山东省青岛市第五十八中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

山东省青岛市第五十八中学 2024-2025 学年高一上学期 12 月月考数学
试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = { |√ < 4}， = { |3 ≥ 1}，则 ∩ =( )
1 1
A. { |0 ≤ < 2} B. { | ≤ < 2} C. { |3 ≤ < 16} D. { | ≤ < 16}
3 3
2.函数 = 2 2 的图象大致是( )
A. B.
C. D.

3.已知函数 ( )的周期为 ，且在区间( , )内单调递增，则 ( )可能是( )
6 3

A. ( ) = sin( ) B. ( ) = cos( )
3 3

C. ( ) = sin(2 ) D. ( ) = cos(2 )
3 3
4.函数 = log3(
2 + 2 + 15)的单调递减区间是( )
A. (1, +∞) B. (1,5) C. ( 3,1) D. ( ∞, 1)
1
5.若 ∈ (0, )， + = 6，则 + =( )
tan
2√ 3 2√ 3 2√ 3 2
A. B. C. ± D.
3 3 3 3
6.如图所示，在正方形 内， 是以 为圆心， 长为半径的圆的一段圆
弧，且∠ = 1弧度，两阴影部分面积分别为 1和 2，则( )
A. 1 > 2
B. 1 = 2
C. 1 < 2
D. 不确定
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7.设函数 ( ) = ( + 1)2 1， ( ) = + 2 ( 为常数)，当 ∈ ( 1,1)时，曲线 = ( )与 = ( )恰
有一个交点，则 =( )
1
A. 1 B. C. 1 D. 2
2
3 1
8.已知函数 ( ) = log2(√
2 + 1 )，若对任意的正数 ， ，满足 ( ) + (3 1) = 0，则 + 的最小值

为( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 24
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是则( )
A. “| 2| ≠ 1”是“ ≠ 1”的充分不必要条件
3
B. 函数 ( ) = tan(2 )图象的对称中心为( + , 0), ∈
4 8 2
C. 命题“ 20 > 0， 0 5 0 + 6 = 0”的否定是 > 0，
2 5 + 6 ≠ 0
4 1
D.
sin2
+ 2 的最小值为9 cos
1
10.设 ∈ ，[ ]表示不超过 的最大整数，例如：[ 3.5] = 4，[2.1] = 2，已知函数 ( ) = ，则下1+ 2
列叙述中正确的是( )
A. [ ( )]是偶函数 B. ( )是奇函数
C. ( )在 上是增函数 D. [ ( )]的值域是{ 1,0}
11.设函数 ( )的定义域为 ， ( + )为奇函数， ( + 2 )为偶函数.当 ∈ [0, ]时， ( ) = ，则下列
结论正确的有( )
5 7
A. ( ) = 1 B. ( )在(3 , )上单调递减
2 2
C. 点(8 , 0)是函数 ( )的一个对称中心 D. 方程 ( ) + = 0有5个实数解
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

3 1 sin( )sin( + )cos( )
12.若 是第三象限角，且cos( ) = ，则 ( ) = 2 的值______．
2 5 3 cos( )cos( + )
2

13.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0)在( , )上单调递减，则 的取值范围是______．
6 2
4
14.已知函数 ( ) = 在定义域[ , ]上为减函数，且值域为[log +4 ( 1), log ( 1)]， 的取值
范围______，实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题13分)
求值：
3 1 1√ 3 0 1 4( 4) ( ) +0.252×( )
(1) 2 √ 2 ；
1 1
2 22 32 49+ 2+ 510
lg√ 27+ 8 lg√ 1000
(2) ．
1.2
16.(本小题15分)

