2024-2025学年宁夏大学附中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年宁夏大学附中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知：，：，则是的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.不等式的解集是( )
A. 或 B.
C. 或 D.
5.下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
6.已知函数，则的大致图象为( )
A. B.
C. D.
7.函数的单调增区间为( )
A. B.
C. 和 D.
8.若，，且，恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. 或 D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.由，，组成一个集合，且集合中含有个元素，则实数的取值不可能是( )
A. B. C. D.
10.下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
11.在下列四组函数中，与不表示同一函数的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
12.若是定义域为的偶函数，且在上为减函数，则下列选项正确的是( )
A. 的图象关于轴对称 B. 在上为减函数
C. 当时，取得最大值 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数的图象经过点，则的值为 ．
14.函数的定义域是______．
15.已知，函数，若，则______．
16.已知函数，，对任意的、且，总有，若，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
若，求的值；
判断函数的奇偶性并证明．
19.本小题分
已知函数．
若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；
若对一切实数都成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
求函数在上的解析式．
在给出的直线坐标系中，画出函数的图象．
根据图象写出的单调区间不必证明．
21.本小题分
通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力的值越大，表示学生的接受能力越强，表示提出和讲授概念的时间单位：，可有以下公式：
．
讲课开始后和讲课开始后比较，何时学生的注意力更集中？
讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，能持续多久？
一道数学难题，需要讲解，并且要求学生的注意力至少达到，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由．
22.本小题分
定义在上的函数，对任意的，，都有成立，且当时，．
求的值；
证明：在上为增函数；
当时，解不等式．
参考答案
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17.解：，则时，，
，
或；
若，则，
当即时，，满足；
当即时，，
则由，可得，解之得，
实数的取值范围为．
18.解：，且，
，解得；
为奇函数．
证明：的定义域为，关于原点对称，
又，
函数为奇函数．
19.解：因为函数在区间上是单调递增函数，且的对称轴为，
所以，解得，即的取值范围是．
若对一切实数都成立，
则，解得，
即实数的取值范围是．
20.、因为时，，所以，当时，，
，又因为为奇函数，所以，
，即
．
单调增区间是，单调减区间是和．
21.解：由题意得，，，
所以讲课开始后学生注意力更集中；
当时，，
所以在上单调递增，最大值为．
当时，；
当时，函数为减函数，且．
因此开讲分钟后，学生的接受能力最强为，能维持分钟；
当时，令，解得或舍去；
当时，令，解得，
可得学生一直达到所需接受能力的状态的时间，
因此老师不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．
22.解：令，则，；
证明：设，则，，
，
即，
在上为增函数；
解：，，
，在上为增函数，
，
解得，
所以不等式的解集为．
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