上海师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

上海师范大学附属中学 2023-2024 学年高二下学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下表是“膜法世家”形象代言人选举得票情况统计，其中周柯宇的票数被污损了无法看清，那么应该当
选的人是( )
姓名 张元英 林正英 米卡 周柯宇 林墨 合计
票数 250 200 380 ■ 320 1550
A. 米卡 B. 周柯宇 C. 无法确定 D. 合计
2.高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中
1
一个选项，正确的概率是 ，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中1个选项，则一定有3道题答
4
对.”这句话( )
A. 正确 B. 错误 C. 不一定 D. 无法解释
3.如图，在下列各正方体中， 为正方体的一条体对角线， 、 分别为所在棱的中点，则满足 ⊥ 的是( )
A. B.
C. D.

4.已知 ， 为同一次试验中的两个随机事件，且 ( ) > 0， ( ) > 0，命题甲：若 ( | ) + ( ) = 1，则

事件 与 相互独立；命题乙：“ 与 相互独立”是“ ( | ) = ( | )”的充分不必要条件；则命题( )
A. 甲乙都是真命题 B. 甲是真命题，乙是假命题
C. 甲是假命题，乙是真命题 D. 甲乙都是假命题
二、填空题：本题共 12 小题，共 54 分。
5.某读书会有5名成员，假期他们每个人阅读的本数分别如下：3，5，4，2，1，则这组数据的60%分位数
为______．
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6.一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为 ．
7.已知 4 = 4 +1 +
5
( ∈
)，则 = ______．
8.如图8只小猫围绕在2 × 2的单位正方形的交叉点上，随机选取两只，它们
之间距离为1的概率是______．
9.在空间直角坐标系中，已知点 (2,3,1)， ( 1,1, 1)， (0, 1,1)， (1,1, )，若 ， ， ， 四点共面，
则 = ______．
10.《九章算术》中的“商功“篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的
计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵 1 1 1中，
1
是 1 1的中点， = 2 1 = 2 ， = 1， = 3 ，若 = +3 1
+ ，则 + + =______．
11.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克 牛顿于1664年、1665年间提出，据考证，我国至迟在11
1
世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则．在( 2 )5的二项式展开式中， 的系数为______．
2
12.已知空间向量 = (1,0,1)， = (1,1,1)，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是 ．
13.在《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子
净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心
熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有______种.
14.连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角
(0° < < 360°)，使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体
的旋转轴.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点 ， ， ，
在同一平面内，则这个八面体的旋转轴共有______条.
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15.设样本空间 = 1，2，3，4，5，6，7，8的样本点都是等可能出现的，且事件 = {1,2,3,4}，事件 = {1,2,3,5}，
事件 = {1, , , 8}，使得 ( ) = ( ) ( ) ( )，且满足 ， ， 两两不独立，则 + = ______．
16.已知正四面体 的棱长为2，动点 满足 = 0，且 = 0，则点 的轨迹长为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 78 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为 ， ，将事件“log( +1) 为整数”记为 ，将事件
“ + 为偶数”记为 ，将事件“ + 2 为奇数”记为 ．
(1)试判断事件 与事件 是否相互独立？并说明理由；
(2)求 ( | )的值．
18.(本小题14分)
已知甲组数据 1， 2，…， 15的茎叶图如图所示，其中数据的整数部分为茎，数据的小数部分(仅一位小数
)为叶，例如第一个数据为5.3．

(1)甲组数据的平均值 、方差 21 1、中位数 ；
(2)乙组数据为 1， 2，…， 15，且甲、乙两组数据合并后的30个数据的平均值 = 9.2，方差
2 = 11.23，