已知函数 ( ) = √ 2sin( + )( > 0,0 < < )， (0) = 1，最小正周期 ．
2
(1)求 ( )的解析式；

(2)当 ∈ [ , ]时，[ ( )]2 ( ) ≤ 0恒成立，求实数 的取值范围．
8 8
17.(本小题15分)
生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量 进行监测.第一次监测时的总量为 0(单位：
吨)，此时开始计时，时间用 (单位：月)表示.甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：
/月 0 2 8 16
/吨 2.0 4.0 6.0 7.0
为了研究该生物总量 与时间 的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达 与 的变化关系：
① = √ + 0；② = ( + 1) + 0( > 0且 ≠ 1)．
(1)请根据表中提供的前2列数据确定两个函数模型的解析式；
(2)根据第3，4列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量 由 0翻一番时经过了
2个月，根据你选择的函数模型，若总量 再翻一番时还需要经过多少个月？(参考数据： 3 ≈ 0.48， 17 ≈
1.23)
18.(本小题17分)
设函数 ( ) = ( > 0且， ≠ 1， ∈ )， ( )是定义在 上的奇函数．
(1)求 的值；
3
(2)已知 (1) = ，函数 ( ) = 2 + 2 4 ( )， ∈ [1,2]，求 ( )的值域；
2
(3)若 > 1， ( ) = | | | ( )|，对任意 ∈ [ , + 1]，不等式 ( + ) ≤ [ ( )]2恒成立，求实数 的取值
范围．
19.(本小题17分)
设 > 0，对定义在 上的函数 ( )，若存在常数 ，使得 ( + ) = ( ) + 对任意 ∈ 恒成立，则称函数
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( )满足性质 ( )．
(Ⅰ)判断下列函数是否具有性质 (2)？
① 1( ) = ，② ( ) =
2
2 ，③ 3( ) = 2 + 1．
(Ⅱ)若函数 ( )具有性质 ( 1)， ( 2)，其中 2 > 1 > 0，求证：函数 ( )具有性质 ( 2 1)；
2023
(Ⅲ)设函数 ( ) = ( ) + ( )具有性质 ( )，其中 ( )是奇函数， ( )是偶函数.若 ( ) = 1，求 ( )的
2 2
值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2√ 6
12.【答案】
5
2 4
13.【答案】[ , ]
3 3
11 4√ 6
14.【答案】{ | > 4} { |0 < < }
25
3 1 1√ 3 0 1 4( 4) ( ) +0.252×( )
15.【答案】解：(1) 2 √ 21 1
2 22 32 49+ 2+ 510
1
4 1+ ×4
= 21 2 2 3
× + 2+ 5
2 3 2 2
4 1+2
= 1 = 6；
1+1
2
lg√ 27+ 8 lg√ 1000
(2)
1.2
3 3
3+3 2
= 2 2
3
= ．
2 2+ 3 1 2

16.【答案】解：(1)因为 ( ) = √ 2sin( + )( > 0,0 < < )， (0) = 1，最小正周期 ．
2
2
所以 = ，所以 = 2；

所以 (0) = √ 2 = 1，
√ 2
所以 = ，
2

又因为0 < < ，
2
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所以 = ，
4

所以 ( ) = √ 2sin(2 + )；
4

(2)当 ∈ [ , ]时，则2 + ∈ [0, ]，
8 8 4 2

所以sin(2 + ) ∈ [0,1]，
4

所以 ( ) = √ 2sin(2 + ) ∈ [0, √ 2]；
4
令 = ( ) ∈ [0, √ 2]，
则有 2 ≤ 0在 ∈ [0, √ 2]上恒成立，
2 1
即 ≥ = ( + 1) + 2在 ∈ [0, √ 2]上恒成立，
+1 +1
令 = + 1 ∈ [1,1 + √ 2]，
1
由对勾函数的性质可知 = + 2在 ∈ [1,1 + √ 2]上单调递增，

