2024-2025学年辽宁省协作体高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省协作体高二上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.的展开式中，含的项的系数为( )
A. B. C. D.
4.如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
5.某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共个班，其中班有个志愿者队长，本次志愿者服务一共个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有人参加，则共有种分配方法．
A. B. C. D.
6.已知菱形的边长为，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面平面若点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，点是直线上与点不重合的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家；如果天不下雨，那么他不带雨伞假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线：的左、右焦点分别为过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有( )
A. 若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为或
B. 若，且，则双曲线的离心率为
C. 若，，则的取值范围是
D. 若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为
10.在棱长为的正方体中，为棱的中点，为线段上的动点含端点，则下列选项正确的有( )
A. 若直线与直线所成角为，则的最大值为．
B. 若点到平面的距离为，则的最小值为．
C. 若在该正方体内放入一个半径为的小球，则小球在正方体内不能达到的空间体积是．
D. 点从点出发匀速朝移动，点从点出发匀速朝移动．现同时出发，当到达时，恰好在的中点处．则在此过程中，两点的最近距离为．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知，且，则的最小值为 ．
12.已知两条互相垂直的直线，分别经过点，，公共点为，，则当取最小值时， ．
13.已知是空间单位向量，若空间向量满足，且对于任意，则 ， ．
14.数学家莱布尼兹是世界上首个提出二进制计数法的人，任意一个十进制正整数均可以用二进制数表示若正整数，其中或，则可以用位二进制数表示记的二进制各个位数和为，则例如，因此已知正整数且，则这样的有 个； ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，求：
；
．
16.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且点，在上
求圆的标准方程；
若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于，两点，求．
17.本小题分
如图，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面如图，的中点为．
求证：平面
若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，求
出点的位置若不存在，请说明理由．
18.本小题分
对于形如“”的绝对值方程，我们可以考虑将其与点到直线的距离公式：相关联．
设集合，点的坐标为，满足“存在，使得”的点构成的图形为，求证：的面积大于；
已知平面内的点异于原点，且点的坐标满足关系式若这样的点恰有三个，求实数的值．
19.本小题分
某校举行围棋比赛，甲乙丙三个人通过初赛，进入决赛已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为．
决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积分，负者积分，首先累计到分者获得比赛胜利，比赛结束假设，且每局比赛相互独立．
求乙连胜两局获得最终胜利的概率；
求比赛结束时乙获胜的概率；
若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略．
20.本小题分
如图，在抛物线上任选一动点，可认为其纵坐标为以为边长的正方形的面积，由此将抛物线下阴影部分的面积转化为四棱锥的体积，得，称其为抛物线的“三分之一”原则．
如图，在拟柱体中，底面为矩形，，点到底面的距离为，试利用抛物线的“三分之一”原则求拟柱体的体积；
已知类似于圆锥的空间几何体具有圆锥的一切对称性，且其顶点为，底面为，高为，将置于空间直角坐标系中，使其顶点与坐标原点重合，与平面平行且上任意一点坐标均可表示为若用任一平行于平面的平面截所得的截面的面积与到平面的距离有关系：设被平面所截得曲线为，
求的体积关于的表达式及在平面中的方程；
在平面中，过点作两条互相垂直的弦，分别交于两点，都在第一象限内且在的右侧，分别交于两点设的面积为的面积为，当点的横坐标时，求的最大值．
参考答案
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15.
由条件，取，得到；
取，得到
取，得到
两式相加得到，
所以．
根据知：
展开式的通项为：，
故当为偶数时，对应系数为正；当为奇数时，对应系数为负，
故
．

16.
设线段的中点为，则，
因为直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线所在的直线方程为，
由得
所以圆心，半径为，
所以圆的标准方程为；
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又直线经过点，所以直线的方程为，
即，
所以点到直线的距离为，
所以．

17.解：证明：因为，的中点为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
根据面面垂直的性质可得平面；
取的中点为，连接，则，由图直角梯形可知，为正方形，
，，，，．
由平面，可知，，两两互相垂直，
分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
设，
，
设平面的法向量为，
取，则，即平面的法向量为，
由平面，取平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得或舍
所以，线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为．
点位于线段靠近的三等分点处．
18.
因为，表示除原点外的平面内的所有点．
，
所以的轨迹为到直线和的距离之和不大于的点的集合．
如图：
因为，
所以直线和垂直，
不妨设分别为点在直线上的投影，
则存在，满足．
对，分类讨论，
当时，．
因为，所以．
当时，，
因为集合表示除原点外平面内的点，所以不能在原点，
所以，，所以，但，不能同时等于，
所以但等号不能同时成立，所以，
所以点的轨迹是以原点为圆心，半径在范围内的圆形的内部区域原点除外，
故的面积为，证毕．
由已知得，整理得，
问题可看成有且仅有三条直线满足和到直线不过原点的距离相等，
又，
当，此时易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及与直线平行的且距离为的两条直线，符合题意；
当时，有条直线会使得点和到它们的距离相等，
注意到不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去．
设点到的距离为，
作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为，此时，符合；
作为增根被舍去的直线，过原点且与平行，
其方程为，此时，不符合；
当，只有两条直线使得点和到它们的距离相等，不符合题意；
综上，可取和．

19.
．
，
设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，为“第一局乙对甲最终乙获胜”，
第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜；
第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜；
第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜，
故；
同理可得；
，
由于，故，
所以，故乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲．

20.
如图，用平行于底面的平面截拟柱体得矩形，设点到的距离为，
由相似的基本定理得矩形面积，
建立如图的平面直角坐标系，
由主题干信息得，拟柱体的体积即函数
与轴正半轴所围成的阴影部分面积，由抛物线的“三分之一”
原则：，
即拟柱体的体积；
由主题干信息得，类锥体的体积即底面的面积与轴正半轴所围成的阴影部分面积，
又与有关系，
所以；
因为具有圆锥的一切对称性，
所以其底面为圆，
得其半径，
由几何体的空间位置，可建立与得关系：，
即在平面中的方程为：；
设，
由得
联立直线与抛物线
由，得，
即舍或，
所以恒过定点，
改写为，
代入得，
即
易得
所以
由，得，
令
则有，
其中，
对于函数，当时，有如下图像：
所以，
所以，
即的最大值为．

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