河北省唐山市玉田第一中学2024-2025学年高二上学期质检数学试卷（PDF版，含答案）

河北省唐山市玉田第一中学 2024-2025 学年高二上学期质检数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过空间三点 (1,1,0)， (1,0,1)， (0,1,1)的平面的一个法向量是( )
A. (1,1,1) B. (1,1, 1) C. (1,0,1) D. ( 1,0,1)
2.若直线过点(1,2)，点(4,2 + √ 3)，则此直线的倾斜角是( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
3.已知 为空间任意一点， ， ， ， 四点中任意三点不共线，但四点共面，且 = + 2 + ，
则 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
4.若直线 + 2 = 0与直线 2 + + 1 = 0垂直.则 =( )
A. 1 B. 1 C. 0 D. 0或 1
5.正四棱锥 的所有边长都相等， 为 的中点，则 与 所成角的余弦值为( )
1 1 √ 3 √ 3
A. B. C. D.
3 2 3 2
6.两点 ( 1,0)， (0,2)，点 是圆( 2)2 + 2 = 1上任意一点，则△ 面积最小值是( )
√ 5 √ 5
A. √ 5 B. 2 C. 3 + D. 3
2 2
7.二面角的棱上有 ， 两点，直线 ， 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 .已知 = 4，
= 6， = 8， = 2√ 17，则该二面角的大小为( )
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
8.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形，侧棱 的长为2，且
与 ， 的夹角都等于60°，若 是 的中点，则| | =( )
√ 6
A.
2
√ 6
B.
3
√ 6
C.
4
√ 6
D.
5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线 ： √ 3 + 1 = 0，则( )
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A. 直线 的倾斜角为
3
√ 3
B. 直线 与两坐标轴围成的三角形面积为
6
C. 点(0,√ 3)到直线 的距离为1
D. 直线 关于 轴对称的直线方程为√ 3 + 1 = 0
10.已知圆 ： 2 + 2 4 14 + 45 = 0及点 ( 2,3)，则下列说法正确的是( )
A. 点 的坐标为(2,7)
B. 点 在圆 外
1
C. 若点 ( , + 1)在圆 上，则直线 的斜率为
4
D. 若 是圆 上任一点，则| |的取值范围为[2√ 2, 6√ 2]
11.如图，四棱锥 中，底面 是正方形， ⊥平面 ， = ， ， 分别是 ， 的中
点， 是棱 上的动点，则( )
A. ⊥
B. 存在点 ，使 //平面
C. 存在点 ，使直线 与 所成的角为30°
D. 点 到平面 与平面 的距离和为定值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知直线 外一点 ( 1,0,2)，直线 过原点 ，且平行于向量 = (0,4,2)，则点 到直线 的距离为______．
13.已知线段 的端点 ( 1,3)， (5,2)，直线 ： 2 3 = 0与线段 相交，则 的取值范围是______．
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14.过点 (4,1)作直线 分别交 轴， 轴正半轴于 ， 两点， 为坐标原点．当| | + | |取最小值时，直
线 的方程为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线 1： + ( 2) = 0， 2： + 2 = 0，且满足 1 ⊥ 2，垂足为 ．
(1)求 的值及点 的坐标．
(2)设直线 1与 轴交于点 ，直线 2与 轴交于点 ，求△ 的外接圆方程．
16.(本小题15分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， 1 = = = 2， ， ， 分别为 ， ， 1 1的中
点．
(1)求证： //平面 1 ；
(2)求二面角 1 的余弦值．
17.(本小题15分)
已知直线 ： + + 1 = 0，点 ( 2,1)．
(1)若点 到直线 的距离为 ，求 的最大值及此时 的直线方程；
(2)当 = 2时，过点 的一条入射光线经过直线 反射，其反射光线经过原点，求反射光线的直线方程．
18.(本小题17分)
如图，在三棱锥 中， = 2， = 4，△ 为正三角形， 为 的中点，∠ = ∠ = 90°．
(1)求证：面 ⊥面 ；
(2)若 为 中点，求平面 与平面 夹角的值；
(3)求点 到平面 的距离．
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19.(本小题17分)
在梯形 中， // ，∠ = 60°， = 2 = 2 = 4， 为 的中点，线段 与 交于 点，
将△ 沿 折起到△ ′的位置，使得平面 ⊥平面 ′．
(1)求证： //平面 ′；
(2)平面 与平面 ′夹角的余弦值；