1 1
所以( + ) = 1 + √ 2 + 2 = 2√ 2 2， 1+√ 2
所以 ≥ 2√ 2 2，
所以实数 的取值范围为[2√ 2 2, +∞)．
2 = 0 = 2
17. 0【答案】解：(1)由已知将前2列数据代入解析式①有{ ，解得：{ ,
4 = √ 2 + 0 = √ 2
∴ ① = √ 2 + 2；
2 = = 2
将前2列数据代入解析式②有{ 0 ，解得：{ 0 ，
4 = 3 + 0 = 2 3
( +1)
∴ ② = 2 3 ( + 1) + 2 = 2
3
3 + 2 = 2 3( + 1) + 2． 3
(2)当 = 8时，模型① = 4 + 2 = 6，模型② = 2 39 + 2 = 6；
2 17
当 = 16时，模型① = 4√ 2 + 2 ≈ 7.66，模型② = 2 317 + 2 = + 2 ≈ 7.13； 3
∴选模型②，
当总量 再翻一番时有：8 = 2 3( + 1) + 2，解得 = 26，
即再经过26 2 = 24个月时，总量 能再翻一番．
18.【答案】解：(1) ∵ ( ) = 是定义域为 上的奇函数，故 (0) = 0，得 = 1，
此时， ( ) = ， ( ) = = ( )，
即 ( )是 上的奇函数．
(2) = 1，即2 2 3 2 = 0，
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1
= 2或 = (舍去)，
2
∴ ( ) = 22 + 2 2 4(2 2 )2 4(2 2 ) + 2，
令 = 2 2 (1 ≤ ≤ 2)，
3 15
易知 = ( )在[1,2]上为增函数，∴ ∈ [ , ]，
2 4
∴ ( ) = ( ) = 2 4 + 2 = ( 2)2 2，
15 17
当 = 时， ( )有最大值 ；
4 16
当 = 2时， ( )有最小值 2，
17
故 ( )的值域是[ 2, ]．
16
| | , ≥ 0,(3)由 > 1, ( ) = | ( )| = {

，
, < 0,
则 ( )为偶函数，且 ( )在( ∞, 0)单调递增，在(0, +∞)单调递减，
2 , ≥ 0 2 , ≥ 0
又[ ( )]2 = { 2 ， (2 ) = { 2 ， , < 0 , < 0
∴ ( + ) ≤ [ ( )]2 = (2 )，
对任意 ∈ [ , + 1]恒成立，即|2 | ≤ | + |对任意 ∈ [ , + 1]恒成立，
平方得：3 2 2 2 ≤ 0对 ∈ [ , + 1]恒成立，
3 2 2 2 ≤ 0
∴ { ，
3( + 1)2 2 ( + 1) 2 ≤ 0
3
解得： ≤ ，
4
3
综上可得： 的取值范围是( ∞, ]．
4
19.【答案】解：(1)①因为 1( + 2) = sin[ ( + 2)] = = 1( )，所以 1( )具有性质 (2)；
②因为 2( + 2) = ( + 2)
2 = 2 + 4 + 4 ≠ 2( ) + ，所以 2( )不具有性质 (2)；
③ 3( + 2) = 2( + 2) + 1 = 3( ) + 4，所以具有性质 (2)．
(2)因为函数 ( )具有性质 ( 2)，则存在常数 2使得 ( + 2) = ( ) + 2对任意 ∈ 恒成立．
因为函数 ( )具有性质 ( 1)，则存在常数 1使得 ( + 1) = ( ) + 1对任意 ∈ 恒成立，
故 ( 1 + 1) = ( 1) + 1，即 ( 1) = ( ) 1也对任意 ∈ 恒成立，
因此 ( + 2 1) = ( + 2) 1 = ( ) + 2 1对任意 ∈ 恒成立．
又因为 2 > 1 > 0，
所以函数 ( )具有性质 ( 2 1).
(3)由已知存在 满足 ( + ) = ( ) + ，即 ( + ) + ( + ) = ( ) + ( ) + ，
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令 = ，则 ( + ) + ( + ) = ( ) + ( ) + ①，
令 + = ，则 ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + ②，
因为 ( )是奇函数， ( )是偶函数，
所以 ( ) = ( )， ( ) = ( )， ( ) = ( + )， ( ) = ( + )，
① + ②，整理得 ( + ) = ( ) + ，

令 = ，则 ( ) = ( ) + ，即 ( ) = ，
2 2 2 2 2

又因为 ( ) = 1，所以 = 2，
2
2033
所以 ( ) = (1011 + ) = (1010 + ) + 2 = = 1011 × 2 + ( ) = 2023．
2 2 2 2
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