宁夏回族自治区银川市宁夏大学附中2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

宁夏大学附中 2024-2025 学年高一上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = {0,1,2}， = { 1,0,3}，则 ∩ =( )
A. {0,1} B. {0} C. {0,1,2} D. { 1,0,1}
2.命题“ ∈ ， 2 3 + 3 < 0”的否定是( )
A. ∈ ， 2 3 + 3 > 0 B. ∈ ， 2 3 + 3 ≥ 0
C. ∈ ， 2 3 + 3 > 0 D. ∈ ， 2 3 + 3 ≥ 0
3.已知 ： 1 ≤ < 3， ： ≤ 3，则 是 的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.不等式 2 + 5 6 > 0的解集是( )
A. { | < 2或 > 3} B. { | 2 < < 3}
C. { | < 6或 > 1} D. { | 6 < < 1}
5.下列结论正确的是( )
A. 若 > ，则 > B. 若 2 > 2，则 >
C. 若 > ， < 0，则 < D. 若√ < √ ，则 >
3
6.已知函数 ( ) = 2 ，则 ( )的大致图象为( ) +1
A. B.
C. D.
1
7.函数 = 的单调增区间为( )
4+3 2
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3 3
A. [ , +∞) B. ( 1, ]
2 2
3 3
C. [ , 4)和(4, +∞) D. ( ∞, 1) ∪ ( 1, ]
2 2
2 1
8.若 > 0， > 0，且 + = 1， + 2 > 2 + 7 恒成立，则实数 的取值范围是( )

A. 8 < < 1 B. < 8或 > 1
C. < 1或 > 8 D. 1 < < 8
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.由 2，2 ，4组成一个集合 ，且集合 中含有3个元素，则实数 的取值不可能是( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
10.下列函数中，既是偶函数又在区间(0, +∞)上为增函数的是( )
1
A. = 2 B. = 2 + 2 C. = D. = | | + 1

11.在下列四组函数中， ( )与 ( )不表示同一函数的是( )
2 1
A. ( ) = 1， ( ) =
+1
+ 1, ≥ 1
B. ( ) = | + 1|， ( ) = {
1, < 1
C. ( ) = 1， ( ) = ( + 1)0
D. ( ) = ， ( ) = (√ )2
12.若 ( )是定义域为 的偶函数，且 ( )在[0, +∞)上为减函数，则下列选项正确的是( )
A. ( )的图象关于 轴对称 B. ( )在( ∞, 0)上为减函数
C. 当 = 0时， ( )取得最大值 D. ( ) < (3) < ( 2)
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知幂函数 = ( )的图象经过点(4,2)，则 (2)的值为 ．
1
14.函数 ( ) = + √ 1 的定义域是______．

2 4, > 2
15.已知 ∈ ，函数 ( ) = { ，若 [ (√ 6)] = 3，则 =______．
| 3| + , ≤ 2
( 1) ( )16.已知函数 = ( )， ∈ [ 2,2]，对任意的 1、 2 ∈ [ 2,2]且
2
1 ≠ 2，总有 > 0，若 ( + 1) > 1 2
(2 )，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合 = { | 1 < < 2}， = { | + 1 ≤ ≤ 2 + 3}．
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(1)当 = 0时，求 ( ∪ )；
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)

