2024-2025学年山东省青岛五十八中高一（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年山东省青岛五十八中高一（上）月考
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
3.已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是( )
A. B.
C. D.
4.函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
5.若，，则( )
A. B. C. D.
6.如图所示，在正方形内，是以为圆心，长为半径的圆的一段圆弧，且弧度，两阴影部分面积分别为和，则( )
A.
B.
C.
D. 不确定
7.设函数，为常数，当时，曲线与恰有一个交点，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对任意的正数，，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是则( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 函数图象的对称中心为
C. 命题“，”的否定是，
D. 的最小值为
10.设，表示不超过的最大整数，例如：，，已知函数，则下列叙述中正确的是( )
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 在上是增函数 D. 的值域是
11.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数当时，，则下列结论正确的有( )
A. B. 在上单调递减
C. 点是函数的一个对称中心 D. 方程有个实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若是第三象限角，且，则的值______．
13.已知函数在上单调递减，则的取值范围是______．
14.已知函数在定义域上为减函数，且值域为，的取值范围______，实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求值：
；
．
16.本小题分
已知函数，，最小正周期．
求的解析式；
当时，恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测第一次监测时的总量为单位：吨，此时开始计时，时间用单位：月表示甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：
月
吨
为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系：；且．
请根据表中提供的前列数据确定两个函数模型的解析式；
根据第，列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？参考数据：，
18.本小题分
设函数且，，，是定义在上的奇函数．
求的值；
已知，函数，，求的值域；
若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
设，对定义在上的函数，若存在常数，使得对任意恒成立，则称函数满足性质．
Ⅰ判断下列函数是否具有性质？
，，．
Ⅱ若函数具有性质，，其中，求证：函数具有性质；
Ⅲ设函数具有性质，其中是奇函数，是偶函数若，求的值．
参考答案
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14.
15.解：
；
．
16.解：因为，，最小正周期．
所以，所以；
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以；
当时，则，
所以，
所以；
令，
则有在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
由对勾函数的性质可知在上单调递增，
所以，
所以，
所以实数的取值范围为．
17.解：由已知将前列数据代入解析式有，解得：
；
将前列数据代入解析式有，解得：，
．
当时，模型，模型；
当时，模型，模型；
选模型，
当总量再翻一番时有：，解得，
即再经过个月时，总量能再翻一番．
18.解：是定义域为上的奇函数，故，得，
此时，，，
即是上的奇函数．
，即，
或舍去，
，
令，
易知在上为增函数，，
，
当时，有最大值；
当时，有最小值，
故的值域是．
由，
则为偶函数，且在单调递增，在单调递减，
又，，
，
对任意恒成立，即对任意恒成立，
平方得：对恒成立，
，
解得：，
综上可得：的取值范围是．
19.解：因为，所以具有性质；
因为，所以不具有性质；
，所以具有性质．
因为函数具有性质，则存在常数使得对任意恒成立．
因为函数具有性质，则存在常数使得对任意恒成立，
故，即也对任意恒成立，
因此对任意恒成立．
又因为，
所以函数具有性质
由已知存在满足，即，
令，则，
令，则，
因为是奇函数，是偶函数，
所以，，，，
，整理得，
令，则，即，
又因为，所以，
所以．
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