求乙组数据的平均值 2和方差
2
2，写出必要的计算过程和步骤．
19.(本小题14分)
某企业为了了解本企业员工每天慢走与慢跑的情况，对每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工，随机
抽取 人进行调查，将既参加慢走又参加慢跑的人称为“ 族”，否则称为“非 族”，得如下的统计表以
及每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工人数的频率分布直方图(部分)：
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组数 分组 人数 本组中“ 族”的比例
1 [25,30) 200 0.6
2 [30,35) 300 0.65
3 [35,40) 200 0.5
4 [40,45) 150 0.4
5 [45,50) 0.3
6 [50,55) 50 0.3
(1)试补全频率分布直方图，并求 与 的值：
(2)从每天慢走时间在[40,50)(分钟)内的“ 族”中按时间采用分层抽样法抽取6人参加企业举办的健身沙
龙体验活动，再从这6人中选2人作健身技巧与减脂秘籍的发言，求这2人每天慢走的时间恰好1人在[40,45)
分钟内，另一个人在[45,50)分钟内的概率．
20.(本小题18分)
如图所示的空间直角坐标系 中，所有坐标均为整数的点称为整点；已知正方体 1 1 1 1的
棱长为 ，点 满足 = + 1，其中 ∈ [0,1]， ∈ [0,1]．

(1)若 = 1，且直线 1 与平面 1 1 所成角大小为 ，求点 的轨迹长度； 4
(2)若 = 1， = 1，求正方体经过点 1， ， 的截面面积 的取值范围；
(3)若 = 8，求三棱锥 1 内(不包括表面边界)整点的个数．
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21.(本小题18分)
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为
世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数 = [ ]( ∈ )称为高斯函数，其中[ ]表示不超过 的最大整数.
已知： ( ) = ( + √ 3)
，( ∈ , ≥ 1)
(1)若 ( 1) = + √ 3 ， ， ∈ ，求 4 + 4的值；
(2)若 (1) = + √ 3 ， ， ∈ ，求证：
2
2 3
2
2 = 4 ；

(3)设 = ∑2024
2024 +2024
=1 [ ]，求 除以2023的余数．
( 1) 2023
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】3.5
6.【答案】60°
7.【答案】8
2
8.【答案】
7
9.【答案】1
11
10.【答案】
8
5
11.【答案】
4
2 2 2
12.【答案】( , , )
3 3 3
13.【答案】12
14.【答案】13
15.【答案】13
16.【答案】√ 3
17.【答案】解：(1)先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为 ， ，
则基本事件总数为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种情况，
满足事件 的有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，
(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18个，
18 1
故 ( ) = = ，
36 2
满足事件 的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，
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(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，共18个，
18 1
故 ( ) = = ，
36 2
满足事件 的有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共9个，
9 1
所以 ( ) = = = ( ) ( )，
36 4
所以事件 与事件 相互独立；
(2)满足事件 的有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(3,1)，(3,4)，(5,6)，(5,1)，共7种，
7
所以 ( ) = ，
36
7
( ) 7
所以 ( | ) = = 36 = ，
( ) 1 18
2
18.【答案】解：(1)甲组数据为5.3，6.5，7.4，7.6，8.1，8.1，8.1，8.2，8.2，8.4，9.5，9.8，10.5，11.0，
13.8，
所以甲组数据的中位数为 = 8.2，
1
甲组数据的平均值为 1 = (5.3 + 6.5 + 7.4 + 7.6 + 8.1 × 3 + 8.2 × 2 + 8.4 + 9.5 + 9.8 + 10.5 + 11.0 +15
13.8) = 8.7．
1
甲组数据的方差为 2 21 = [(5.3 8.7) + (6.5 8.7)
2 + (7.4 8.7)2 + (7.6 8.7)2 + (8.1 8.7)2 × 3 +
15
(8.2 8.7)2 × 2 + (8.4 8.7)2 + (9.5 8.7)2 + (9.8 8.7)2 + (10.5 8.7)2 + (11.0 8.7)2 + (13.8
8.7)2] = 3.824．