已知函数 ( ) = + ( > 0)．

(1)若 (1) = 3，求 的值；
(2)判断函数 ( )的奇偶性并证明．
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 + 4．
(1)若函数 ( )在区间[1,4]上是单调递增函数，求实数 的取值范围；
(2)若 ( ) > 0对一切实数 都成立，求实数 的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且当 ≥ 0时， ( ) = (1 )．
(1)求函数 ( )在 上的解析式．
(2)在给出的直线坐标系中，画出函数 ( )的图象．
(3)根据图象写出 ( )的单调区间(不必证明)．
21.(本小题12分)
通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：
讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注
意力开始分散．分析结果和实验表明，用 ( )表示学生掌握和接受概念的能力( ( )的值越大，表示学生的
接受能力越强)， 表示提出和讲授概念的时间(单位： )，可有以下公式：
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0.1 2 + 2.6 + 43(0 < ≤ 10)
( ) = {59(10 < ≤ 16) ．
3 + 107(16 < ≤ 30)
(1)讲课开始后5 和讲课开始后20 比较，何时学生的注意力更集中？
(2)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，能持续多久？
(3)一道数学难题，需要讲解13 ，并且要求学生的注意力至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状
态下讲授完这道题目？请说明理由．
22.(本小题12分)
定义在(0, +∞)上的函数 ( )，对任意的 ， ∈ (0, +∞)，都有 ( ) = ( ) + ( )成立，且当 > 1时，
( ) > 0．
(1)求 (1)的值；
(2)证明： ( )在(0, +∞)上为增函数；
1
(3)当 (2) = 时，解不等式 ( ) > 1 ( 3)．
2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】√ 2
14.【答案】( ∞, 0) ∪ (0,1]
15.【答案】2
16.【答案】[ 1,1)
17.【答案】解：(1) = { | + 1 ≤ ≤ 2 + 3}，则 = 0时， = { |1 ≤ ≤ 3}，
∴ ∪ = { | 1 < < 2} ∪ { |1 ≤ ≤ 3} = { | 1 < ≤ 3}，
∴ ( ∪ ) = { | ≤ 1或 > 3}；
(2)若 ∪ = ，则 ，
当 + 1 > 2 + 3即 < 2时， = ，满足 ；
当 + 1 ≤ 2 + 3即 ≥ 2时， ≠ ，
≥ 2
1
则由 ，可得{ + 1 > 1，解之得 2 < < ，
2
2 + 3 < 2
1
实数 的取值范围为( ∞, 2) ∪ ( 2, )．
2

18.【答案】解：(1) ∵ ( ) = + ( > 0)，且 (1) = 3，

∴ 1 + = 3，解得 = 2；

(2) ( ) = + ( > 0)为奇函数．

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证明：∵ ( ) = + ( > 0)的定义域为( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，关于原点对称，


又 ( ) = = ( + ) = ( )，

∴函数 ( )为奇函数．
19.【答案】解：(1)因为函数 ( )在区间[1,4]上是单调递增函数，且 ( )的对称轴为 = ，
所以 ≤ 1，解得 ≥ 1，即 的取值范围是[ 1, +∞)．
(2)若 ( ) > 0对一切实数 都成立，
则 = 4 2 16 < 0，解得 2 < < 2，
即实数 的取值范围是( 2,2)．
20.【答案】(1)、因为 ≥ 0时， ( ) = (1 )，所以，当 < 0时， > 0，
∴ ( ) = (1 + )，又因为 ( )为奇函数，所以 ( ) = ( )，
∴ ( ) = (1 + )，即 ( ) = (1 + )
(1 ), ≥ 0
( ) = { ．
( + 1), < 0
(2)
1 1 1 1
(3)单调增区间是( , )，单调减区间是( ∞, )和( , +∞)．
2 2 2 2
21.【答案】解：(1)由题意得， (5) = 53.5， (20) = 47 < (5)，
所以讲课开始后5 学生注意力更集中；
(2)当0 < ≤ 10时， ( ) = 0.1 2 + 2.6 + 43 = 0.1( 13)2 + 59.9，
所以 ( )在(0,10]上单调递增，最大值为 (10) = 0.1(10 13)2 + 59．
当10 < ≤ 16时， ( ) = 59；
当 > 16时，函数 ( )为减函数，且 ( ) < 59．
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因此开讲10分钟后，学生的接受能力最强(为59)，能维持6分钟；
(3)当0 < ≤ 10时，令 ( ) = 55，解得 = 6或20(舍去)；
52
当 > 16时，令 ( ) = 55，解得 = ，
3
52 34
可得学生一直达到所需接受能力55的状态的时间 6 = < 13，
3 3
因此老师不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．
22.【答案】(1)解：令 = = 1，则 (1) = (1) + (1)，∴ (1) = 0；

(2)证明：设0 < 1 < 2，则
2 > 1，∴ ( 2) > 0，
1 1

∴ ( 1) ( 2) = ( 1) ( 1
2) = ( 1) ( 1) (
2) = ( 2) < 0，
1 1 1
即 ( 1) < ( 2)，
∴ ( )在(0, +∞)上为增函数；
(3)解：∵ (4) = (2) + (2) = 1，∴ ( ) + ( 3) > (4)，
∴ ( 2 3 ) > (4)，∵ ( )在(0, +∞)上为增函数，
> 0
∴ { 3 > 0 ，
2 3 > 4
解得 > 4，
所以不等式的解集为{ | > 4}．
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