
即1 < ≤ ；
2
1 3+√ 5 1 9
②当 + > 3时， > ， = (3 + ) = 3，∴ ≤ 3， 2 2 3
3+√ 5
即 < ≤ 3；
2
综上所述，实数 的取值范围是(1,3]．
1
19.【答案】解：(1)取 1 = 2 = 1，可得 (1) = 0，取 1 = 2 = 1，可得 ( 1) = (1) = 0． 2
取 1 = ， 2 = 1，可得 ( ) = ( ) + ( 1) = ( )．
∴ ( )是奇函数．
( )
(2)① ∵ ( )是奇函数， ( ) = 是偶函数，

由 ( 1 2) = 1 ( 2) + 2 ( 1).可得有 ( 1 2) = ( 2) + ( 1).

设 1 > 2 > 0，则
1 > 1， > 1时 ( ) < 0，可得 ( 1) < 0．
2 2
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1 1
∴ ( 1) = ( 2
) = ( 2) + ( ) < ( 2).
2 2
∴ ( )在(0, +∞)上是减函数；
2 1 ≠ 0
② ∵ ( )是偶函数且在(0, +∞)上是减函数，∴不等式 (2 1) > (3 )的解集 {3 ≠ 0 ．
|2 1| < |3 |
1
≠
2 1 1 1
{ ≠ 0 < 1或> 或 < <
2 5 2
1
> 或 < 1
5
1 1 1
∴不等式 (2 1) > (3 )的解集为( ∞, 1) ∪ ( , ) ∪ ( , +∞)．
5 2 2
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