15×8.7+15
(2)由 2 = 9.2，可得 = 9.7，
30 2
1
∑15 2 2
15 =1
8.7 = 3.824
由{ ，解得∑15 2 = 1192.71，∑15 2
1
= 1683.39，
(∑15 2
=1 =1
=1 + ∑
15 2 2 =1 ) 9.2 = 11.2330
1
所以 2 = ∑15 2
1
2 =1 9．7
2 = × 1683.39 9．72 = 18.136．
15 15
19.【答案】解：(1)第二组的频率为1 (0.04 + 0.04 + 0.03 + 0.02 + 0.01) × 5 = 0.3，
0.3
所以第二组小矩形高为 = 0.06.补全后的频率直方图如下：
5
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200
第一组的频率为0.04 × 5 = 0.2，所以 = = 1000．
0.2
第五组的频率为0.02 × 5 = 0.1，所以 = 1000 × 0.1 = 100．
(2)因为[40,50)分钟的“ 族”人数为150 × 0.4 = 60，
[45,50)分钟的“ 族”人数为100 × 0.3 = 30，二者比例为60：30 = 2：1，
所以按时间采用分层抽样法抽取6人，[40,45)分钟内抽取4人，[45,50)分钟内抽取2人．
设这2人每天慢走的时间恰好1人在[40,45)分钟，另一个人在[45,50)分钟为事件 ，
在[40,45)分钟内抽取4人记为 ， ， ， ，[45,50)分钟内抽取2人记为 ， ，
则有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
共15种不同的抽取方法，事件 有 ， ， ， ， ， ， ， ，共8种，
8
所以 ( ) = ，即选出发言的2人每天慢走的时间恰好1人在[40,45)分钟内，
15
8
另一个人在[45,50)分钟内的概率为 ．
15
20.【答案】解：(1)空间直角坐标系 中，所有坐标均为整数的点称为整点，
正方体 1 1 1 1的棱长为 ，点 满足 = + 1，其中 ∈ [0,1]， ∈ [0,1]，
连接 1 ，
∵ 1 1 ⊥平面 1 1， 1 为 1 在平面 1 1上的射影，
∴直线 1 与平面 1 1 所成角的平面角为∠ 1 1，

由已知∠ 1 1 = ， 4
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1
则 1 = 1 1 = 1，故 点轨迹为以 1为圆心，1为半径的 圆在正方形 4 1
1 内的部分，
1
∴点 的轨迹长度为 × 2 × 1 = ，
4 2
(2)在正方体 1 1 1 1中，以 为坐标原点，
以 ， ， 1所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
∵ = 1，
∴ (1,1,0)， (0,1,0)， 1(1,1,1)， 1(0,0,1)，
∵ = + 1， = 1，
∴ = + ，即 1 = 1，
∴ 点在 1上运动，则 (0,1, )，
过点 1作 1 // ，交 1与点 ，连接 ，
∵平面 1 1//平面 1 1，
平面 1 1 ∩平面 1 = ，平面 1 1 ∩平面 1 = 1 ，
∴ // 1 ，又 1 // ，
∴在正方体中经过点 1， ， 的截面为平行四边形 1 ，如图，
则 = (1,0, )， 1 = (1,1, 1)，
∴点 到 1 的距离为：
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2 1

2 2 1+ 2 √ 2
2 2 +2
= √ | | ( ) = √ 1 + ( ) = ，
| 1 | √ 3 3
∵ ∈ [0,1]，故当 取0或1时， 取到最大值 2√ ，
3
此时截面面积的最大值为 1 22 △ = 2 × × √ 3 × √ = √ 2， 1 2 3
1
当 时， 取到最小值√ 2 = ，
2 2
1 √ 2 √ 6
此时截面面积的最小值为2 △ = 2 × × √ 3 × = ， 1 2 2 2
∴当 = 1
√ 6
时，在正方体中经过点 1， ， 的截面面积的取值范围为[ , √ 2]． 2
(3)如图，过 轴上的点 2(0,0,7)， 3(0,0,6)， 4(0,0,5)， 5(0,0,4)， 6(0,0,3)，
7(0,0,2)， 8(0,0,1)，作三棱锥 1 平行于底面 的截面，
则三棱锥 1 内(不包括表面边界)整点一定位于各截面内，
截面 2 2 2内的整点个数为0，
截面 3 3 3内的整点个数为0，
截面 4 4 4内的整点有1个，为(1,1,5)，
截面 5 5 5内的整点有3个，分别为：(1,1,4)，(1,2,4)，(2,1,4)，
截面 6 6 6内的整点有6个，分别为：(1,1,3)，(1,2,3)，(1,3,3)，(2,1,3)，(2,2,3)，(3,1,3)，
截面 7 7 7内的整点有10个，分别为：
(1,1,2)，(1,2,2)，(1,3,2)，(1,4,2)，(2,1,2)，(2,2,2)，(2,3,2)，
(3,1,2)，(3,2,2)，(4,1,2)，
截面 8 8 8内的整点有15个，分别为：
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(1,1,1)，(1,2,1)，(1,3,1)，(1,4,1)，(1,5,1)，(2,1,1)，(2,2,1)，
(2,3,1)，(2,4,1)，(3,1,1)，(3,2,1)，(3,3,1)，(4,1,1)，(4,2,1)，(5,1,1)，
∴三棱锥 1 内(不包括表面边界)整点个数为35．
21.【答案】解：(1)因为 ( 1) =