(3)线段 ′上是否存在点 ，使得 与平面 ′所成角的正弦值为√ 6？若存在，求出 的值：若不存在，
8 ′
请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 105
12.【答案】
5
5
13.【答案】( ∞, 2] ∪ [ , +∞)
3
14.【答案】 + 2 6 = 0
1
15.【答案】解：(1)显然 ≠ 2，可得 1 = ， = ， 2 2
由 1 ⊥ 2，
可得 1 2 = 1，
1
即( ) ( ) = 1，
2
解得 = 1，
所以直线 1： = 0，直线 2： + 2 = 0，
= 0
联立方程组{ ，
+ 2 = 0
= 1
解得{ ，
= 1
所以点 (1,1)．
(2)由直线 1： = 0，直线 2： + 2 = 0，
可得 (0,0)， (2,0)，
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1
所以△ 的外接圆是以 为直径的圆，可得圆心(1,0)，半径 = | | = 1，
2
所以△ 的外接圆方程是( 1)2 + 2 = 1．
16.【答案】解：(1)证明：连接 1 ，因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 //
在三棱柱 1 1 1中， // 1 1，
所以 // 1 1， ， ， 1， 1四点共面．
因为 // 1 1， = 1 1， ， 分别为 ， 1 1的中点，
所以 // 1 ， = 1 ，
所以四边形 1 为平行四边形，
所以 // 1.因为 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 //平面 1 ．
(2)由题设 1 ⊥平面 ，所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
因为 ⊥ ，
所以 ， ， 1两两垂直．如图建立空间直角坐标系 ，
所以 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,2,0)， (1,0,0)， (1,1,0)， 1(2,0,2)， 1(0,2,2)，
= (0,1,0), 1 = ( 1,1,2), 1 1 = ( 2,2,0)，
平面 的一个法向量是 = (0,0,1)，设平面 1的法向量为 = ( , , )，
= = 0
则{ ，令 = 2，得 = (2,0,1)，
1 = + + 2 = 0
设二面角 1 的平面角为 ，
| | √ 5
则 ，由图可知 为锐角，所以 √ 5| | = = = ．
| | | | 5 5
1 = 0
17.【答案】解：(1)直线 ： + + 1 = 0，整理得( 1) + ( + 1) = 0，故{ ，
+ 1 = 0
= 1
解得{ ，故直线 恒过点 (1, 1)．
= 1
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故点 ( 2,1)到直线 的距离的最大值 = √ ( 2 1)2 + (1 + 1)2 = √ 13．
1+1 2 3
直线 的斜率为 = = ，故直线 的斜率 = ， 2 1 3 2
3 1 2
故 = ，解得 = ，
2 3
2 5
故直线 的方程为 = 0，整理得3 2 5 = 0．
3 3
(2)由于直线 恒过点 (1, 1)，当 = 2时，直线 的方程为 + 2 + 1 = 0；
点 ( 2,1)关于直线 + 2 + 1 = 0的对称点 ( , )，
2 1+ 12
+ 2 × + 1 = 0 =
所以{ 2 2 1 ，解得{
5 ，
1
= 2 =
+2 5
由于该直线经过原点，
1 12
所以直线的方程经过点 ( , )和原点 (0,0)，
5 5
故反射光线的直线方程为 = 12 ，即12 + = 0．
18.【答案】解：(1) ∵ ∠ = ∠ = 90°，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
又 ∩ = ，
∴ ⊥面 ，
又 面 ，
∴面 ⊥面 ；
(2)因为 为正三角形为 中点，
所以 ⊥ ，又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
又 为 的中点，所以 // ， ⊥ ，
如图以 为原点建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (0,0,√ 3)， (0,2,0)， ( 1,0,0)， ( 1,4,0)，
= (0,4,0), = (1,0, √ 3)，
显然 = ( 1,0,0)是平面 的一个法向量，
不妨设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
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则{
= 0 4 = 0，即{ ，取 = 1，得 = 0, = √ 3，则 = ( √ 3, 0,1)，
= 0 + √ 3 = 0
设所求夹角为 ，则 |( 1)×( √ 3)| √ 3 = |cos < , > | = = ，
1×2 2

故面 与面 的夹角为 ；
6
(3)由(2)得 = (1,2,0)，面 的一个法向量为 = ( √ 3, 0,1)，
| | √ 3
则 到面 的距离 = = ．
| | 2
19.【答案】解：(1)证明：如图，连接 ，
∵ = 2 = 4， 为 的中点， // ，
∴ = = 2， // ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ 是 ， 的中点，
∵ 是 的中点，
∴ // ，
∵ 平面 ′， 平面 ′，
∴ //平面 ′；
(2) ∵平面 ⊥平面 ′，交线为 ， ′ = ′ ， 是 的中点，
∴ ′ ⊥ ，
∵ ′ 平面 ′，
∴ ′ ⊥平面 ，
∵ ， 平面 ，
∴ ′ ⊥ ， ′ ⊥ ，
∵ ∠ = 60°， = ，
∴三角形 为等边三角形，
∵ 是 的中点，
∴ ⊥ ，
∴ ′， ， 两两垂直，
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则以 为坐标原点，分别以 ， ， ′为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵ = 2 = 2 = 4，
∴ (√ 3, 0,0), ( √ 3, 2,0), ( √ 3, 0,0), ′(0,0,1)， = (0, 2,0), ′ = (√ 3, 2,1)，
设平面 ′的法向量为 = ( , , )，
= 2 = 0
则{ ，
′ = √ 3 2 + = 0
解得： = 0，令 = 1，则 = √ 3，
所以 = (1,0, √ 3)，
平面 的法向量为 = (0,0,1)，
设平面 与平面 ′的夹角为 ，
| | |(1,0, √ 3) (0,0,1)| √ 3
则 = |cos , | = = = ，
| | | | 2 2
故平面 与平面 ′
√ 3
的夹角的余弦值为 ；
2
(3)存在点 ，
理由如下：设 (0, , 1 )， ∈ [0,1]，
则 = (0, , 1 ) ( √ 3, 0,0) = (√ 3, , 1 )，
由(2)知：平面 ′的法向量为 = (1,0, √ 3)，
设 与平面 ′所成角为 ，
| | |(√ 3, ,1 ) (1,0, √ 3)| √ 6
则 = |cos , | = = =| | | | 2 8 ，
2√ 3+ 2+(1 )
2
因为 ∈ [0,1]，解得： = ，
3
1
故 = ．
′ 3
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