2024-2025学年河北省唐山市玉田一中高二（上）质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省唐山市玉田一中高二（上）质检
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过空间三点，，的平面的一个法向量是( )
A. B. C. D.
2.若直线过点，点，则此直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
3.已知为空间任意一点，，，，四点中任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.若直线与直线垂直则( )
A. B. C. D. 或
5.正四棱锥的所有边长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.两点，，点是圆上任意一点，则面积最小值是( )
A. B. C. D.
7.二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，，则该二面角的大小为( )
A. B. C. D.
8.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与，的夹角都等于，若是的中点，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，则( )
A. 直线的倾斜角为 B. 直线与两坐标轴围成的三角形面积为
C. 点到直线的距离为 D. 直线关于轴对称的直线方程为
10.已知圆：及点，则下列说法正确的是( )
A. 点的坐标为
B. 点在圆外
C. 若点在圆上，则直线的斜率为
D. 若是圆上任一点，则的取值范围为
11.如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点，是棱上的动点，则( )
A.
B. 存在点，使平面
C. 存在点，使直线与所成的角为
D. 点到平面与平面的距离和为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线外一点，直线过原点，且平行于向量，则点到直线的距离为______．
13.已知线段的端点，，直线：与线段相交，则的取值范围是______．
14.过点作直线分别交轴，轴正半轴于，两点，为坐标原点．当取最小值时，直线的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，：，且满足，垂足为．
求的值及点的坐标．
设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知直线：，点．
若点到直线的距离为，求的最大值及此时的直线方程；
当时，过点的一条入射光线经过直线反射，其反射光线经过原点，求反射光线的直线方程．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，．
求证：面面；
若为中点，求平面与平面夹角的值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点，将沿折起到的位置，使得平面平面．
求证：平面；
平面与平面夹角的余弦值；
线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：显然，可得，，
由，
可得，
即，
解得，
所以直线：，直线：，
联立方程组，
解得，
所以点．
由直线：，直线：，
可得，，
所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心，半径，
所以的外接圆方程是．
16.解：证明：连接，因为，分别为，的中点，所以
在三棱柱中，，
所以，，，，四点共面．
因为，，，分别为，的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以因为平面，平面，
所以平面．
由题设平面，所以，，
因为，
所以，，两两垂直．如图建立空间直角坐标系，
所以，，，，，，，
，
平面的一个法向量是，设平面的法向量为，
则，令，得，
设二面角的平面角为，
则，由图可知为锐角，所以．
17.解：直线：，整理得，故，
解得，故直线恒过点．
故点到直线的距离的最大值．
直线的斜率为，故直线的斜率，
故，解得，
故直线的方程为，整理得．
由于直线恒过点，当时，直线的方程为；
点关于直线的对称点，
所以，解得，
由于该直线经过原点，
所以直线的方程经过点和原点，
故反射光线的直线方程为，即．
18.解：，
，，
又，
面，
又 面，
面面；
因为为正三角形为中点，
所以，又平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又为的中点，所以，，
如图以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，
显然是平面的一个法向量，
不妨设平面的一个法向量为，
则，即，取，得，则，
设所求夹角为，则，
故面与面的夹角为；
由得，面的一个法向量为，
则到面的距离．
19.解：证明：如图，连接，
，为的中点，，
，，
四边形为平行四边形，
是，的中点，
是的中点，
，
平面，平面，
平面；
平面平面，交线为，，是的中点，
，
平面，
平面，
，平面，
，，
，，
三角形为等边三角形，
是的中点，
，
，，两两垂直，
则以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，，
设平面的法向量为，
则，
解得：，令，则，
所以，
平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面的夹角的余弦值为；
存在点，
理由如下：设，，
则，
由知：平面的法向量为，
设与平面所成角为，
则，
因为，解得：，
故．
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