+ √ 3 ， ( ) = ( + √ 3) ，
所以当 = 4时， 44( 1) = ( 1 + √ 3) = 4 + √ 3 4，
而( 1 + √ 3)4 = ( 1 + √ 3)2( 1 + √ 3)2 = (4 2√ 3)2 = 28 16√ 3，
因为 ， ∈ ， 4 + √ 3 4 = 28 16√ 3，
所以 4 = 28， 4 = 16， 4 + 4 = 28 16 = 12．
(2)因为 ( ) = ( + √ 3)
， (1) = + √ 3 ， ， ∈ ，
则 22 3
2
2 = ( 2 √ 3 2 )( 2 + √ 3 2 ) = (1 √ 3)
2 (1 + √ 3)2 = [(1 √ 3)(1 + √ 3)]2 =
( 2)2 = 4 ．
故 2 3 2 = 4 2 2 ．

2024 +2024 (2023+1) +2023 +
(3) = = ，
( 1) 2023 ( 1) 2023
又(2023 + 1) = 02023 + 1 2023
1 + + 1 2023 +
0
2023 ，

(2023+1) 1
则 = 0 2023
1 + 1 2023
2 + + 1 + ，
2023 2023
2024
又 = + ，
2023 2023
2024 +2024
所以 = 02023 1 1
1
+ 2023
2 + + 1 + + + =
02023 1 + 12023 2 +
2023 2023 2023
1 +1+ + + ， 2023
所以当 = 2 ，(1 ≤ ≤ 1010, ∈ )，
2024 +2024 20242 +2024 2
[ ] = [ ]
( 1) 2023 2023
= [ 0 20232 1 + 1 20232 2 + + 2 1
2 +1
+ 2 + ] = 0 20232 1 + 1 20232 2 + + 2 12 2 2 2 2 2 + 2 ， 2023
其除以2023的余数为 2 12 + 2 = 2 + 2 = 4 ，
当 = 2 ，( = 1011, = 1012)时，
2024 +2024 20242 +2024 2
[ ] = [ ] = [ 0 2 1 1 2 2 2 1
2 +1
2023 2
2023 + 2 2023 + + 2 + 2 + ] =
( 1) 2023 2023
0 20232 1 + 1 2 2 2 12 2 2023 + + 2 + 2 + 1，
其除以2023的余数2022和3，
当1 ≤ ≤ 2024且 = 2 1，(1 ≤ ≤ 1011, ∈ )时，
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2024 +2024 20242 1+2024 (2 1)
[ ] = [ ( )] = [ (
0
2 12023
2 2 + 1 2 3 2 2
2023 2 1
2023 + + 2 1 + 2 1 +
( 1) 2023
2
)] = ( 02 12023
2 2 + 1 2 32 12023 + +
2 2
2023 2 1
+ 2 )，
其除以2023的余数为2023 (4 1) = 2024 4 ，
当 = 2 1， = 1012时，
2024 +2024 20242 1+2024 (2 1)
[ 0 ] = [ ( )] = [ ( 2 12023
2 2 + 1 2 3 2 2
2023 2 1
2023 + + 2 1 + 2 1 +
( 1) 2023
2
)] = ( 0 20232 2 + 1 2 3 2 2
2023 2 1 2 1
2023 + + 2 1 + 2 + 1)，
其除以2023的余数为2021，
除以2023的余数为∑1011( 4 ) + 2022 + 3 + ∑1011 =1 =1 ( 2024 4 ) + 2021除以2023的余数，
即2024 × 1011 + 2022 + 3 + 2021 = 2024 × 1011 + 4046除以2023的余数，
又2024 × 1011 + 4046 = (2023 + 1) × 1011 + 2023 × 2 = 2023 × 1011 + 1011 + 2023 × 2其除以2023的
余数为1011．
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